Учебники элементарной геометрии

[Anton_Peplov]

Ende
Выделено из темы «Как доказать почти очевидное утверждение?»

vpb в сообщении #1592912 писал(а):

То есть вопрос такой: где граница между очевидностью и тем, что надо доказывать?

В моем школьном учебнике геометрии (Погорелова, что ли) ответ на этот вопрос формулировался так: "Можно пользоваться аксиомами и ранее доказанными теоремами. Никакими другими свойствами фигур, даже если они представляются очевидными, пользоваться нельзя".
То есть доказывать надо всё. Доказывать, сходя из определений или уже известных теорем. Очевидно то, что доказывается в голове в одну строчку. Остальное не очевидно.

[Mihr]

Anton_Peplov в сообщении #1592923 писал(а):

"Можно пользоваться аксиомами и ранее доказанными теоремами. Никакими другими свойствами фигур, даже если они представляются очевидными, пользоваться нельзя"

1. Это может быть рекомендацией лишь для школьника, но не для автора учебника. Автору как быть? Всё равно нужно принимать решение в значительной степени самостоятельно.
2. Каким бы строгим ни выглядело неформальное доказательство, отнюдь не факт, что в нём отсутствуют не сформулированные явно допущения, на которые (пока ещё) никто не обратил внимания. (Под неформальным я подразумеваю такое доказательство, которое отличается от доказательства в матлогике - последовательности строк).

[Doctor Boom]

Anton_Peplov в сообщении #1592875 писал(а):

В математике свое понимание очевидности. Очевидно то, что легко доказать. Остальное только кажется очевидным.

А как говорил Успенский, доказательство это то, что убеждает, а очевидность тоже убеждает. Имеем замкнутый круг

-- 07.05.2023, 21:35 --

Anton_Peplov в сообщении #1592875 писал(а):

то и вовсе на неверное утверждение. "Очевидно" же, что шар нельзя разбить на части так, чтобы из этих частей сложились два таких же шара!

Нельзя разбить на измеримые части да, очевидно

[vpb]

Anton_Peplov в сообщении #1592923 писал(а):

(Погорелова, что ли)

Да, именно так.

Anton_Peplov в сообщении #1592923 писал(а):

То есть доказывать надо всё.

Ой, не смешите мою шляпу. Где Погорелов, а где доказательства. Он сплошь и рядом опирается на наглядную очевидность. Если сомневаетесь, я попрошу Вас разъяснить мне одно место из Погорелова, буквально в пределах первых пяти страниц (!), и посмотрим, насколько успешно это у Вас получится. Хотите попробовать ?

[Aritaborian]

vpb в сообщении #1592967 писал(а):

Если сомневаетесь, я попрошу Вас разъяснить мне одно место из Погорелова, буквально в пределах первых пяти страниц (!), и посмотрим, насколько успешно это у Вас получится. Хотите попробовать ?

Меня в школе учили геометрии по учебнику Погорелова, и я бы с интересом вас послушал. Оппонировать не обещаю, нет, просто интересно.

[Anton_Peplov]

vpb в сообщении #1592967 писал(а):

Где Погорелов, а где доказательства. Он сплошь и рядом опирается на наглядную очевидность.

Я и не говорил, что сам Погорелов следовал этому принципу. Я озвучил принцип, который кажется мне разумным. Допускаю, что этот принцип можно оспорить, но точно не ссылкой на то, что сам Погорелов от него отступал. Это иррелевантная информация.

vpb в сообщении #1592967 писал(а):

Хотите попробовать?

Не хочу, по вышеозначенной причине.

[Mihr]

Следую напутствию модератора:

Ende в сообщении #1593001 писал(а):

Если хотите обсудить учебник Погорелова, начните новую тему про этот учебник или про школьные учебники геометрии вообще.

Предлагаю обсуждать в данной теме любые школьные учебники геометрии, так как вряд ли целесообразно по каждому такому учебнику начинать новую тему. (Можно, кстати, слить эту тему с моей старой темой topic138631.html , переименовав последнюю. Хотя, не обязательно, конечно.) Сейчас мне хотелось бы задать вопрос уважаемому vpb.

vpb в сообщении #1592967 писал(а):

Если сомневаетесь, я попрошу Вас разъяснить мне одно место из Погорелова, буквально в пределах первых пяти страниц (!), и посмотрим, насколько успешно это у Вас получится. Хотите попробовать ?

