2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 
Сообщение12.04.2006, 19:36 
Аватара пользователя
значит так...
$$
F(r) = J_n ({{\xi _m^{(n)} } \over R}r)
$$
$$
\alpha _n  = {{\xi _m^{(n)} } \over R}
$$
$$
F_n (r) = AJ_0 (\alpha _n r)
$$
То есть задачу ищем в виде
$$
u(t,r) = \sum\limits_{n = 1}^\infty  {F_n (r)T _n (t)} 
$$
подставляю в исходное уравнение
$$
u_{tt}  - a^2 (u_{rr}  + {1 \over r}u_r ) = k\sin (\omega t)
$$
$$
\sum\limits_{n = 1}^\infty  {rF_q (r)F_n (r)T_n ^{''} (t) - a^2 \sum\limits_{n = 1}^\infty  {rF_q (r)F_n ^{''} (r)T_n (t) - {{a^2 } \over r}\sum\limits_{n = 1}^\infty  {rF_q (r)F_n ^' (r)T_n (t) = rF_q (r)k\sin (\omega t)} } } 
$$
умножаем на
$$
rF_q (r)
$$
$$
\alpha _q  = {{\xi _m^{(q)} } \over R}
$$
$$
\sum\limits_{n = 1}^\infty  {rJ_0 (\alpha _n r)J_0 (\alpha _q r)T_n ^{''} (t) - a^2 \sum\limits_{n = 1}^\infty  {rJ_0 (\alpha _n r)J_0^{''} (\alpha _q r)T_n (t) - {{a^2 } \over r}\sum\limits_{n = 1}^\infty  {rJ_0 (\alpha _n r)J_0^{'} (\alpha _q r)T_n (t) = rJ_0 (\alpha _q r)k\sin (\omega t)} } } 
$$
интегрируем от 0 до R
$$
\int\limits_0^R {\sum\limits_{}^{} {} rJ_0 (\alpha _n r)J_0 (\alpha _q r)T_n ^{''} (t)} dr - a^2 \int\limits_0^R {\sum\limits_{}^{} {} rJ_0 (\alpha _n r)J_0^{''} (\alpha _q r)T_n (t)dr - } {{a^2 } \over r}\int\limits_0^R {\sum\limits_{}^{} {} rJ_0 (\alpha _n r)J_0^{'} (\alpha _q r)T_n (t)dt = } 
$$

$$
= \int\limits_0^R {rJ_0 (\alpha _q r)k\sin (\omega t)dr} } 
$$
Теперь в виду ортогональности должно сократится все, кроме q=n
Так?

 
 
 
 
Сообщение12.04.2006, 20:37 
Аватара пользователя
Правильно, только нужно сначала собрать
в последней формуле две последние суммы слева в одну,
Там будет общий множитель $T_n(t)$.
после этого выразить сумму членов, содержащих производные от Бесселей, через Бесселево уравнение$$ F_n ^{''} (r)+r^{-1}F_n' (r) = \alpha_n ^2 F_n (r)$$
И только тогда ссылаться на ортогональность.

 
 
 
 
Сообщение12.04.2006, 21:05 
Аватара пользователя
собираю
$$
\int\limits_0^R {\sum\limits_{}^{} {} rJ_0 (\alpha _n r)J_0 (\alpha _q r)T_n ^{''} (t)} dr - T_n (t)\int\limits_0^R {} \left[ {a^2 rJ_0 (\alpha _n r)J_0^{''} (\alpha _q r) - {{a^2 } \over r}rJ_0 (\alpha _n r)J_0^{'} (\alpha _q r)} \right]dr = 
$$

$$
 =  = \int\limits_0^R {rJ_0 (\alpha _q r)k\sin (\omega t)dr} 
$$
использую Бесселево уравнение

$$
J_n^{''} (\alpha _n r) + {1 \over r}J_n^{'} (\alpha _n r) = \alpha _n^2 J(\alpha _n r)
$$
подробное вычисление в []

$$
\left[ {a^2 rJ_0 (\alpha _n r)\left( {\alpha _q^2 J(\alpha _q r) - {1 \over r}J_q^' (\alpha _q r)} \right) - {{a^2 } \over r}rJ_0 (\alpha _n r)J_0^' (\alpha _q r)} \right] = 
$$
$$
 = a^2 rJ_0 (\alpha _n r)\alpha _q^2 J(\alpha _q r) - {1 \over r}J_q^{'} (\alpha _q r)a^2 rJ_0 (\alpha _n r) - {{a^2 } \over r}rJ_0 (\alpha _n r)J_0^{'} (\alpha _q r)
$$
Явно должны сократиться последние 2 слагаемых, но не сокращаюся!!!!!???

