Определение дифференцируемости в точке

[give_up]

Листая учебник Б.Т. Поляка "Введение в оптимизацию" я увидел там на стр.15 следующее определение дифференцируемости в точке, которое меня несколько озадачило:

Цитата:

Функция $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ называется дифференцируемой в точке $\mathbf{x}_0 \in \mathbb{R}^n$, если найдется такой вектор $\mathbf{a} \in \mathbb{R}^n$, что для всех $\mathbf{h} \in \mathbb{R}^n$ выполняется равенство
$f(\mathbf{x}_0 + \mathbf{h}) = f(\mathbf{x}_0) + \langle \mathbf{a},\mathbf{h} \rangle + o(\mathbf{h}). \qquad\qquad\qquad\qquad(*)$

А именно, меня в нем озадачила фраза "для всех $\mathbf{h} \in \mathbb{R}^n$". Поскольку в известных мне учебниках матанализа требовалось лишь, чтобы вышеприведенное равенство $(*)$ выполнялось для всех $\mathbf{h} из некоторой малой окрестности точки $\mathbf{x}_0$. В связи с этим возникло два вопроса:
1) предположим, что для некоторой функции $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ удалось показать, что равенство $(*)$ выполняется для всех $\mathbf{h} из некоторой малой окрестности точки $\mathbf{x}_0$. Неужели этого недостаточно для того, чтобы заявить о дифференцируемости функции $f$ в точке $\mathbf{x}_0$ ?
2) будет ли корректным следующее очевидное обобщение вышеприведенного определения на случай вещественнозначной функции с областью определения $\operatorname{dom} f \subset \mathbb{R}^n$:
Функция нескольких переменных $f(\mathbf{x})$ называется дифференцируемой в точке $\mathbf{x}_0 \in \operatorname{int}\operatorname{dom} f$, если найдется такой вектор $\mathbf{a} \in \mathbb{R}^n$, что для всех $\mathbf{h} \in \operatorname{dom} f$ выполняется равенство
$f(\mathbf{x}_0 + \mathbf{h}) = f(\mathbf{x}_0) + \langle \mathbf{a},\mathbf{h} \rangle + o(\mathbf{h}).$

[bot]

give_up в сообщении #1582191 писал(а):

меня в нем озадачила фраза "для всех $h \in \mathbb{R}^n$

1) Это не должно Вас заботить просто существование достаточно малой окрестности включено в равенство $f({x}_0 + h) = f(x_0) + \langle a,h \rangle + o(h)$
2) аккуратнее надо: ... что для всех $h\in \mathbb{R}^n$ выполнена импликация

$$x_0+h\in \operatorname{dom} f\Rightarrow f(x_0 + h) = f(x_0) + \langle a,h \rangle + o(h)$$

[RIP]

Сформулировано криво. «$o(h)$ для всех $h$» (как и для $h$ из окрестности) — это бессмыслица. $o(\cdot)$ определяется через предел, поэтому нужно указывать, куда стремится $h$.

[мат-ламер]

give_up в сообщении #1582191 писал(а):

А именно, меня в нем озадачила фраза "для всех $\mathbf{h} \in \mathbb{R}^n$".

Поляк для простоты предполагает, что функция определена всюду, полагая, что заинтересованный читатель в случае необходимости это определение переделает под себя для варианта, когда функция определена не всюду.

[give_up]

bot в сообщении #1582202 писал(а):

1) Это не должно Вас заботить просто существование достаточно малой окрестности включено в равенство $f({x}_0 + h) = f(x_0) + \langle a,h \rangle + o(h)$