Не хочу ничего разъяснять, а хочу спросить: верно ли я понял, что речь идёт о понятии "лежать между"? У Погорелова оно объясняется так:

Учебник Погорелова писал(а):

Посмотрите на рисунок 6. Вы видите прямую $a$ и три точки $A, B, C$ на этой прямой. Точка $B$ лежит между точками $A$ и $C$, она разделяет точки $A$ и $C$.

В качестве шутки (если уж говорить про ляпы в пределах первых пяти страниц) Погорелову можно "поставить в вину" и незаконность использования неполной индукции:

Учебник Погорелова писал(а):

Геометрия широко применяется на практике. Ее надо знать и рабочему, и инженеру, и архитектору, и художнику. Одним словом, геометрию надо знать всем.

Но вряд ли Вы имели в виду это. Насчет понятия "лежать между" я понял правильно? Вы говорили о нём?

[vpb]

Anton_Peplov в сообщении #1592999 писал(а):

Я и не говорил, что сам Погорелов следовал этому принципу.

Не говорили, но, очевидно, подразумевали. Потому что вообще люди, как известно, не ссылаются для подтверждения своих мнений на источники, которые они сами не считают авторитетными. Иначе почему бы не ссылаться не на школьный учебник, а на надпись на заборе ?

Глупец может высказывать, и часто говорит, отдельные правильные утверждения. И лжец тоже может говорить правду. Но никто не использует слова глупца или лжеца, или человека, который не следует тому, что предлагает другим, т.е. лицемера, в качестве довода в споре. А если использует, то разве что с оговорками типа "я в целом не согласен с таким-то человеком, но мне нравится его формулировка". А если вы ссылались на Погорелова, то, значит, считаете, что он понимает, что такое доказательство, и следует сам своим принципам, и учебник его вполне доказательный и хороший. Вот Ваши собственные слова:

Anton_Peplov в сообщении #1592923 писал(а):

В моем школьном учебнике геометрии (Погорелова, что ли) ответ на этот вопрос формулировался так: "Можно пользоваться аксиомами и ранее доказанными теоремами. Никакими другими свойствами фигур, даже если они представляются очевидными, пользоваться нельзя".
То есть доказывать надо всё. Доказывать, сходя из определений или уже известных теорем. Очевидно то, что доказывается в голове в одну строчку. Остальное не очевидно.

Смысл этой реплики такой: вот, смотрите, что такой авторитетный человек, как Погорелов, пишет насчет доказательств. Никаких сомнений в авторитете Погорелова тут с вашей стороны не проглядывает.

Anton_Peplov в сообщении #1592999 писал(а):

точно не ссылкой на то, что сам Погорелов от него отступал. Это иррелевантная информация.

Так это же вы стали ссылаться на "уважаемого человека" Погорелова, а не я ! Так что вопрос, достаточно ли хорошо с доказательствами в учебнике Погорелова, как раз вполне релевантен.

И, да, рассмотрение конкретных доказательств, или их отсутствия, как раз очень уместно при обсуждении "общей природы" доказательств. Потому что обсуждение чего-либо без примеров и частных случаев --- это схоластика, в плохом смысле слова.

-- 11.05.2023, 21:35 --

И, как уже заметил уважаемый Mihr, фраза "нужно доказывать всё, исходя из определений и аксиом и ранее доказанных теорем", она хороша для школьников, а на самом-то деле это правило имеет несколько туманный смысл и ограниченную область применимости. Причем вы это правило высказали именно в ответ на мое сообщение, в котором и объясняется, что это "правило", как говорится, не пишет ! (Что, собственно, и вызвало у меня первоначально некоторое раздражение. Что вы начали меня поучать словами из Погорелова. С какой стати ?).

[vpb]

Собственно, почему бы мне не привести пример нехорошего места из Погорелова. Аксиома

Цитата:

III. Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин его частей, на которые он разбивается любой своей точкой.

Если кто считает, что в Погорелове всё в порядке, пусть разъяснит мне смысл этого утверждения, никак не опираясь на наглядность.

[Mikhail_K]

vpb в сообщении #1593550 писал(а):

пусть разъяснит мне смысл этого утверждения, никак не опираясь на наглядность.

Смысл таков:
а) Каждому отрезку (фактически, каждой неупорядоченной паре различных точек) ставится в соответствие число, большее нуля, называемое длиной этого отрезка;
б) Пусть дан отрезок $AB$ и принадлежащая ему точка $C$ (по данному выше определению отрезка это означает, что точка $C$ лежит между точками $A$ и $B$ на прямой $AB$; понятие же "лежать между" неопределяемо). Тогда длина $AB$ равна сумме длин $AC$ и $BC$.

