2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4
 
 Re: Определение дифференцируемости в точке
Сообщение11.03.2023, 16:46 


21/03/11
200
мат-ламер
Ну да, мы же ранее пришли в этой теме к тому, что в книгах типа Теляковского (как и в большинстве современных учебников по матанализу) о-малое это соглашение, а не функция. Оно определяется так (в случае числовых функций, легко построить обобщение нижеприведенного определения для функций нескольких переменных и вектор-функции):
vpb в сообщении #1582256 писал(а):
Пусть $f$ и $g$ определены на некоторой проколотой окрестности $\stackrel{\circ}{U}_\delta(a)$. Тогда пишут, что $g=o(f)$ при $x\rightarrow a$, если существует такая проколотая окрестность $\stackrel{\circ}{U}_\varepsilon(a)$, где $\varepsilon$, вообще говоря, меньше $\delta$, и функция $\alpha(x)$, определенная всюду на $\stackrel{\circ}{U}_\varepsilon(a)$, что $g(x)=\alpha(x)f(x)$ на $\stackrel{\circ}{U}_\varepsilon(a)$ , и $\alpha(x)\rightarrow0$ при $x\rightarrow a$.


-- Сб мар 11, 2023 16:50:29 --

А у Нестерова и Сухарева определенно имеется неточность (ляп, косяк) в определениях дифференцируемости. Они определяют о-малое как функцию, но тогда норму под символом о не надо писать, и область определения ее другая (это не числовая функция, а функция нескольких переменных). А они ее пишут, чем и вводят в заблуждение некоторых дотошных читателей (их определения некорректны по сути).

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение дифференцируемости в точке
Сообщение11.03.2023, 16:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6591
Padawan в сообщении #1585081 писал(а):
Нет никакой неточности. Всё правильно.

Лично меня конкретно у Бутузова смутило следующее высказывание: "причём слагаемое $o(\rho)=0$ при $\rho = 0$" , что явно намекает, что он рассматривает это слагаемое как функцию.

-- Сб мар 11, 2023 18:03:57 --

give_up в сообщении #1585085 писал(а):
о-малое это соглашение, а не функция.

Оно то да. А вот $o(\|x\|)$ - это уже функция, но не от $\|x\|$ , а от $x$ .

-- Сб мар 11, 2023 18:11:12 --

мат-ламер в сообщении #1585087 писал(а):
Оно то да. А вот $o(\|x\|)$ - это уже функция, но не от $\|x\|$ , а от $x$ .

Точнее, это символ, заменяющий функцию.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение дифференцируемости в точке
Сообщение11.03.2023, 17:25 


21/03/11
200
мат-ламер в сообщении #1585087 писал(а):
Точнее, это символ, заменяющий функцию.

Да, как-то так. В том смысле, что $o(\|\mathbf{x}\|)$ можно заменить на функцию $\alpha(\mathbf{x})\|\mathbf{x}\|$, где функция $\alpha(\mathbf{x})$ является бесконечно малой числовой функцией векторного аргумента, то есть $\lim _{\mathbf{x} \to 0}\alpha(\mathbf{x}) = 0$. И всякие алгебраические манипуляции (например, возведение в квадрат) желательно проводить с выражением $\alpha(\mathbf{x})\|\mathbf{x}\|$, а не с выражением $o(\|\mathbf{x}\|)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение дифференцируемости в точке
Сообщение11.03.2023, 17:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6591
Ещё раз приношу извинения за Бутузова и Кудрявцева. У Кудрявцева всё правильно. А вот Бутузов меня просто смутил фразой, которую я процитировал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение дифференцируемости в точке
Сообщение11.03.2023, 17:55 


21/03/11
200
мат-ламер
Также отмечу интересный факт, что некоторые учебники под символом о-малое подразумевают соглашение, но при этом символ нормы под о не ставят. Например, в Зориче, п. 10.3.1, написано следующее определение дифференцируемой функции:
Цитата:
Пусть $X,Y$ - нормированные пространства. Отображение $f: E \to Y$ множества $E \subset X$ в $Y$ называется дифференцируемым в точке $x \in E$, внутренней для $E$, если существует такое линейное непрерывное отображение $L(x): X \to Y$, что
$f(x+h) - f(x) = L(x)h + \alpha(x;h),$
где $\alpha(x;h) = o(h)$ при $h \to 0, ~ x+h \in E.$
Запись "$\alpha(x;h) = o(h)$ при $h \to 0, ~ x+h \in E$", разумеется, означает, что
$\displaystyle \lim_{h \to 0, \, x+h \in E} \frac{\|\alpha(x;h)\|_Y}{\|h\|_X} = 0$

Это определение у него кстати комбинирует в себе два подхода: в равенстве из определения дифференцируемости он использует функцию $\alpha(x;h)$, но при этом использует и символ-соглашение о-малое в строке ниже для того, чтобы ее охарактеризовать ($\alpha(x;h) = o(h)$). Ясно, что оно эквивалентно определениям из других учебников.
Думаю это тот случай, про который вы ранее здесь писали:
мат-ламер в сообщении #1582405 писал(а):
А можно символ нормы не ставить и опять же договориться, что эта запись будет обозначать.

Правда в других учебниках обычно используют один подход - либо дают определение только через функцию (учебник Булдырева-Павлова "линейная алгебра и функции многих переменных", учебник Шилова "Математический анализ. Функции нескольких переменных", учебник Васильева по оптимизации), либо дают определение через $o(\|h\|)$, где символ о трактуется как соглашение (большинство современных учебников по матанализу).

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение дифференцируемости в точке
Сообщение11.03.2023, 18:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6591
Лично мне нравится как у Зорича, либо как вы писали
give_up в сообщении #1585091 писал(а):
$o(\|\mathbf{x}\|)$ можно заменить на функцию $\alpha(\mathbf{x})\|\mathbf{x}\|$, где функция $\alpha(\mathbf{x})$ является бесконечно малой числовой функцией векторного аргумента

Ну, или символ нормы в о-символике упускать. А запись $...+o(\|x\|)$ , хотя и правильная, но недолюбливаю я её.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 51 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group