Гравитация на релятивистских скоростях

[wrest]

need_to_learn
Предыдущими сообщением я хотел вам показать, что даже Ньютоновский случай не так уж очевиден, что даже его посчитать не просто, даже в случае максимального упрощения и замены шаров на материальные точки и прутка на "материальную прямую". Но если вы прорвётесь через это и посчитаете хотя бы пункты 1 и 2 (хотя пункт 2 я вам уже расписал) в post1590394.html#p1590394 и, главное, соответствующие времена - это уже будет очень круто.
Тогда, возможно, будет виден путь добавления или хотя бы оценки релятивистских поправок.

[vpb]

manul91 в сообщении #1590384 писал(а):

совершенно непонятно что именно вас интересует.

Потроллить всяких умников интересует, вероятно. Ничего другого. Причем самыми мелкими поводами, типа

need_to_learn в сообщении #1590392 писал(а):

Конечно, не в "достойнстве", а в достоинстве.

need_to_learn в сообщении #1590361 писал(а):

Почему некоторые участники вместо разбора интересной задачи предпочитают придираться к малозначащим мелочам и ржать над невозможностью существования такого металлического прута в реальности — лично мне непонятно.

Вероятно, потому, что вы к этой самой интересной задаче рук не прилагаете от слова совсем. Так что у них нет оснований думать, что вы о чем-то спрашиваете всерьёз.

[manul91]

need_to_learn в сообщении #1590392 писал(а):

Элементарно одному шару до другого лететь ближе, чем до прута.

То что какие-то тела "ближе", не значит что они столкнутся первыми. Два камня опущенные из высотой 10 м, на расстоянии 1 м друг от друга - они сперва столкнутся с землей, а не друг с другом

need_to_learn в сообщении #1590392 писал(а):

Меня интересовало, как притягиваются друг к другу тела, одно из которых неподвижно, а другое движется относительно него с околосветовой скоростью. Но если это будут, скажем, шар и кубик примерно одинаковых размеров, то один просвистит мимо другого на такой скорости, что и поздороваться не успеют, а отклонение его траектории под действием гравитации будет таким мизерным, что говорить о нём просто бессмысленно.
Неподвижный объект должен оставаться рядом с движущимся шаром длительное время, а это возможно только при условии большой протяжённости неподвижного объекта.
Вот так и появился здесь стальной прут длиной в несколько световых лет. Когда шар летит вдоль прута, то одни участки прута остаются позади и перестают вносить ощутимый вклад в силу притяжения, но им на смену приходят другие точно такие же участки прута, поэтому в целом сила притяжения остаётся стабильной.

Но если интересует "как притягиваются друг к другу тела, одно из которых неподвижно, а другое движется относительно него с околосветовой скоростью" ("шар" и "прут"), то тогда зачем вообще в конфигурацию (поведением которой вы интересуетесь) участвует еще и второй шар?

[wrest]

manul91 в сообщении #1590437 писал(а):

то тогда зачем вообще в конфигурацию (поведением которой вы интересуетесь) участвует еще и второй шар?

Ну кстати да. Второй шар там мешается и усложняет всё. Можно было бы спросить про один шар и прут и собственное время шара до столкновения в случае неподвижного прута и двигающегося вдоль себя прута.

[sergey zhukov]

На месте need_to_learn я бы рассуждал примерно так.

Интересно, как сила гравитации действует между телами на высоких относительных скоростях? Помню, в учебнике по физике (который я когда-то читал, вроде) было сказано, что гравитация "по Ньютону" хорошо работает только на малых относительных скоростях и в слабых гравитационных полях. А если это не так (вот как у меня), то все становится сильно сложнее и нужно использовать ОТО.

ОТО я не знаю, конечно. Вот как бы мне сделать так, чтобы относительная скорость тел была высокой, а гравитация - по прежнему ньютоновской? А возьму-ка я стержень неограниченной длины и запущу шар вдоль него. Тогда относительная скорость стержня и шара высокая, а сила притяжения к стержню и в той и в другой системе отсчета будет, видимо, одинаковой? Какая разница, движется стержень вдоль себя или нет? У Ньютона разницы точно не было.