Попробую выразиться чуть более подробно, что меня тревожит. Мне понятно, что если равенство $(*)$ выполняется для всех $\mathbf{h} \in \mathbb{R}^n$, то оно будет выполняться и для всех векторов $\mathbf{x}_0 + \mathbf{h}$ из некоторой окрестности $U_\delta(\mathbf{x}_0)$ точки $\mathbf{x}_0$ (можно взять радиус этой окрестности $\delta$ сколько угодно большим).
Вопрос в обратном утверждении - пусть нам удалось показать для некоторой функции $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ (здесь и далее под этим обозначением подразумеватся, что функция определена всюду на $\mathbb{R}^n$), что для нее равенство $(*)$ выполняется для всех векторов $\mathbf{x}_0 + \mathbf{h}$ из некоторой окрестности $U_\delta(\mathbf{x}_0)$. Учебники матанализа утверждают, что этого уже достаточно, чтобы назвать эту функцию $f$ дифференцируемой в точке $\mathbf{x}_0$. Зачем же тогда Поляк в своем определении дифференцируемости в точке требует выполнение равенства $(*)$ для всех $\mathbf{h} \in \mathbb{R}^n$, ведь это требование по моему мнению более сильное.
Хотя появилась сейчас у меня гипотеза, что я ошибаюсь, и это требование не является более сильным. То есть что утверждение "функция $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ удовлетворяет равенству $(*)$ для всех $\mathbf{h} \in \mathbb{R}^n$" эквивалентно утверждению "функция $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ удовлетворяет равенству $(*)$ для всех для всех векторов $\mathbf{x}_0 + \mathbf{h}$ из некоторой малой окрестности $U_\delta(\mathbf{x}_0)$." Если это так, тогда вопросов больше нет.

RIP в сообщении #1582206 писал(а):

Сформулировано криво. «$o(h)$ для всех $h$» (как и для $h$ из окрестности) — это бессмыслица. $o(\cdot)$ определяется через предел, поэтому нужно указывать, куда стремится $h$.

Согласен, кривовато. Стоило добавить фразу "при $\mathbf{h} \to \mathbf{0}_n$", но видимо Поляк посчитал, что читатель тут должен сам вспомнить эту фразу.

[RIP]

Упоминание «для всех $\mathbf{h}\in\mathbb{R}^n$» или «для всех $\mathbf{h}\in U_{\delta}(\mathbf{0})$» (не $\mathbf{x}_0$, поскольку $\mathbf{h}$ — это приращение) вообще излишне. Равенство с $o(\cdot)$ подразумевает для каждого $\varepsilon>0$ выполнение неравенства в некоторой окрестности (зависящей от $\varepsilon>0$). Можно упомянуть, что функция определена в некоторой окрестности, но в определении уже сказано, что функция определена всюду (если, конечно, в учебнике не разрешаются частично определённые функции).

-- Сб 2023-02-18 19:35:55 --

То есть равенство типа $f(x)=o(1)$ при $x\to x_0$ ничего не говорит о значениях функции в отдельных точках (или даже на множествах, для которых точка $x_0$ внешняя). Оно описывает поведение функции при стремлении аргумента к $x_0$. Поэтому фраза типа «для всех $x$ верно $f(x)=o(1)$» бессмысленна. Это всё равно что писать «для всех $x$ верно $\int_{0}^{1}f(x)\,\mathrm{d}x=0$».

[give_up]

RIP
Боюсь не совсем Вас понял. Вот я смотрю на определение символа о-малое из учебника по матанализу, и оно гласит следующее:

Цитата:

Пусть функции $g$ и $f$ определены на проколотой окрестности $\stackrel{\circ}{U}_\delta(a)$. Пишут, что $g=o(f)$ при $x \to a$, если:
$1) ~ g(x) = \alpha(x)f(x), ~~ \forall x \in \stackrel{\circ}{U}_\delta(a);$
$2) \displaystyle \lim_{x \to a, \, x \in \stackrel{\circ}{U}_\delta(a)} \alpha(x) = 0.$

