Иррациональные числа и их свойства

[photon]

1) Большинство, используя на практике число $e$, ограничиваются тем, что помнят, что оно приблизительно равно $2.7$, хотя запомнить довольно много знаков это числа совсем не сложно, посудите сами: $e=\text{2,7 18 28 18 28 45 90 45}\dots$
2) Казалось бы, никакого предпочтения к той или иной цифре у иррационального числа быть бы не должно, а посмотрите на десятичное представление числа $\pi$ - возьмите знаков побольше - хотя бы несколько сотен, и вы увидите, что почему-то цифра $7$ встречается там значительно реже других

Откуда идут такие интересные закономерности? Это случайность или нет? Может быть вы знаете другие интересные закономерности для иррациональных чисел?

[juna]

Знаю, что подобными эргодическими свойствами занимается В.И. Арнольд. Не помню точно где, по-моему в его "Что такое математика" что-то подобное описано и с большой вероятностью еще где-то у него, например "Цепные дроби".

[Someone]

photon писал(а):

2) Казалось бы, никакого предпочтения к той или иной цифре у иррационального числа быть бы не должно, а посмотрите на десятичное представление числа $\pi$ - возьмите знаков побольше - хотя бы несколько сотен, и вы увидите, что почему-то цифра $7$ встречается там значительно реже других

Вот данные о количестве различных цифр среди первых 10000 цифр числа $\pi$:

$$\begin{array}{cccccccccc}0&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\ 968&1026&1021&975&1012&1046&1021&970&947&1014\end{array}$$

А вот - среди 20000:

$$\begin{array}{cccccccccc}0&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\ 1954&1997&1986&1987&2043&2082&2017&1953&1961&2020\end{array}$$

И даже среди 100000:

$$\begin{array}{cccccccccc}0&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\ 9999&10137&9908&10026&9971&10026&10028&10025&9978&9902\end{array}$$

Но для 500 цифр распределение такое:

$$\begin{array}{cccccccccc}0&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\ 45&59&53&51&53&50&48&36&53&52\end{array}$$

Можно с помощью статистических тестов проверить, соответствуют ли эти данные гипотезе о равномерном распределении.

[Alik]

Принято считать, что десятичные цифры "п" после запятой распределены случайно. Возможно доказательство этому уже найдено. Существует также способ нахождения этих цифр с помощью метода Монте-Карло. Последний, кстати, связан с конструированием атомной бомбы, вернее с ее расчетами в США. Ими на рулетке в Монте-Карло занимался ребе Джон фон Нейман сотоварищи.
http://www.judea.ru/article.php3?id=1509
историю вычислений "п" можно почитать здесь
http://www.cecm.sfu.ca/~jborwein/pi-slides.pdf
о вкладе в нее русских математиков тут
http://en.wikipedia.org/wiki/Gregory_Chudnovsky

[shwedka]

Абсолютно иррелевантно!!!
Статистические тесты говорят о закономерностях , проявляющихся при многократных повторениях экспериментов.
У нас 1 (прописью, одна) последовательность.
Равномерность распределения цифр означает не больше и не меньше, чем
$\lim_{n\to\ \infty}n_7/n=1/10$, где $n_7$ - количество семерок среди первых n цифр. Никакой эксперимент не скажет ничего правильного об этом. Хотите что-то сказать о распределении- доказывайте.

[photon]

Someone писал(а):

Вот данные о количестве различных цифр среди первых 10000 цифр числа $\pi$:
...

Действительно, с ростом числа рассматриваемых цифр стремление $\lim_{n\to\ \infty}n_7/n=1/10$ наблюдается. Интересно только, почему для 500 цифр (вроде 500 это не так уж и мало) такой явный перекос не в пользу семерки. Интересно было бы построить график $f_{\pi_7}(n)=n_7/n$ или например $f_{\pi_7}(n)=|n_7/n-1/10|$.

Someone, если Вы так лихо привели эту статистику, может порадуете нас и картинкой, а?

[Борис Лейкин]

А я решил как-то написать программу, которая каждую пару цифр десятичного
разложения какого-нибудь иррационального числа, заменяла на букву из
кириллицы или латиницы. Очень было интересно, какие слова или даже
предложения получатся на выходе. Ничего интересного в итоге не получилось:
ну попадались коротенькие слова типа "мама", "дом", "лох", "шыш", и т.п.
Но я то думал, а вдруг появится какая-нибудь фраза, вроде "Здравствуй, Борис,
это я, Бог, с тобой разговариваю. Как поживаешь?"

[Руст]

В книжке Жукова "Число пи" сказано, что японцы просчитали миллиард знаков после запятой и никаких расхождений от неравномерности не обнаружено.

[photon]

Руст писал(а):

В книжке Жукова "Число пи" сказано, что японцы просчитали миллиард знаков после запятой и никаких расхождений от неравномерности не обнаружено.

Ну и замечательно, я не помню откуда я подчерпнул такую информацию, но наверное ее писали, когда было маловато знаков.

[Someone]

shwedka писал(а):

Абсолютно иррелевантно!!!
...

Не понял возражения. Ситуация совершенно стандартная для применения статистических тестов. Многократное повторение экспериментов здесь наличествует: каждая цифра есть результат отдельного опыта. Так что опытов тут много, аж 100000. Другое дело, что приведённые серии не являются независимыми, поскольку содержат обшие данные. Ну так надо просто вычесть эти общие данные, и рассмотреть 4 неперекрывающиеся последовательности, содержащие 500, 9500, 10000 и 80000 опытов.

[shwedka]

Someone
Иррелевантно, потому что статистические тесты, даже если их применять всю жизнь,
не скажут ни крупицы истины о равномерности распределения,
то есть о пределе.
Любые тесты говорят о свойствах конечного участка последовательности, а предел - это о том, что происходит вне любого наперед заданного конечного участка.

[Someone]

shwedka писал(а):

Someone
Иррелевантно, потому что статистические тесты, даже если их применять всю жизнь,
не скажут ни крупицы истины о равномерности распределения,
то есть о пределе.
Любые тесты говорят о свойствах конечного участка последовательности, а предел - это о том, что происходит вне любого наперед заданного конечного участка.

Ах, Вы в этом смысле. Так речь и идёт о конечном участке последовательности. О том, соответствует ли наблюдаемое на нём гипотезе о равномерности распределения.

Какие-то теоретические результаты о равномерности распределения цифр "в целом" для "почти всех действительных чисел" имеются, но, если не ошибаюсь, ни для какого общеизвестного иррационального числа эта равномерность не доказана.

[shwedka]

Цитата:

Так речь и идёт о конечном участке последовательности. О том, соответствует ли наблюдаемое на нём гипотезе о равномерности распределения.

это уже не наука, а упражнение для студентов на применение стандартных формул. Даже скучно.

[er]

shwedka писал(а):

Цитата:

Так речь и идёт о конечном участке последовательности. О том, соответствует ли наблюдаемое на нём гипотезе о равномерности распределения.

это уже не наука, а упражнение для студентов на применение стандартных формул. Даже скучно.

Ну, почему, что плохого заставить комп работать? Не все же самому думать. Численный эксперемент, так сказать..

Есть разные методы для проверки генераторов псевдослучайных чисел. Вот их к $\pi$ и применить. Результаты были бы любопытны. Например, сколько подряд идущих одинаковых цифр в последовательности. И т.п.

Может какая и польза из этого, новый генератор придумать можно.

[shwedka]

Цитата:

Не все же самому думать.

Думать полезно. От этого становится умное лицо
(Акутагава Рюноске)