Кстати, а какая сила притяжения тела к бесконечному неподвижному стержню и как она зависит от расстояния до стержня? Что-то тут вроде интегрировать нужно, а я это уже все позабыл. Заменю-ка я бесконечный стержень на бесконечную пластину. Для нее сила притяжения от расстояния не зависит, все упрощается. Летит, значит, шар вдоль бесконечной плоскости и падает на нее по параболе за одно и то же время независимо от начальной скорости (как пуля из известной задачи).

Хотя, наверное, нет. Я слышал, что, скажем, вращающаяся черная дыра создает вокруг себя совсем не такое гравитационное поле, как не вращающаяся. Эргосфера, увлечение системы отсчета... У Ньютона это было без разницы, вращается тело притяжения или нет. А у Эйнштейна, видимо, все сложнее. Так что, может быть, движущаяся и неподвижная плоскость - это и не одно и то же. Да еще это релятивистское сложение скоростей (нужно, кстати, посмотреть, что это такое): если тело уже имеет приличную продольную скорость, то оно не может падать на плоскость слишком быстро, чтобы результирующая скорость не превысила скорость света. Может, при падении оно будет замедляться в продольном направлении и ускоряться в поперечном?..

Вообще, оставлю-ка я эти скользкие вопросы с гравитацией (похоже, нужно все же изучить ОТО) и заменю взаимодействия на простые пружинки. На бесконечный стержень одену кольцо без трения, к нему на пружинке прицеплю шар. Запущу этот шар вдоль стержня, а кольцо с пружинкой пусть скользит вдоль стержня. Вопрос: когда пружинка притянет шар быстрее, когда он неподвижен или когда он летит вдоль стержня?

Когда шар неподвижен, я точно знаю, сколько времени потребуется пружинке, чтобы его притянуть. Могу рассчитать, как шар колеблется на пружинке (Или не могу?). Если же шар движется вдоль стержня, то нужно просто взять предыдущий расчет и применить к нему преобразование Лоренца (только я не знаю, что это такое). Ладно, в данном случае нас интересует только то, насколько увеличится время, за которое шар притянется к стержню. Тут достаточно только вспомнить, что "в движущейся системе отсчета время замедляется". Это, положим, ерунда, конечно (проще же говорить, что силы ослабевают. Неужели не ясно?). Но пока примем это общепринятое представление, чтобы хотя бы говорить со всеми на одном языке.

Наша система - пружинка и шар - с точки зрения неподвижного наблюдателя просто будет жить по своим "замедленным" часам. Формулу замедления времени я подзабыл, но и неважно. Важно, что движущийся шар будет притягиваться к стержню медленнее, чем неподвижный. Можно и больше шаров на пружинках рассмотреть, суть одна - вся система будет просто вести себя медленнее, как в замедленной съемке.

Ну, с пружинками понятно. А гравитация как же? А с ней, похоже, все гораздо сложнее. Кто-то говорит, что это и не сила вообще. Темное дело, в общем. Почитаю-ка я что-нибудь по этому вопросу. Например, "Удивительная гравитация" из библиотечки Квант.

[nds]

Будьте добры помедленнее, я записываю.
Понятно, что-то изучив --- что-то начнёшь понимать. Но, вопрос по-моему, относительно простой (кто-то же его уже проходил, вдруг на экзамене спросят ).

Массивный шар летит вдоль массивной бесконечной струны (или плоскости). По сути перемещается область максимального взаимодействия (система отсчёта там же). И, если скорость гравитационной волны меньше скорости шара, то он будет медленнее падать? И как, в таком случае, быть с пространством? Его искривляет массивное тело или искривляется область взаимодействия? Тут, конечно, можно представить, что летящий шар искривляет пространство только позади себя. А если движется не шар а стержень (плоскость)?

Ну, вот, ещё один дорвался.
Мне, просто чтобы галочки у себя поставить.

[DimaM]

Попалась тут старая статья Фейнберга (УФН 1975, Т. 116, № 4, с. 709) о том, следует ли рассматривать релятивистское сокращение масштаба и замедление времени как результат действия некоторых сил. Кажется, будет в тему дискуссии.

