Общая теория нотаций

[EminentVictorians]

Не знаю, писать сюда или сразу в дискуссионный раздел Но если серьезно, вроде бы мой вопрос вполне математический.

Мне нужна общая теория о том, как создавать математические нотации. Я давно заметил, и с каждым днем все сильнее и сильнее убеждаюсь, что многие вещи в математике сложны не потому что они сложные, а просто потому что в той или иной области нету хорошей системы обозначений (а часто и понятий). Я могу сказать более резко: все нотации, во всех знакомых мне разделах математики, которые я когда либо видел, невероятно бедны. Любой, кто изучал топологию, согласится со мной в том, насколько проще становятся там доказательства, если использовать развитую теоретико-множественную нотацию. Любой, кто изучал линейную алгебру, согласится, что огромное количество доказательств можно провести гораздо проще, если владеть более развитой общеалгебраической теорией и соответствующей нотацией. Внутри общей алгебры такое встречается тоже повсеместно. Я как-то пытался доказать невырожденность какой-то матрицы (на начальном этапе построения теории), очень заколебался это делать, но как-то все же доказал. Потом, через какое-то время, я вернулся к той проблеме и понял, что матрицу можно разложить в произведение довольно тривиальных матриц, потом просто взял и посчитал определитель произведения. Он оказался ненулевой, а значит первоначальная матрица невырожденна. Какой смысл был в том сложном первоначальном доказательстве? Да никакого смысла не было. Пустая трата сил и времени. И таких примеров у меня накопилась уйма.

Доказать теорему - это примерно как прыгать с камня на камень в попытке пересечь горную речку. Слаборазвитые теории - это когда камней мало и они находятся далеко друг от друга. Приходится очень сильно напрягаться, чтобы перепрыгнуть с одного камня на другой. Но когда в теории есть развитая система самозамкнутых понятий и развитая система обозначений, то мы имеем вместо редких камней проложенную брусчатку, ходить по которой одно удовольствие.

Как строить математические теории - это отдельная большая тема (которая мне тоже интересна). Но сейчас я готов ограничиться более частной темой, связанной с нотациями. В одной и своих предыдущих тем я уже искал кое-что подобное:

EminentVictorians в сообщении #1587023 писал(а):

Допусти есть две суммы: одна по множеству $X$, другая по множеству $Y$. Мы хотим найти сумму по множеству $Z$, как-нибудь образованному от множеств $X$ и $Y$. Ладно, если это просто пересечение там или объединение. А если мы, например, образуем множество $Z$ с помощью какой-нибудь сложной формулы с большим числом разных теоретико-множественных операций. Пусть нам повезло и есть какое-нибудь одно объемлющее множество. Мы же знаем, что булеан образует алгебру над $\mathbb Z / 2\mathbb Z$ относительно симметрической разности и пересечения (и понятно какого умножения на скаляры). Было бы здорово, если бы были теоремы, связывающие суммирование вот с этой алгеброй. И можно было бы считать какие-нибудь нетривиальные суммы, используя то свойства сумм, то делая вычисления в этой алгебре, переходить из одного "мира" в другой и по итогу приходить к чему надо.

Это просто пример того, какую нотация я счел бы развитой.

Ну или можно общую топологию взять. Всем известны обозначения типа $Cl$ и $Int$. С их помощью можно составлять разные формулы типа $\operatorname{Cl} A = X \backslash \operatorname{Int} (X \backslash A)$ и прочие. Но можно задать вполне резонный вопрос: как ведет себя замыкание при утончении топологии. И если попробовать ответить на этот вопрос, то придется произносить слова в духе: "замыкание в первой топологии представимо как дополнение к некоторому открытому в первой топологии множеству. раз оно открыто в первой топологии, то открыто и во второй, а значит это замыкание в первой топологии будет замкнуто во второй топологии и будет содержать подлежащее множество; следовательно, замыкание во второй топологии, как минимальное замкнутое множество, содержащее подлежащее множество, будет входить как подмножество в замыкание в первой топологии. таким образом, при утончении топологии замыкание может, разве что, уменьшится." Невероятно душный текст. Основная его проблема в том, что произносится слишком много букв, вместо того, чтобы написать короткую строчку в подходящей нотации (сравните, например, с доказательством того, что для любого множества его граница и граница его дополнения совпадают - оно делается вообще без единого слова - просто небольшая строчка; совсем другой коленкор). Во первых, раз замыкание - это минимальное замкнутое множество, содержащее подлежащее множество, а внутренность - это максимальное открытое подмножество, где нотация со значками $\min$ и $\max$?? Во-вторых, вложенные друг в друга топологии образуют частичный порядок - где нотация со значками типа $\leqslant$ для топологий?? Таких нотаций нету. А это я просто ткнул пальцем в более менее случайную теорему из простейшей общей топологии.