 
 
 
 
Сообщение12.04.2006, 21:15 
Аватара пользователя
ошибка в знаке в первом уравнении. должно быть
$$ \int\limits_0^R {\sum\limits_{}^{} {} rJ_0 (\alpha _n r)J_0 (\alpha _q r)T_n ^{''} (t)} dr - T_n (t)\int\limits_0^R {} \left[ {a^2 rJ_0 (\alpha _n r)J_0^{''} (\alpha _q r) + {{a^2 } \over r}rJ_0 (\alpha _n r)J_0^{'} (\alpha _q r)} \right]dr = $$ $$ = = \int\limits_0^R {rJ_0 (\alpha _q r)k\sin (\omega t)dr} $$

Тогда сократится

 
 
 
 
Сообщение12.04.2006, 21:33 
Аватара пользователя
точно, не просек сразу, затмение.
$$
\int\limits_0^R {\sum\limits_{}^{} {} rJ_0 (\alpha _n r)J_0 (\alpha _q r)T_n ^{''} (t)} dr - T_n (t)\int\limits_0^R {\sum\limits_{}^{} {} a^2 rJ_0 (\alpha _n r)\alpha _q^2 J(\alpha _q r)} dr = \int\limits_0^R {rJ_0 (\alpha _q r)k\sin (\omega t)dr} 
$$

$$
T_n ^{''} (t)\int\limits_0^R {\sum\limits_{}^{} {} rJ_0 (\alpha _n r)J_0 (\alpha _q r)} dr - T_n (t)\int\limits_0^R {\sum\limits_{}^{} {} a^2 rJ_0 (\alpha _n r)\alpha _q^2 J(\alpha _q r)} dr = k\sin (\omega t)\int\limits_0^R {rJ_0 (\alpha _q r)dr} 
$$
$$
\int\limits_0^R {\sum\limits_{}^{} {} rJ_0 (\alpha _n r)J_0 (\alpha _q r)} dr = {{R^2 } \over 2}J_1^2 (r)
$$
получается
$$
T_n ^{''} (t) - a^2 \alpha _n T_n (t) = {{\int\limits_0^R {rJ_0 (\alpha _q r)dr} } \over {{{R^2 } \over 2}J_1^2 (r)}}k\sin (\omega t)
$$
$$
C_n  = {{\int\limits_0^R {rJ_0 (\alpha _q r)dr} } \over {{{R^2 } \over 2}J_1^2 (r)}}
$$
$$
T_n ^{''} (t) - a^2 \alpha _n T_n (t) = C_n k\sin (\omega t)
$$
Правильно?

 
 
 
 
Сообщение12.04.2006, 21:37 
Аватара пользователя
Вот, правильно. только множитель к потерял в последней формуле. И должно быть \alpha_n^2. Осталось решить последнее уравнение с нулевыми начальными условиями. справишься??

 
 
 
 
Сообщение12.04.2006, 21:38 
Аватара пользователя
shwedka писал(а):
Вот, правильно. только множитель к потерял в последней формуле.. Осталось решить последнее уравнение с нулевыми начальными условиями. справишься??

Какой множитель?

 
 
 
 
Сообщение12.04.2006, 21:40 
Аватара пользователя
Да, он есть, но в последней строчке альфа должна быть в квадрате.

 
 
 
 
Сообщение12.04.2006, 21:43 
Аватара пользователя
$$
T_n ^{''} (t) - a^2 \alpha ^2 _n T_n (t) = C_n k\sin (\omega t)  
$$
$$
 T_n (0) = T^{'} (0) = 0 
$$

 
 
 
 
Сообщение12.04.2006, 21:44 
Аватара пользователя
antoshka1303 писал(а):
$$
T_n ^{''} (t) - a^2 \alpha ^2 _n T_n (t) = C_n k\sin (\omega t)  
$$
$$
 T_n (0) = T^{'} (0) = 0 
$$

Ну а это уже обычные диффуры:)))

 
 
 
 
Сообщение12.04.2006, 21:51 
Аватара пользователя
Желаю удачи. Научился кое чему???

 
 
 
 
Сообщение12.04.2006, 23:16 
Аватара пользователя
shwedka писал(а):
Желаю удачи. Научился кое чему???

Я так понял,ч то это уже ответ!!!;)
Спасибо большое.

 
 
 
 
Сообщение12.04.2006, 23:30 
Аватара пользователя
Ну, все-таки нужно обыкновенный диффур решить.

 
 
 
 
Сообщение13.04.2006, 17:37 
Аватара пользователя
Решил диф ур. и нашел константы из начальных условий
$$
T_n (t) = C_1 e^{\alpha _n a_n t}  + C_2 e^{ - \alpha _n a_n t}  + \alpha ^2 _n a^2 _n \cos (\omega t) + (\alpha _n^2 a^2 _n  + C_n )\sin (\omega t)
$$

$$
C_1  = {{\alpha _n^2 a^2 _n  + C_n } \over {2\alpha _n^{} a_n }} - \alpha _n^2 a^2 _n 
$$

$$
C_2  = {{ - \alpha _n^2 a^2 _n  - C_n } \over {2\alpha _n^{} a_n }}
$$

 
 
 
 
Сообщение13.04.2006, 18:34 
Аватара пользователя
Опять в знаке ошибся!! в диффуре, кторый нужно решить, 4 поста назад, нужен плюс, а не минус!!(я не заметила)
Этот минус издалека, из задачи на собственные значения для Бесселя тянется... виновата!
В результате в решении у экспонент i появится.

 
 
 [ Сообщений: 78 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group