[need_to_learn]

wrest в сообщении #1590394 писал(а):

need_to_learn в сообщении #1590392 писал(а):

Сила притяжения обратно пропорциональна квадрату расстояния. Так что шары будут притягиваться лишь к ближайшему участку прута, а влиянием всего прута в целом можно пренебречь.

Нет, нельзя принебречь. Сила притяжения достаточно длинного прута будет обратно пропорциональна первой степени расстояния до него, а не квадрату расстояния.

Не поверил, полез разбираться и гуглить — действительно, так и есть! Чудеса.

Вот здесь хорошо объясняется, почему всё именно так. (Даже такой чайник, как я, способен понять.)

Надо же, а я думал, что вкладом далёких участков прута смело можно пренебречь...

wrest в сообщении #1590394 писал(а):

Кстати, а действительно, вы можете хотя бы прикинуть, для Ньютоновского случая, каковы будут в ваших начальных условиях
1. Ускорение одного шара в направлении второго в отсутствие прута.

"Легкотня" — подумал я... И обнаружил, что движение-то не равноускоренное! Это в земном гравитационном поле для большинства задач можно пренебречь изменением ускорения свободного падения с высотой. А для тел одинаковых или сопоставимых размеров надо всё честно считать.

Поскольку сила притяжения между шарами $F = G\dfrac{m_1m_2}{r^2} = m_1a$, то отсюда ускорение $a = \dfrac{F}{m_1} = \dfrac{Gm_2}{r^2}$.

Вот тут я и завис, причём капитально. Получается, что ускорение свободного падения не постоянно и зависит от расстояния $r$ до другого шара! Но расстояние это функция от времени, а значит, ускорение является в данном случае сложной функцией.

Ради интереса я попробовал найти его производную — и получил вообще какую-то дичь...

$(a(t))' = \left( \dfrac{Gm_2}{(r(t))^2} \right)' \cdot (r(t))' = - \dfrac{2Gm_2}{(r(t))^3} \cdot (r(t))'$

Поскольку производная от расстояния по времени является скоростью тела, я произвёл замену

$(a(t))' = - \dfrac{2Gm_2}{(r(t))^3} \cdot v(t)$

Отсюда

$v(t) = - \dfrac{(a(t))' \cdot (r(t))^3}{2Gm_2}$

$r(t) = \sqrt[3]{- \dfrac{2Gm_2 \cdot v(t)}{(a(t))'}}$

Тут я понял, что зарулил куда-то не туда. :) Попытался вернуться к исходному $a = \dfrac{Gm_2}{r^2}$ и честно его проинтегрировать. Получилось тоже как-то не очень:

$v(t) = \int{a(t)}dt = \int\dfrac{Gm_2}{(r(t))^2}dt = - \dfrac{Gm_2}{3(r(t))^3} + C$

$r(t) = \int{v(t)}dt = \int - \dfrac{Gm_2}{3(r(t))^3}dt = \dfrac{Gm_2}{12(r(t))^4} + C$

$(r(t))^5 = \dfrac{Gm_2}{12} + C$

$r(t) = \sqrt[5]{\dfrac{Gm_2}{12} + C}$

Что уже явный бред, т.к. означает, что расстояние $r$ не зависит от времени $t$ и является константой. :)

Знающему человеку, наверное, смешно видеть три сосны, в которых я заблудился. Но я реально не знаю, что делать дальше! Никак не получается вывести уравнение движения. И особая засада здесь в том, что ускорение зависит от расстояния как от функции, при этом являясь второй производной от него же по времени. (А ещё непонятно, как там в изменении расстояния участвует второе тело, оно ведь тоже не стоит на месте.)

Приходится признать, что я не умею решать подобные задачи, и даже приблизительно не представляю, в каком направлении надо двигаться. Тех обрывков знаний, что в разное время осели у меня в голове, явно недостаточно для таких дел.

wrest в сообщении #1590422 писал(а):

Но если вы прорвётесь через это и посчитаете хотя бы пункты 1 и 2 (хотя пункт 2 я вам уже расписал) в post1590394.html#p1590394 и, главное, соответствующие времена - это уже будет очень круто.
Тогда, возможно, будет виден путь добавления или хотя бы оценки релятивистских поправок.