Таких примеров очень много. Я хочу почитать про подходы о том, как сделать нотацию, если ее нету. Я уверен, что эта область знаний является абсолютно строгой и математичной (я даже примерно представляю, какие методы там могут использоваться). В общем, надеюсь, что более-менее описал проблему.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Дискуссионные темы (М)»
Причина переноса: да, похоже, это сюда.

[diletto]

EminentVictorians, ваше желание ведь не столько о строгой формализации рассуждений, сколько о большей выразительности математического языка, верно?
Не будет ли реализация такого желания чрезмерным усложнением используемого "алфавита"? (Как определять компромиссный оптимум сложности алфавита - вопрос для меня совершенно неясный...)
В общем, можно так сказать: не превратится ли окончательно система записи из алфавитной в иероглифическую?

[EminentVictorians]

diletto в сообщении #1592380 писал(а):

ваше желание ведь не столько о строгой формализации рассуждений, сколько о большей выразительности математического языка, верно?

Верно.

diletto в сообщении #1592380 писал(а):

Не будет ли реализация такого желания чрезмерным усложнением используемого "алфавита"?

"Алфавит" станет больше, да. Но я готов на такое.

diletto в сообщении #1592380 писал(а):

не превратится ли окончательно система записи из алфавитной в иероглифическую?

Я не против даже такого сценария. Но при условии, что нотация "правильная". Т.е. не тупо 100500 несвязанных друг с другом символов, а именно самозамкнутая нотация. По сути, что такое удобная нотация? Удобная - это та, где можно легко писать $=$ между объектами и заменять одни символы на другие. А эти замены обеспечиваются как раз самозамкнутостью.

Грубо говоря, я хочу сделать мыслительный процесс более механическим и низкоуровневым. Но не как в матлогике, а именно на уровне выразительности языка.

[Red_Herring]

Обозначения должны быть по возможности консистентны в разных "средах": в книге или статье, на слайдах, на доске и в студенческой работе. Поэтому я считаю правильным $\sin(x) $, а не $\sin x$, чтобы по возможности избежать в студенческой работе на экзамене $\int sin x cos 2x dx$. Предпочтительнее $\int sin (x) cos (2x) dx$

[diletto]

EminentVictorians в сообщении #1592383 писал(а):

Я не против даже такого сценария. Но при условии, что нотация "правильная". Т.е. не тупо 100500 несвязанных друг с другом символов, а именно самозамкнутая нотация. По сути, что такое удобная нотация? Удобная - это та, где можно легко писать $=$ между объектами и заменять одни символы на другие. А эти замены обеспечиваются как раз самозамкнутостью.

Грубо говоря, я хочу сделать мыслительный процесс более механическим и низкоуровневым. Но не как в матлогике, а именно на уровне выразительности языка.

Я некомпетентен в конкретике (т.е. за отсутствием математического образования неспособен содержательно обсуждать нотации), но позволю себе заметить полуоффтопично...
Новые порождаемые абстракции получают свои названия, благодаря чему и закрепляются, становясь общеупотребительными. Это нормальный процесс в естественных языках. Язык математики тем более следует этому пути - наиболее охотно из всех языков. У меня есть подозрение, что если уж в математике встаёт вопрос о недостаточной скорости появления новых иероглифов (т.е. явно и кратко кодированных абстракций), то это может означать, что почти достигнут предел способностей мозга к дальнейшему абстрагированию.
Конечно, это индивидуально: у кого-то уже предел, а у кого-то ещё запасов ого-го. Но развитие языка требует коллективности, поэтому отдельный гений вряд ли сможет навязать сверхвысокоабстрактную нотацию, которая не по зубам "среднему математику". Даже если удастся сделать её удобной в формальном смысле, что будет отдельной большой задачей, т.к. чем сложнее абстрактные сущности, тем сложнее и отношения между ними.
Простите за непрофессиональные спекуляции :)

[Red_Herring]

diletto в сообщении #1592425 писал(а):

что если уж в математике встаёт вопрос о недостаточной скорости появления новых иероглифов

Точнее, некоторые пользователи форума ставят вопрос. Математика очень большая, в ней много областей совершенно различных, разной культуры, разной глубины, с разными традициями. В одних областях новые обозначения или определения появляются очень редко, но решаются очень глубокие задачи. В других--на каждую теорему по три новых обозначения и четыре определения. И полстраницы доказательства.

