ВТФ Доказательство клёвое весеннее

[Rak so dna]

Elfhybr в сообщении #1588709 писал(а):

типа ну зачем доказывать 3 степень, её же доказал Эйлер, правда он там притянул кое-что за уши...

Круто вы... об одной из самых гениальных догадок в истории математики...

[mathematician123]

Elfhybr в сообщении #1588709 писал(а):

ВОт странно...Если признают доказательство abc-гипотезы Мотидзуки, то доказательство ВТФ для 6 степени и выше станет до неприличия элементарным.

Каким образом из ABC гипотезы следует ВТФ? Как я понял следует только, что ВТФ имеет не более чем конечное количество исключений.

-- 09.04.2023, 20:26 --

mathematician123 в сообщении #1589023 писал(а):

ABC гипотезы

Кстати, в этой статье содержится вывод гипотезы Била из ABC гипотезы
По-моему, он ошибочен. Там написано, что неравенства $A < C$, $B < C$ очевидны. Но я не понимаю как получить их, например, для уравнения $A^3 + B^5 = C^{239} $.

[Rak so dna]

mathematician123 в сообщении #1589023 писал(а):

Кстати, в этой статье содержится вывод гипотезы Била из ABC гипотезы
По-моему, он ошибочен. Там написано, что неравенства $A < C$, $B < C$ очевидны. Но я не понимаю как получить их, например, для уравнения $A^3 + B^5 = C^{239} $.

Вроде легко исправляется: если $\max(A,B,C)=A$ - записываем ABC гипотезу с $A^x$, если $\max(A,B,C)=B$ то с $B^y$

-- 09.04.2023, 22:17 --

mathematician123 в сообщении #1589023 писал(а):

Каким образом из ABC гипотезы
следует ВТФ? Как я понял следует только, что ВТФ имеет не более чем конечное количество исключений.

Нет, из нее следует, что ВТФ верна для всех достаточно больших степеней.

[mathematician123]

Rak so dna в сообщении #1589051 писал(а):

Вроде легко исправляется

Согласен.

Rak so dna в сообщении #1589051 писал(а):

Нет, из нее следует, что ВТФ верна для достаточно больших степеней.

Можно так рассуждать: для уравнения $a^4 + b^4 = c^4$ гипотеза abc даёт ограничение сверху на $c$, то есть, решений не более чем конечно. Аналогично для $a^5 + b^5 = c^5$, $a^6 + b^6 = c^6$ и т. д. А когда мы дойдём до достаточно больших степеней, то решений вообще не будет. А в итоге получается не более чем конечное число исключений. Особым случаем является только уравнение $a^3 + b^3 = c^3$.

[Elfhybr]

Shadow в сообщении #1588763 писал(а):

Точнее 2.4 (6') на стр. 69 из этого источника.

Так, что всё-таки смогли подправить Эйлера и получили полноценное доказательство для 3 степени?

-- 10.04.2023, 16:06 --

Rak so dna в сообщении #1589019 писал(а):

Круто вы... об одной из самых гениальных догадок в истории математики...

Да, собственно, это не мои слова, а я дословно цитирую уважаемых авторов.

-- 10.04.2023, 16:08 --

mathematician123 в сообщении #1589023 писал(а):

Каким образом из ABC гипотезы
следует ВТФ? Как я понял следует только, что ВТФ имеет не более чем конечное количество исключений.

Я сам только недавно узнал об этом. Оказывается следует и ещё как. Доказывается в три строчки элементарно при помощи $abc^2$ гипотезы

-- 10.04.2023, 16:23 --

mathematician123 в сообщении #1589023 писал(а):

Каким образом из ABC гипотезы
следует ВТФ? Как я понял следует только, что ВТФ имеет не более чем конечное количест

Доказательство. От противного: пусть $x^n + y^n = z^n$ для некоторых натуральных чисел x, y, z и n > 2. По лемме об уравнении $x^n + y^n = z^n$ можно считать, что НОД(x, y) $$=$$ 1. Тогда, числа $ x^n$ и $y^n$ тоже взаимно просты, и обозначив $a = x^n$, $b = y^n$ , $c = z^n$ получим abc-тройку $ a+b=c$, для которой, согласно $(abc)^2$-гипотезе, выполняется цепочка неравенств:
$z^n = c < r(abc)^2 = r(x^ny^nz^n)^2 = r(xyz)^2 (xyz)^2 < (z^3)^2 = z^6$. где r- радикал, убирает все степени при разложении на простые сомножители.