Боюсь, до этого мне как пешком до северного полюса. :) Основательно увяз уже в том, что полагал элементарной задачей.

manul91 в сообщении #1590437 писал(а):

Но если интересует "как притягиваются друг к другу тела, одно из которых неподвижно, а другое движется относительно него с околосветовой скоростью" ("шар" и "прут"), то тогда зачем вообще в конфигурацию (поведением которой вы интересуетесь) участвует еще и второй шар?

Для наглядности, разумеется. Когда у нас только один шар, то кажется естественным, что гравитация действует на него одинаково на любых скоростях. А когда два шара падают друг на друга, то сразу видно, что их сближение замедляется при большой скорости шаров относительно неподвижного прута. И сразу возникает вопрос — не замедлится ли сближение шаров с прутом? Или, может, наоборот ускорится? Или скорость полёта шаров вдоль прута вообще никак не повлияет на скорость сближения с прутом? В общем, сразу понятно, в чём суть вопроса.

Тогда мне казалось, что никаких особых сложностей дополнительный шар не добавит, наоборот, картина будет яснее. Про задачу трёх тел (и прочее в том же духе) я даже и не подумал.

(Оффтоп)

miflin в сообщении #1590395 писал(а):

По всему видно, что направить Вас на путь истинный может единственное - отцовский ремень.
Хорошо лечит от хамства и заносчивости.

Вам это явно не помогло.

sergey zhukov в сообщении #1590450 писал(а):

На месте need_to_learn я бы рассуждал примерно так.

Не сомневаюсь, что именно Вы так бы и рассуждали. Но мне подобную ерунду, пожалуйста, не приписывайте. Я ничего не говорил ни про какие плоскости и пружинки. И говорить не собирался.

[wrest]

need_to_learn в сообщении #1590548 писал(а):

Не поверил, полез разбираться и гуглить — действительно, так и есть! Чудеса.

Ну это просто факт, который надо помнить, он одинаковый для электростатики и гравитации. Бесконечная плоскость даёт однородное поле (сила не уменьшается с расстоянием), прямая (стержень) даёт поле которое убывает обратно пропорционально первой степени расстояния, точка даёт поле которое убывает обратно пропорционально квадрату расстояния.

-- 21.04.2023, 16:26 --

need_to_learn в сообщении #1590548 писал(а):

Это в земном гравитационном поле для большинства задач можно пренебречь изменением ускорения свободного падения с высотой.

Да, вот тут как раз мы берем Землю за бесконечную плоскость, и тогда ускорение свободного падения от расстояния не зависит (только вблизи поверхности, ессно). Мы так же пренебрегаем обычно (вблизи поерхности и если все рядом) тем, что сила центральная, и считаем что в двух соседних точках векторы силы паралельны.

-- 21.04.2023, 16:44 --

need_to_learn в сообщении #1590548 писал(а):

Вот тут я и завис, причём капитально. Получается, что ускорение свободного падения не постоянно и зависит от расстояния $r$ до другого шара! Но расстояние это функция от времени, а значит, ускорение является в данном случае сложной функцией.

Ну а как вы хотели... Это теормех и матфизика :)

need_to_learn в сообщении #1590548 писал(а):

Знающему человеку, наверное, смешно видеть три сосны, в которых я заблудился. Но я реально не знаю, что делать дальше!

Ну не то чтобы смешно, но просто теперь вы убедились, что ваши вопросы это не таблица умножения даже в Ньютоновской механике...

need_to_learn в сообщении #1590548 писал(а):

(А ещё непонятно, как там в изменении расстояния участвует второе тело, оно ведь тоже не стоит на месте.)

Да, но зато на месте стоит центр масс А в случае одинаковых шаров, и ускорения их одинаковые. И по счастью, поле однородного шара, снаружи, такое же как поле точки с массой шара, а то бы ещё надо было учитывать форму.

need_to_learn в сообщении #1590548 писал(а):

А когда два шара падают друг на друга, то сразу видно, что их сближение замедляется при большой скорости шаров относительно неподвижного прута. И сразу возникает вопрос — не замедлится ли сближение шаров с прутом?