[EminentVictorians]

Проблема в том, что я не знаю элементарно куда гуглить. Теория формальных языков - немного не то. Теории всяких там моделей, формальных семантик и т.п. - тоже не то. Нужна именно теория создания языка под предметную область.

[Anton_Peplov]

EminentVictorians в сообщении #1592434 писал(а):

Нужна именно теория создания языка под предметную область.

Я ни с какого боку не математик, но отнюдь не уверен, что такая теория есть. Предметные области, пусть даже и в пределах математики, очень разные. Как их хотя бы содержательно классифицировать - уже большой вопрос. А уж выявить какие-то закономерности, связывающие язык теории с ее содержанием...
Боюсь, Вам придется самому строить такую теорию:) Но если вдруг что-то найдете - дайте знать, интересно.

[пианист]

EminentVictorians в сообщении #1592374 писал(а):

Любой, кто изучал топологию, согласится со мной в том, насколько проще становятся там доказательства, если использовать развитую теоретико-множественную нотацию.

Изучал. Немного, но все-таки.
Не соглашусь. Теоретико-множественная терминология задействуется в общей топологии только, поскольку общая топология по сути раздел теории множеств, да и не особенно-то сложна она для усвоения, на каком языке не излагай. Засады начинаются дальше, где от теории множеств никакого проку.

[mihaild]

EminentVictorians в сообщении #1592374 писал(а):

Во первых, раз замыкание - это минимальное замкнутое множество, содержащее подлежащее множество, а внутренность - это максимальное открытое подмножество, где нотация со значками $\min$ и $\max$?

Так вместо $\min$ и $\max$ используются $\cap$ и $\cup$.

EminentVictorians в сообщении #1592374 писал(а):

Во-вторых, вложенные друг в друга топологии образуют частичный порядок - где нотация со значками типа $\leqslant$ для топологий?

А чем $\subseteq$ не устраивает?

Ваш пример записывается как $\tau_1 \subseteq \tau_2 \rightarrow \operatorname{Cl}_{\tau_1} A = \bigcap\limits_{B | \overline{B} \in \tau_1, A \subseteq B} B \supseteq \bigcap\limits_{B | \overline{B} \in \tau_2, A \subseteq B} B = \operatorname{Cl}_{\tau_2} A$.

EminentVictorians в сообщении #1592374 писал(а):

Любой, кто изучал линейную алгебру, согласится, что огромное количество доказательств можно провести гораздо проще, если владеть более развитой общеалгебраической теорией и соответствующей нотацией.

Именно теорией. Ну примерно как с помощью вычетов считается огромное количество вещественных рядов и интегралов. Но польза вычетов не в том, что мы придумали красивый значок $\oint$, а в общей теории комплексного анализа. Мне кажется что Вы переоцениваете значимость языка по сравнению с содержательными идеями.

[Anton_Peplov]

EminentVictorians в сообщении #1592374 писал(а):

Любой, кто изучал топологию, согласится со мной в том, насколько проще становятся там доказательства, если использовать развитую теоретико-множественную нотацию.

Изучал в объеме книги Виро, Иванов, Харламов, Нецветаев. Элементарная топология в той части, где она посвящена общей, а не алгебраической, топологии, + некоторые параграфы из Энгелькинга и еще по мелочи.

EminentVictorians в сообщении #1592374 писал(а):

А это я просто ткнул пальцем в более менее случайную теорему из простейшей общей топологии.

А можете еще в какую-нибудь теорему общей топологии ткнуть пальцем, где, на Ваш взгляд, не хватает нотации? А то пока не очень убедительно (см. выше ответ mihaild).

[EminentVictorians]

mihaild в сообщении #1592450 писал(а):

$\bigcap\limits_{B | \overline{B} \in \tau_1, A \subseteq B} B \supseteq \bigcap\limits_{B | \overline{B} \in \tau_2, A \subseteq B} B$

Вы умеете так делать сразу на уровне нотации? Я вот не умею так сразу писать; я все равно буду представлять одну топологии, потом другую - ее утончение, потом буду думать, где больше дополнений - у тонкой или у толстой... Ну т.е. проблема в том, что я если и напишу такую запись, то это будет на уровне головы, а не на уровне карандаша. А мне хочется, чтобы было на уровне карандаша.

Anton_Peplov в сообщении #1592459 писал(а):

А можете еще в какую-нибудь теорему общей топологии ткнуть пальцем, где, на Ваш взгляд, не хватает нотации?

Можно попробовать взять теорему о том, что замыкание множества совпадает с множеством его точек прикосновения. Введем обозначения: $A$ - основное множество, $\overline{A}$ - его замыкание, $M_A$ - множество точек прикосновения множества $A$.