-- 10.04.2023, 16:27 --

mathematician123 в сообщении #1589052 писал(а):

Можно так рассуждать: для уравнения $a^4 + b^4 = c^4$ гипотеза abc даёт ограничение сверху на $c$, то есть, решений не более чем конечно. Аналогично для $a^5 + b^5 = c^5$, $a^6 + b^6 = c^6$ и т. д. А когда мы дойдём до достаточно больших степеней, то решений вообще не будет. А в итоге получается не более чем конечное число исключений. Особым случаем является только уравнение $a^3 + b^3 = c^3$.

По этому поводу я и высказался: ни Уайлз, ни abc-гипотеза не захватывают 3 и 4 степень, а значит не могут считаться полноценным доказательством ВТФ. Или я не прав?

[Rak so dna]

Elfhybr в сообщении #1589117 писал(а):

Оказывается следует и ещё как. Доказывается в три строчки элементарно при помощи $abc^2$ гипотезы

То, что вы имеете ввиду (ВТФ для $n>6$), требует помимо самой ABC гипотезы ещё и доказательство того, что $K(1)\leq1$ в терминах ABC гипотезы. Без оценок на $K(\varepsilon)$ все, что можно утверждать — Для всех достаточно больших степеней ВТФ следует из ABC гипотезы.

[mihaild]

Elfhybr в сообщении #1589117 писал(а):

Так, что всё-таки смогли подправить Эйлера и получили полноценное доказательство для 3 степени?

Да, и уже давно.

Elfhybr в сообщении #1589117 писал(а):

Да, собственно, это не мои слова, а я дословно цитирую уважаемых авторов.

Можно пожалуйста точную ссылку, кто писал

Elfhybr в сообщении #1588709 писал(а):

Эйлер, правда он там притянул кое-что за уши

Elfhybr в сообщении #1589117 писал(а):

По этому поводу я и высказался: ни Уайлз, ни abc-гипотеза не захватывают 3 и 4 степень, а значит не могут считаться полноценным доказательством ВТФ. Или я не прав?

Я не знаю, правда ли что доказательство Уайлса не покрывает третью степень. Но даже если так, то:
-формально оно не является полным доказательством ВТФ
-но это неважно, потому что доказательство Уайлса + (исправленное) доказательство Эйлера вместе таки являются полным доказательством ВТФ

[Elfhybr]

mathematician123 в сообщении #1589052 писал(а):

Можно так рассуждать: для уравнения $a^4 + b^4 = c^4$ гипотеза abc даёт ограничение сверху на $c$, то есть, решений не более чем конечно. Аналогично для $a^5 + b^5 = c^5$, $a^6 + b^6 = c^6$ и т. д. А когда мы дойдём до достаточно больших степеней, то решений вообще не будет. А в итоге получается не более чем конечное число исключений. Особым случаем является только уравнение $a^3 + b^3 = c^3$.