Ну вот как я писал вам ранее, если скажем шары висят на одном расстоянии от прута, оба шара в плоскости перпендикулярной оси прута и угол шар-ось-шар небольшой, то гравитация прута будет создавать приливное ускорение, которое будет ускорять сближение шаров. Ну скажем, если отнести шары на произвольное (но одинаковое) расстояние от прута, в плоскости перпендикулярной оси прута, и отпустить, то и без учета взаимодействия шаров между собой, они оба упадут на прут, т.е. сблизятся. Поэтому добавив прут вы внесли дополнительную сумятицу и непонятки в то, сколько времени понадобится шарам на столкновение (по их времени).

[Dedekind]

need_to_learn
Посмотрите задачу двух тел. Для начала, ее постановку и принятые обозначения, хотя бы даже по Википедии. Потому что сейчас непонятно, в какой системе отсчета Вы записываете уравнения, и какие силы на какие тела действуют. Затем, когда составите уравнение, один из его возможных способов решения - сведение к закону сохранения энергии, который представляет собой уравнение с разделяющимися коэффициентами, которое можно проинтегрировать. Правда, я не уверен, что интеграл будет в элементарных функциях.
Но легче не считать аналитически, а просто закодить численно и засечь время сближения.

[sergey zhukov]

need_to_learn
Очень хорошо.

Попробуйте найти не $r=r(t)$, а $t=t(r)$. Из закона сохранения энергии для этой системы легко найти $u(r)$, затем $dt=\frac{dr}{u(r)}$.

[Geen]

wrest в сообщении #1590550 писал(а):

Да, но зато на месте стоит центр масс

Вот только чего?....

[wrest]

Geen в сообщении #1590555 писал(а):

Вот только чего?....

(того...)

Речь шла о

wrest в сообщении #1590394 писал(а):

1. Ускорение одного шара в направлении второго в отсутствие прута.

wrest в сообщении #1590394 писал(а):

Ну и времена, соответственно, до столкновения шаров между собой

Ключевое выделено жирным. Два шара, прута нет. Центр масс соответсвенно -- системы двух шаров.

[amon]

need_to_learn в сообщении #1590548 писал(а):

отсюда ускорение $a = \dfrac{F}{m_1} = \dfrac{Gm_2}{r^2}$.

О! К четвертой странице формулы появились. Значит можно что-то предметно обсуждать. Давайте вместе решим. У Вас есть два тела. Пусть они исходно неподвижны и, для скорости, имеют равные массы.. Напишем для каждого уравнение Ньютона.

$$ \begin{align} m\ddot{x}_1&=\gamma\frac{m^2}{(x_1-x_2)^2}\\ m\ddot{x}_2&=-\gamma\frac{m^2}{(x_1-x_2)^2} \end{align} $$

Точка - это производная по времени. Сократим массы и сложим уравнения:

$$\frac{d}{dt}(\dot{x}_1+\dot{x}_2)=0\Rightarrow \dot{x}_1+\dot{x}_2=\operatorname{const}$$

Из начальных условий (тела покоились) $\operatorname{const}=0,$ значит $v_1=-v_2$ - уже что-то получилось. Теперь вычтем уравнения

$$\frac{d^2}{dt^2}(x_1-x_2)=-\gamma\frac{2m}{(x_1-x_2)^2},$$

обозначим $r=x_1-x_2,$ получим

$$\ddot r=-\gamma\frac{2m}{r^2}.$$

Сообразим, что ($v=\dot r$)

$$ \begin{align} \frac{1}{r^2}&=-\frac{d}{dr}\frac{1}{r}\\ \ddot r&=\frac{d}{dt}v=\frac{dv}{dr}\frac{dr}{dt}=v'v=\frac{d}{dr}\left(\frac{v^2}{2}\right)\\ \frac{d}{dr}&\left(\frac{v^2}{2}-\gamma\frac{2m}{r}\right)=0\Rightarrow \frac{v^2}{2}-\gamma\frac{2m}{r}=\operatorname{const} \end{align} $$

Находим константу из начальных условий, получаем зависимость $v(r).$
В качестве упражнения можете проделать тоже самое для разных масс.

[Geen]

(Оффтоп)

wrest в сообщении #1590556 писал(а):

Два шара, прута нет.

Ага, упустил момент когда задача настолько выродилась