Видно что как в п.1, так и в п.2, есть зависимость от $\delta$.
Если вернуться к определению дифференцируемости, то получаем две ситуации. В определении Поляка равенство $(*)$ гласит следующее:
$1) f(\mathbf{x}_0 + \mathbf{h}) - f(\mathbf{x}_0) - \langle \mathbf{a}, \mathbf{h} \rangle = \alpha(\mathbf{h})\|\mathbf{h}\|, ~~ \forall \mathbf{h} \in \mathbb{R}^n$
$2) \displaystyle \lim_{\mathbf{h} \to \mathbf{0}_n, \, \mathbf{h} \in \mathbb{R}^n} \alpha(\mathbf{h}) = 0.$

А определение дифференцируемости в точке, приводимое в большинстве учебников по матанализу, эквивалентно следующим двум пунктам:
$1') f(\mathbf{x}_0 + \mathbf{h}) - f(\mathbf{x}_0) - \langle \mathbf{a}, \mathbf{h} \rangle = \alpha(\mathbf{h})\|\mathbf{h}\|, ~~ \forall \mathbf{h} \in U_\delta(\mathbf{0}_n)$
$2') \displaystyle \lim_{\mathbf{h} \to \mathbf{0}_n, \, \mathbf{h} \in U_\delta(\mathbf{0}_n)} \alpha(\mathbf{h}) = 0.$
Где $U_\delta(\mathbf{0}_n)$ - некоторая малая окрестность нуля.

азличие между $2)$ и $2')$ действительно не особо важно и несущественно (так как на то, что происходит вдали от предельной точки нам наплевать). Однако, различие между $1)$ и $1')$ мне кажется более существенным, потому что оно определяет, насколько далеко от точки $\mathbf{x}_0$ равенство $f(\mathbf{x}_0 + \mathbf{h}) = f(\mathbf{x}_0) + \langle \mathbf{a}, \mathbf{h} \rangle + \alpha(\mathbf{h})\|\mathbf{h}\|$ будет оставаться справедливым для дифференцируемой в точке $\mathbf{x}_0$ функции. Поляк говорит, что это равенство будет справедливо даже если отойти на любое расстояние от точки $\mathbf{x}_0$ (допускается взять огромную величину $\mathbf{h}$). А учебники по матанализу говорят, что далеко от точки $\mathbf{x}_0$ уходить нельзя, нужно оставаться в некоторой ее малой окрестности (насколько малой - непонятно).

[RIP]

Равенство $f(\mathbf{x}_0 + \mathbf{h}) - f(\mathbf{x}_0) - \langle \mathbf{a}, \mathbf{h} \rangle = \alpha(\mathbf{h})\|\mathbf{h}\|$ однозначно задаёт функцию $\alpha$ (кроме $\alpha(\mathbf{0})$). При этом значения $\alpha(\mathbf{h})$ при $h\notin U_{\delta}(\mathbf{0})$ никак не влияют на выполнение второго свойства. Если у нас есть 1', то мы просто доопределим $\alpha$ на всё $\mathbb{R}^n$ с помощью 1. При этом 2 также будет выполнено, потому что 2 эквивалентно 2'.

-- Сб 2023-02-18 21:44:18 --

Кстати, определение о-малого сформулировано неверно. Равенство $g(x)=\alpha(x)f(x)$ должно выполняться в какой-то проколотой окрестности $\mathring{U}_{\delta_1}(a)$, при этом $\delta_1$ не обязано равняться $\delta$ (то есть равенство может выполняться в меньшей окрестности, чем та, на которой определены функции).

[vpb]

give_up в сообщении #1582247 писал(а):

оно гласит следующее:

Дык, неправильно оно гласит. Правильно так:
Пусть $f$ и $g$ определены на некоторой проколотой окрестности $\stackrel{\circ}{U}_\delta(a)$. Тогда пишут, что $g=o(f)$ при $x\rightarrow a$, если существует такая проколотая окрестность $\stackrel{\circ}{U}_\varepsilon(a)$, где $\varepsilon$, вообще говоря, меньше $\delta$, и функция $\alpha(x)$, определенная всюду на $\stackrel{\circ}{U}_\varepsilon(a)$, что $g(x)=\alpha(x)f(x)$ на $\stackrel{\circ}{U}_\varepsilon(a)$ , и $\alpha(x)\rightarrow0$ при $x\rightarrow a$.