Не совсем. 6 степень слабая $abc^2$-гипотеза доказывает (то что я привел выше в сообщении). Если учесть вот такую информацию, то можно снизить степень до 5:
"Среди всех известных ABC -троек, т.ч. $ c > rad(abc)$, все удовлетворяют $c < rad(abc)^2$, все, кроме 3, удовлетворяют $c < rad(abc)^{1,6}$, и все, кроме 13, удовлетворяют $c < rad(abc)^{1,5}$ "
Тогда получаем доказательство для п=5:
$1,6=5/3$
$z^n = c < r(abc)^{5/3} = r(x^ny^nz^n)^{5/3} = r(xyz)^{5/3} < (z^3)^5/3 = z^5 $

-- 10.04.2023, 17:07 --

Elfhybr в сообщении #1589117 писал(а):

Доказательство. От противного: пусть $x^n + y^n = z^n$ для некоторых натуральных чисел x, y, z и n > 2. По лемме об уравнении $x^n + y^n = z^n$ можно считать, что НОД(x, y)

$$=$$

1. Тогда, числа $ x^n$ и $y^n$ тоже взаимно просты, и обозначив $a = x^n$, $b = y^n$ , $c = z^n$ получим abc-тройку $ a+b=c$, для которой, согласно $(abc)^2$-гипотезе, выполняется цепочка неравенств:
$z^n = c < r(abc)^2 = r(x^ny^nz^n)^2 = r(xyz)^2 (xyz)^2 < (z^3)^2 = z^6$. где r- радикал, убирает все степени при разложении на простые сомножители.

Ошибся в доказательстве, вот правильное:
$z^n = c < r(abc)^2 = r(x^ny^nz^n)^2 = r(xyz)^2 < (z^3)^2 = z^6$. где r- радикал, убирает все степени при разложении на простые сомножители.

-- 10.04.2023, 17:13 --

Rak so dna в сообщении #1589118 писал(а):

То, что вы имеете ввиду (ВТФ для $n>6$), требует помимо самой ABC гипотезы ещё и доказательство того, что $K(1)\leq1$ в терминах ABC гипотезы. Без оценок на $K(\varepsilon)$ все, что можно утверждать — Для всех достаточно больших степеней ВТФ следует из ABC гипотезы.

Спорить не буду. Доказательство для n=6 не моё, а взято из мат. источников сети. Повтрюлишь цитаты из этих источников:
"Среди всех известных ABC -троек, т.ч. $ c > rad(abc)$, все удовлетворяют $c < rad(abc)^2$, все, кроме 3, удовлетворяют $c < rad(abc)^{1,6}$, и все, кроме 13, удовлетворяют $c < rad(abc)^{1,5}$ "

[Rak so dna]

Elfhybr в сообщении #1589120 писал(а):

Спорить не буду. Доказательство для n=6 не моё, а взято из мат. источников сети.

Вы не поняли ни того что писал mathematician123, ни того что писал я. Ваше "доказательство из сети" и есть случай $K(1)=1$. Почитайте точную формулировку ABC гипотезы.

[Elfhybr]

mihaild в сообщении #1589119 писал(а):

Можно пожалуйста точную ссылку, кто писал

Пожалуйста: Эдвардс "Последняя теорема Ферма...." Глава 2 "Эйлер" страницы 56, 61.
ключевые фразы: фундаментальный пробел, Эйлер допустил ошибку, можно ли залатать первоначальное доказательство Эйлера, Эйлер всерьез путает необходимые и достаточные условия. Эйлер не доказывает....
Думаю достаточно привел цитат из Эдвардса.
Если судить по книге Эдвардса Эйлер вообще не доказал ВТФ для n=3. Если по его словам в доказательстве присутствует фундаментальный пробел, то как и в истории с Уайлзом, его надо убирать. Пробел убрали, но сделал это уже не Эйлер.
Ещё раз процитирую Эдвардса: "Доказательство Эйлера содержало фундаментальный пробел о котором Эйлер, очевидно, не подозревал."
Такая вот история.

[Shadow]

Elfhybr в сообщении #1589117 писал(а):

Так, что всё-таки смогли подправить Эйлера и получили полноценное доказательство для 3 степени?

Нет, доказательство полноты двухпараметрического решения я не вижу - основная проблема доказательства Эйлера. Какая-то муть из общеизвестных фактов, большинсто из них известные благодаря Эйлеру - напр. вряд ли Эйлер не знал, что при нечетных $a,b\;\; a^3+3b^2 \equiv 4 \pmod 8$. А доказательство утверждения 6 - полный бред.
Так что не думаю.