Здесь я вижу только такую неточность: не вполне ясно, лежит ли точка $A$ между точками $A$ и $B$. Если да, то надо разрешить рассматривать отрезки с совпадающими концами и нулевой длиной; если нет, то получается, что концы отрезка не принадлежат отрезку. Ясно, что это легко исправить.
Ещё можно потребовать включить в систему аксиом Погорелова аксиомы вещественных чисел.

Поклонником Погорелова не являюсь, но и ничего ужасного в погореловской аксиоме я не вижу.

[Red_Herring]

Учебника Погорелова я в глаза не видел и не собираюсь смотреть. Но замечу, что это учебник для средней школы, не для матфаков университетов и там "супесрстрогость" не нужна и даже вредна. В самом крайнем случае в электронную (и только!!) версию можно было бы вставить "звезданутые" параграфы, в которых все делается "как следует".

[Anton_Peplov]

Никого не собирался поучать, уж тем более Погореловым. Просто высказал мысль, которая показалась мне дельной. Прочитал бы ее на заборе - сослался бы на забор. Извините, если что-то не так сказал. И вообще зря я влез в этот разговор про доказательства, я не математик. Тут в теме уже как минимум три математика отметились, вам и карты в руки, а я пошел.

[Ende]

Тема слита с не получившей развития темой
«Еще раз о природе математического доказательства»

[GAA]

В издании 2014 (другие не смотрел) учебника Погорелов Геометрия 7-9 п. 1.1: «Отрезком называется часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих между двумя данными её точками.» Даже если принять очень неформальное определение лежать между, то всё равно не понятно: то ли отрезок это множество точек прямой, лежащих между двумя точками, то ли объединение множества точек, лежащих между двумя точками прямой, и этих двух точек (назовём эти две точки концами отрезка). Если второе, то назовём точки отрезка лежащие между концами отрезка внутренними точками отрезка.

И тогда формулировку аксиомы можно подправить:
«Длина отрезка равна сумме длин его частей, на которые он разбивается любой своей внутренней точкой.» Мне кажется это и предполагал автор.

Mikhail_K в сообщении #1593552 писал(а):

Ещё можно потребовать включить в систему аксиом Погорелова аксиомы вещественных чисел.

Так вещественные числа ещё не построены. На мой взгляд, нужно параллельно излагать геометрию и строить вещественные числа (но я не могу указать книгу, где бы это делалось). Вначале постулировать существование таких чисел (что в указанной аксиоме и делается), затем указать их свойства и, наконец, дать представление, например, в виде бесконечных десятичных дробей.

В общем-то, пока обсуждаются не недостатки доказательств у Погорелова, а недостатки формулировок «определений» и аксиом. Конечно, невнятность в этом должна привести к трудностям и в доказательствах. Вообще, в большинстве книг неопределяемые понятия как-то неформально поясняются. Проблема, на мой взгляд, в том, что не указываются явно: где неопределяемые понятия, а где неформальное пояснение этих понятий. Можно было такое неформальное пояснение набрать мелким шрифтом или как-то по-другому выделить абзацы с такими неформальным пояснениями. Но вроде и у Евклида неопределяемым понятиям даются «определения». Так первая книга начинается с определений:

Цитата:

1. Точка есть то, что не имеет частей.
2. Линия же длина без ширины.

Ясно, что такие «определения» являются не определениями, а лишь неформальным описанием, служащим для облегчения сопоставления объектов геометрии реальным объектам окружающего мира.

Anton_Peplov в сообщении #1592923 писал(а):

(Погорелова, что ли) ответ на этот вопрос формулировался так: "Можно пользоваться аксиомами и ранее доказанными теоремами. Никакими другими свойствами фигур, даже если они представляются очевидными, пользоваться нельзя".

Как-то у Погорелова пропущено слово «определение».

-- Fri 12.05.2023 01:56:50 --

Короче, нужно четко перечислить неопределяемые понятия и отметить, что аксиомы как раз и служат их неявным определением.

[GAA]

Геометрия Погорелова 10—11, 2009 (9-е издание, другие не смотрел) начинается

Цитата:

Стереометрия — это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры в пространстве. В стереометрии, так же как и в планиметрии, свойства геометрических фигур устанавливаются путём доказательства соответствующих теорем. При этом отправными являются свойства основных геометрических фигур, выражаемые аксиомами. Основными фигурами в пространстве являются точка, прямая и плоскость.

В 10–11 классе немного аккуратней. Можно, конечно, придраться к тому, что первым же предложением даётся «определение» стереометрии. Но можно и понять, что это «определение» не является частью стереометрии, а просто неформальное пояснение.