А в каком это учебнике такое ?

-- 18.02.2023, 20:59 --

А, пока я свое писал, коллега уже заметил... Ладно, пойду отсюда, без меня большевики обойдутся.

[give_up]

RIP
Спасибо!

RIP в сообщении #1582251 писал(а):

Если у нас есть 1', то мы просто доопределим $\alpha$ на всё $\mathbb{R}^n$ с помощью 1.

Думаю действительно так и делают, если нужно записать равенство $f(\mathbf{x}_0 + \mathbf{h}) - f(\mathbf{x}_0) - \langle \mathbf{a}, \mathbf{h} \rangle = \alpha(\mathbf{h})\|\mathbf{h}\|$ вдали от точки $\mathbf{x}_0$. В общем, получилось что определение дифференцируемости из учебника Поляка и из учебников матанализа (через окрестность) эквивалентны, как я и надеялся.

RIP в сообщении #1582251 писал(а):

Кстати, определение о-малого тоже сформулировано криво. Равенство $g(x)=\alpha(x)f(x)$ должно выполняться в какой-то проколотой окрестности $\mathring{U}_{\delta_1}(a)$, при этом $\delta_1$ не обязано равняться $\delta$ (то есть равенство может выполняться в меньшей окрестности, чем та, на которой определены функции).

Согласен, я поторопился при его записи. Но думаю, что эта деталь не меняет вышеупомянутое утверждение, то есть если заменить в выражениях 1' и 2' константу $\delta$ на константу $\delta_1 < \delta$, то все так же функцию $\alpha(\mathbf{h})$ из равенства 1' можно будет доопределить на все $\mathbb{R}^n$, и получить в итоге равенство 1. Что мне и нужно было.

Разве что в завершение осталось упомянуть маленькую деталь, что в контексте определения дифференцируемости функцию $\alpha(\mathbf{h})$ дополнительно доопределяют в нуле нулем, то есть полагают $\alpha(\mathbf{0}_n) = 0$.

[RIP]

give_up в сообщении #1582265 писал(а):

Но думаю, что эта деталь не меняет вышеупомянутое утверждение

Но она делает определение неверным. Если рассмотреть функции (определённые на $\mathbb{R}$)

$$f(x)=\begin{cases}1,&|x|<1,\\0,&|x|\geqslant1,\end{cases}\qquad g(x)=\begin{cases}0,&|x|<1,\\1,&|x|\geqslant1,\end{cases}$$

то $g(x)=o(f(x))$ при $x\to0$, однако нельзя подобрать функцию $\alpha$, чтобы равенство $g(x)=\alpha(x)f(x)$ выполнялось при всех $x\ne0$.

Возможность доопределить $\alpha$ на всё $\mathbb{R}^n$ в определении дифференцируемости не по существу. Функция $\alpha$ должна быть определена только в некоторой проколотой окрестности нуля, согласно правильному определению $o(\cdot)$.

[bot]

bot в сообщении #1582202 писал(а):

аккуратнее надо

Исправляя лплошность, написал глупость
Разумется, равенство с о-малым - это не равенство, а предельный переход.

[give_up]

RIP в сообщении #1582266 писал(а):

Возможность доопределить $\alpha$ на всё $\mathbb{R}^n$ в определении дифференцируемости не по существу.

Ну почему же не по существу, в контексте обсуждаемого определения дифференцируемости этот момент и является самым важным, поскольку позволяет показать, что из стандартного определения дифференцируемости в точке следует определение Поляка. А в какой именно окрестности нуля изначально (до доопределения) была определена функция $\alpha(\mathbf{h})$ - вот это мне кажется не особо важным.

