Определение дифференцируемости в точке

[give_up]

мат-ламер
Ну да, мы же ранее пришли в этой теме к тому, что в книгах типа Теляковского (как и в большинстве современных учебников по матанализу) о-малое это соглашение, а не функция. Оно определяется так (в случае числовых функций, легко построить обобщение нижеприведенного определения для функций нескольких переменных и вектор-функции):

vpb в сообщении #1582256 писал(а):

Пусть $f$ и $g$ определены на некоторой проколотой окрестности $\stackrel{\circ}{U}_\delta(a)$. Тогда пишут, что $g=o(f)$ при $x\rightarrow a$, если существует такая проколотая окрестность $\stackrel{\circ}{U}_\varepsilon(a)$, где $\varepsilon$, вообще говоря, меньше $\delta$, и функция $\alpha(x)$, определенная всюду на $\stackrel{\circ}{U}_\varepsilon(a)$, что $g(x)=\alpha(x)f(x)$ на $\stackrel{\circ}{U}_\varepsilon(a)$ , и $\alpha(x)\rightarrow0$ при $x\rightarrow a$.

-- Сб мар 11, 2023 16:50:29 --

А у Нестерова и Сухарева определенно имеется неточность (ляп, косяк) в определениях дифференцируемости. Они определяют о-малое как функцию, но тогда норму под символом о не надо писать, и область определения ее другая (это не числовая функция, а функция нескольких переменных). А они ее пишут, чем и вводят в заблуждение некоторых дотошных читателей (их определения некорректны по сути).

[мат-ламер]

Padawan в сообщении #1585081 писал(а):

Нет никакой неточности. Всё правильно.

Лично меня конкретно у Бутузова смутило следующее высказывание: "причём слагаемое $o(\rho)=0$ при $\rho = 0$" , что явно намекает, что он рассматривает это слагаемое как функцию.

-- Сб мар 11, 2023 18:03:57 --

give_up в сообщении #1585085 писал(а):

о-малое это соглашение, а не функция.

Оно то да. А вот $o(\|x\|)$ - это уже функция, но не от $\|x\|$ , а от $x$ .

-- Сб мар 11, 2023 18:11:12 --

мат-ламер в сообщении #1585087 писал(а):

Оно то да. А вот $o(\|x\|)$ - это уже функция, но не от $\|x\|$ , а от $x$ .

Точнее, это символ, заменяющий функцию.

[give_up]

мат-ламер в сообщении #1585087 писал(а):

Точнее, это символ, заменяющий функцию.

Да, как-то так. В том смысле, что $o(\|\mathbf{x}\|)$ можно заменить на функцию $\alpha(\mathbf{x})\|\mathbf{x}\|$, где функция $\alpha(\mathbf{x})$ является бесконечно малой числовой функцией векторного аргумента, то есть $\lim _{\mathbf{x} \to 0}\alpha(\mathbf{x}) = 0$. И всякие алгебраические манипуляции (например, возведение в квадрат) желательно проводить с выражением $\alpha(\mathbf{x})\|\mathbf{x}\|$, а не с выражением $o(\|\mathbf{x}\|)$.

[мат-ламер]

Ещё раз приношу извинения за Бутузова и Кудрявцева. У Кудрявцева всё правильно. А вот Бутузов меня просто смутил фразой, которую я процитировал.

[give_up]

мат-ламер
Также отмечу интересный факт, что некоторые учебники под символом о-малое подразумевают соглашение, но при этом символ нормы под о не ставят. Например, в Зориче, п. 10.3.1, написано следующее определение дифференцируемой функции:

Цитата:

Пусть $X,Y$ - нормированные пространства. Отображение $f: E \to Y$ множества $E \subset X$ в $Y$ называется дифференцируемым в точке $x \in E$, внутренней для $E$, если существует такое линейное непрерывное отображение $L(x): X \to Y$, что
$f(x+h) - f(x) = L(x)h + \alpha(x;h),$
где $\alpha(x;h) = o(h)$ при $h \to 0, ~ x+h \in E.$
Запись "$\alpha(x;h) = o(h)$ при $h \to 0, ~ x+h \in E$", разумеется, означает, что
$\displaystyle \lim_{h \to 0, \, x+h \in E} \frac{\|\alpha(x;h)\|_Y}{\|h\|_X} = 0$

Это определение у него кстати комбинирует в себе два подхода: в равенстве из определения дифференцируемости он использует функцию $\alpha(x;h)$, но при этом использует и символ-соглашение о-малое в строке ниже для того, чтобы ее охарактеризовать ($\alpha(x;h) = o(h)$). Ясно, что оно эквивалентно определениям из других учебников.
Думаю это тот случай, про который вы ранее здесь писали:

мат-ламер в сообщении #1582405 писал(а):

А можно символ нормы не ставить и опять же договориться, что эта запись будет обозначать.

Правда в других учебниках обычно используют один подход - либо дают определение только через функцию (учебник Булдырева-Павлова "линейная алгебра и функции многих переменных", учебник Шилова "Математический анализ. Функции нескольких переменных", учебник Васильева по оптимизации), либо дают определение через $o(\|h\|)$, где символ о трактуется как соглашение (большинство современных учебников по матанализу).

[мат-ламер]

Лично мне нравится как у Зорича, либо как вы писали

give_up в сообщении #1585091 писал(а):

$o(\|\mathbf{x}\|)$ можно заменить на функцию $\alpha(\mathbf{x})\|\mathbf{x}\|$, где функция $\alpha(\mathbf{x})$ является бесконечно малой числовой функцией векторного аргумента

Ну, или символ нормы в о-символике упускать. А запись $...+o(\|x\|)$ , хотя и правильная, но недолюбливаю я её.