Я бы доказывал так:

Докажем, что $\overline{A} = M_A$.

Сначала докажем, что $M \subset \overline{A}$
Если $x$ - точка прикосновения множества $A$, то любая ее окрестность имеет непустое пересечение с $A$. Предположим, что нашлась такая точка прикосновения $x$, что $x$ не принадлежит $\overline{A}$. Тогда $x \in X \backslash \overline{A}$ (внешности $A$). Внешность открыта $\Rightarrow$ существует окрестность $B$ точки $x$ такая, что $x \in B \subset X \backslash \overline{A}$. Таким образом, нашлась окрестность $B$ точки $x$ такая, что $B \cap \overline{A} = \varnothing$. Учитывая, что $A \subset \overline{A}$, получаем, что $B \cap A = \varnothing$, что противоречит тому, что $x$ - точка прикосновения.


Теперь докажем, что $\overline{A} \subset M_A$
$x \in \overline{A} \Rightarrow x \in \operatorname{Int}A \cup \operatorname{Fr}A$.
Если $x \in \operatorname{Int}A$, то $x \in A$ $\Rightarrow$ любая окрестность точки $x$ будет пересекаться с $A$ как минимум по $x$.
Если $x \in \operatorname{Fr}A$, то в любой окрестности точки $x$ найдутся как точки из $A$, так и точки из его дополнения $X \backslash A$. А значит любая такая окрестность пересечется с $A$, что и требовалось доказать.

Я не вижу, как доказать это равенство множеств сразу на уровне нотации. (А это довольно грустно, потому что равенство включает совсем базовые объекты топологии, и нормальная нотация, на мой взгляд, просто обязана щелкать такие равенства без всяких размышлений)

[Anton_Peplov]

EminentVictorians в сообщении #1592471 писал(а):

Можно попробовать взять теорему о том, что замыкание множества совпадает с множеством его точек прикосновения.

Плохой пример. В нотации не должно быть отдельных обозначений для замыкания и для множества точек прикосновения, поскольку это одно и то же. И то, что это одно и то же, должно быть доказано перед вводом нотации как обоснование для нее. Тот факт, что $x$ точка прикосновения множества $A$, в нотации записывается как $x \in \overline A$.

-- 04.05.2023, 17:16 --

Кажется, Вы хотите не просто удобные обозначения, но и правила преобразования выражений. Что-то типа школьной алгебры, когда мы не доказываем, что выражение $a(b+c)$ равно выражению $ab+ac$, а раскрываем скобки и получаем результат вообще без акта мышления. Обозначения можно ввести какие угодно, а вот хорошие правила преобразования выражений возможны лишь там, где есть теоремы, обосновывающие правомочность этих самых правил. Дистрибутивность умножения сначала нужно доказать (ну или постулировать при определении умножения), а потом пользоваться.

Ни из чего не следует, что в каждой предметной области (или хоть конкретно в общей топологии) можно найти обозначения, для которых существуют хорошие правила преобразования выражений. Рискну предположить, что такие "нотируемые" области это скорее исключение, чем правило.

[EminentVictorians]

Anton_Peplov в сообщении #1592476 писал(а):

получаем результат вообще без акта мышления.

Да, именно в этом основная идея и заключается. Я не против мыслительного процесса (если конечно не перебарщивать с этим занятием ), но я считаю, что разгрузить мозг от рутинных активностей благодаря правильно выбранной нотации было бы полезно.

Anton_Peplov в сообщении #1592476 писал(а):

Рискну предположить, что такие "нотируемые" области это скорее исключение, чем правило.

Мне так не кажется. Я думаю, что везде, где есть хорошая теория, должна быть как минимум одна (с точностью до переобозначений) хорошая нотация.

Вообще говоря, нотация - это ведь не обязательно какая-то фиксированная система обозначений и правил действия с ними. Можно допускать и "динамические" нотации (такие, где можно вводить обозначения и правила действий с ними в реалтайме, завязывая их на существующие)

Теорема про совпадение замыкания и множества точек прикосновения должна доказываться как-то так:

Введем новое обозначение: пусть $M_A$ - множество точек прикосновения множества $A$. Тогда

$$M_A = ... = ...= \overline{A}$$

что и требовалось доказать.

Возможно, я слишком узко мыслю и слишком "ангажирован" той математикой, которая есть сейчас. Может быть вместо $=$ могут быть другие знаки (например не "равно", а "равно в предположении истинности данного утверждения" или еще что-нибудь; сходу такие вещи сложно придумывать) .