[Elfhybr]

Shadow в сообщении #1589125 писал(а):

Нет, доказательство полноты двухпараметрического решения я не вижу - основная проблема доказательства Эйлера. Какая-то муть из общеизвестных фактов, большинсто из них известные благодаря Эйлеру - напр. вряд ли Эйлер не знал, что при нечетных $a,b\;\; a^3+3b^2 \equiv 4 \pmod 8$. А доказательство утверждения 6 - полный бред.
Так что не думаю.

И в Эдвардсе нет полноценного исправления доказательства Эйлера?

-- 10.04.2023, 17:41 --

Rak so dna в сообщении #1589122 писал(а):

Вы не поняли ни того что писал mathematician123, ни того что писал я. Ваше "доказательство из сети" и есть случай $K(1)=1$. Почитайте точную формулировку ABC гипотезы.

Вы тоже не очень понимаете, ту информацию, которую я привожу. Речь идет о слабой $abc^2$-гипотезе. Почитайте про неё. Посмотрите внимательно доказательство.

[Rak so dna]

Elfhybr в сообщении #1589124 писал(а):

Думаю достаточно привел цитат из Эдвардса.

Да, вы привели достаточно цитат... Не привели лишь одну, о которой вас просили.

Elfhybr в сообщении #1589124 писал(а):

Если судить по книге Эдвардса Эйлер вообще не доказал ВТФ для n=3.

Как вы можете о чем-то судить, когда не в состоянии из этой книги понять: так есть же все-таки доказательство ВТФ для $n=3$ или нет ???

Elfhybr в сообщении #1589124 писал(а):

Такая вот история.

[Elfhybr]

mihaild в сообщении #1589119 писал(а):

Я не знаю, правда ли что доказательство Уайлса не покрывает третью степень. Но даже если так, то:
-формально оно не является полным доказательством ВТФ
-но это неважно, потому что доказательство Уайлса + (исправленное) доказательство Эйлера вместе таки являются полным доказательством ВТФ

Как я понял из обзоров, Уайлз доказал для 5 и выше, 3 (Эйлер, с исправлениями), 4 (Ферма).
Картина цельной не выглядит, а это уже дело вкуса так скажем. По мне полное так полное и в этом красота. А здесь...

-- 10.04.2023, 17:54 --

Rak so dna в сообщении #1589129 писал(а):

Да, вы привели достаточно цитат... Не привели лишь одну, о которой вас просили.

Какая вам нужна цитата? Про уши что ли? Ну это я фигурально выразился. Вот эта цитата не подтверждает разве мои слова: при этом Эйлер не доказывает, что....обязаны быть кубами". Это что по вашему не притягивание за уши? Или в имеете ввиду,что в отношении Гения математики я употребил неприменимые фразеологизмы. Хорошо, я приношу свои извинения.

-- 10.04.2023, 17:55 --

Rak so dna в сообщении #1589129 писал(а):

Как вы можете о чем-то судить, когда не в состоянии из этой книги понять: так есть же все-таки доказательство ВТФ для $n=3$ или нет ???

Не горячитесь, это я вообще спросил полушутя.

-- 10.04.2023, 18:30 --

Elfhybr в сообщении #1589130 писал(а):

Как вы можете о чем-то судить, когда не в состоянии из этой книги понять: так есть же все-таки доказательство ВТФ для $n=3$ или нет ???

Но судя по Эдвардсу первоначальное доказательство Эйлера похоже вообще не спасаемо:
"...Такой метод не дает ответа на вопрос о том, можно ли залатать первоначальное доказательство Эйлера..."

[Rak so dna]

Shadow в сообщении #1589125 писал(а):

большинсто из них известные благодаря Эйлеру

Так смысл статьи — восстановить предположительно имеющееся у Эйлера элементарное доказательство.

Shadow в сообщении #1589125 писал(а):

А доказательство утверждения 6 - полный бред.

А что с ним не так?