-- Вс фев 19, 2023 09:41:15 --

Кстати, определение Поляка похоже весьма популярно в учебниках по оптимизации. Вот, например, аналогичное определение дифференцируемости в точке из книги Нестерова "Методы выпуклой оптимизации" (каноническая книга в этой области). Правда там оно, судя по формулировке, является скорее не определением, а необходимым условием:

Цитата:

Пусть функция $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ (определенная на всем пространстве $\mathbb{R}^n$) дифференцируема в точке $\mathbf{x}_0 \in \mathbb{R}^n$. Тогда для всех $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$ имеем:
$f(\mathbf{x}) = f(\mathbf{x}_0) + \langle \nabla f(\mathbf{x}_0),\mathbf{x} - \mathbf{x}_0 \rangle + o(\|\mathbf{x} - \mathbf{x}_0\|),$
где $o(r)$ - некоторая функция от $r \ge 0$, удовлетворяющая условиям $\displaystyle \lim_{r \downarrow 0} \frac{1}{r} o(r) = 0, ~~ o(0) = 0.$

Отмечу, что в этом утверждении снова видим фразу "для всех $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$" (по сути эквивалентную фразе Поляка "для всех $\mathbf{h} \in \mathbb{R}^n$", так как $\mathbf{x} = \mathbf{x}_0 + \mathbf{h}$).

[krum]

(Оффтоп)

give_up в сообщении #1582293 писал(а):

Ну почему же не по существу,

Потому, что не по существу. Содержания определений не видите. И ни кто Вам это не объяснит, потому, что такая штука как "способности" -- это объективная реальность. А если и объяснит, то Вы преткнетесь в чем-нибудь еще, что другие люди со способностями проскакивают после 5 минутного обдумывания. Я поэтому и не стал с Вами дальше препираться в другой ветке. Смысла нет.

[give_up]

(Оффтоп)

krum
О, а я все ждал, когда же вы все-таки выскажетесь. Раз уж вы не смогли удержаться от нападок на меня и в этой теме, то напомню, что вся ваша "помощь" в прошлой моей ветке свелась к следующему:
1) Сделали необоснованный тезис о том, что якобы моя задача не разобраться с учебниками (определениями), а в чем-то еще. Обоснования этого Вашего тезиса я так и не услышал. Интересно будет услышать, в чем именно там состояла моя задача.
2) На основании этого необоснованного тезиса несколько раз настойчиво просили удалить тему (хотя как минимум двум уважаемым участникам этого форума, пользователям мат-ламер и vpb она показалась интересной и достойной обсуждения). Моя просьба указать, какие именно правила форума я там нарушил, была оставлена Вами без ответа. Неоднократные безосновательные просьбы удалить мою тему вызывают у меня вопросы к вашему поведению на данном форуме.
3) Начали уводить тему в оффтоп, начав рассматривать понятие непрерывной дифференцируемости на замыкании множества, хотя в стартовом посте было очевидно, что все точки множества $S$ (в том числе граничные) являются внутренними точками области определения функции и замыкание $S$ отношения к делу не имеет.
4) Перепутали учебник Бесова с учебником какого-то Полежаева
5) сразу ушли из темы как только я Вам показал, что мое определение совпадает с определением Бесова. Если несогласны с этим, и есть что-то еще сказать по этому вопросу - возвращайтесь туда и высказывайте. Кстати, я там два раза уже просил об этом - если есть возражения, обоснуйте. А Ваши постоянные утверждения и намеки в духе "вы просто туповат и не понимаете базовых и всем очевидных определений" раздражают и думаю вообще не вкатывают в рамки и правила этого форума. Да, здесь иногда задают вопросы по базовым определениям, которые люди со "способностями" бы не задали, им бы хватило пятиминутного обдумывания. Смиритесь уже с этим, это не является нарушением правил. И кстати, конкретно я здесь задаю такие вопросы вовсе не часто, 180 сообщений за 12 лет - это ни о чем (и далеко не все они касались каких-то базовых определений).
Если есть дальнейшие претензии ко мне - пишите в личных сообщениях, чтобы не уводить эту тему в очередной оффтоп.