2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Обобщение корреляции на три величины
Сообщение05.03.2023, 12:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1760
Москва
Евгений Машеров в сообщении #1584375 писал(а):
Трикорреляция - метод известный, применительно к анализу временных рядов.
Спасибо! Значит, это давно известно, а я не сошла с ума. :D Что это уловит не всякую зависимость, я понимаю, но все же в общем случае больше, чем обычная корреляция. Осталось только понять, на что делить.
zykov в сообщении #1584377 писал(а):
Если все три величины связанны так что просто являются одной и той же величной, то $E[X^3]$ - это третий момент, который не имеет отношения ко второму моменту. Т.е. может быть что угодно.
Точно. Тогда может быть делить на третьи абсолютные моменты в степени $1/3$? Значит, надо найти границы для $EX_1X_2X_3$ при $EX_1=EX_2=EX_3=0$ и $E|X_1|^3=E|X_2|^3=E|X_3|^3=1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщение корреляции на три величины
Сообщение05.03.2023, 12:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9496
Москва
alisa-lebovski в сообщении #1584371 писал(а):
Задача сводится к следующей: в каких границах $EX_1X_2X_3$, если $EX_1=EX_2=EX_3=0$ и $DX_1=DX_2=DX_3=1$.


В произвольных. Рассмотрим случай $X_1=X_2=X_3$.
Тогда полученная величина есть коэффициент асимметрии для распределения X.
Для нормальных величин он равен нулю, но как раз для нормальных поставленная задача неинтересна. По крайней мере для многомерного нормального распределения. Хотя можно построить пример с многомерной величиной, в которой маргинальные распределения нормальны, попарно переменные независимы, но в совокупности зависимы.
Но для контрпримера возьмём логнормальную величину. Там можно получить любое значение коэффициента асимметрии от 0 до $+\inf$, а для того, чтобы полученный коэффициент был бы отрицателен - логнормальную возьмём с минусом.
То есть вообще говоря $-\inf;+\inf$

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщение корреляции на три величины
Сообщение05.03.2023, 12:14 


18/09/21
1676
alisa-lebovski в сообщении #1584386 писал(а):
Тогда может быть делить на третьи абсолютные моменты в степени $1/3$?
Формально наверно можно. Но какого-то глубокого смысла не видно...
Нужны какие-то теоремы, неравенства, оценки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщение корреляции на три величины
Сообщение05.03.2023, 12:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9496
Москва
Оценки через моменты хорошо работают в нормальном случае. Так что у меня некоторое сомнение в таком подходе. Я бы, как сказал ранее, разбивал бы объём, занятый данными, на ячейки, и проверял гипотезу, что вероятность попасть в ячейку равна произведению вероятностей попасть в соотвествующие градации для отдельных переменных.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщение корреляции на три величины
Сообщение05.03.2023, 13:33 


18/09/21
1676
Евгений Машеров
Зависит от того, что и зачем вообще ТС пытается сделать...

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщение корреляции на три величины
Сообщение05.03.2023, 14:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9496
Москва
Ну, это общий вопрос. Волшебных палочек не завезли, а которые есть в продаже - тупые и требуют подробного объяснения, что надо сделать :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщение корреляции на три величины
Сообщение05.03.2023, 15:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1760
Москва
Евгений Машеров в сообщении #1584393 писал(а):
Оценки через моменты хорошо работают в нормальном случае. Так что у меня некоторое сомнение в таком подходе. Я бы, как сказал ранее, разбивал бы объём, занятый данными, на ячейки, и проверял гипотезу, что вероятность попасть в ячейку равна произведению вероятностей попасть в соотвествующие градации для отдельных переменных.
Спасибо. Я понимаю, что Вы имеете в виду критерий хи-квадрат проверки независимости. Он в общем случае как-то показывает силу зависимости, но не характеризует ее содержательно. У меня заведомо есть зависимость (трех величин), но хотелось бы как-то ее характеризовать. Даже в двумерном случае, при изучении зависимости используют не только хи-квадрат, но и корреляцию (которая имеет знак, а ее абсолютное значение показывает силу от 0 до 1). В трехмерном случае, по-моему, естественно посчитать эту трикорреляцию. Остался только вопрос, как ее нормировать.
alisa-lebovski в сообщении #1584386 писал(а):
Надо найти границы для $EX_1X_2X_3$ при $EX_1=EX_2=EX_3=0$ и $E|X_1|^3=E|X_2|^3=E|X_3|^3=1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщение корреляции на три величины
Сообщение05.03.2023, 16:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9496
Москва
Со знаком - у меня есть некоторые сомнения. Меряем, меняем знак у одной переменной - меняется знак коэффициента. Пока довольно логично. Меняем у двух переменных - знак коэффициента тот же. У трёх - вновь меняется. Но ведь знак при измеримой переменной результат довольно произвольного выбора. Скажем в градусах Цельсия первоначально 0 была температура кипения, а 100 - замерзания. А получить величину без знака от 0 до 1 можно. Скажем, $q=\frac {\chi^2}{\chi^2+1}$
Или вспомнить старенькое "корреляционное отношение", создававшееся как раз для оценки нелинейной связи, только обобщить на 3 измерения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщение корреляции на три величины
Сообщение06.03.2023, 18:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1760
Москва
Все получилось, границы действительно от $-1$ до $1$, так что можно использовать как аналог коэффициента корреляции, характеристику
$$r=\frac{E((X_1-EX_1)(X_2-EX_2)(X_3-EX_3))}{(E|X_1-EX_1|^3E|X_2-EX_2|^3E|X_3-EX_3|^3)^{1/3}}.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщение корреляции на три величины
Сообщение16.06.2023, 12:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1760
Москва
Если кому-то интересно, оказывается, такая штука (при нормировке на сигмы) называется coskewness (коасимметрия), она есть в англоязычной Википедии, науке известна с 1976 года, используется в финансовой математике.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщение корреляции на три величины
Сообщение16.06.2023, 12:48 


10/03/16
3871
Aeroport
alisa-lebovski

Я когда эту тему увидел, у меня в голове созрела идея вот такого бенчмарка: можно определить тройную корреляцию как максимум коэффа детерминации между одной переменной и двумя оставшимися. Вопрос: кто чувствительнее, кто робастнее, а может, эти коэффициенты вообще почти что ходят друг за другом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщение корреляции на три величины
Сообщение16.06.2023, 12:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1760
Москва
В coskewness интересно то, что в отличие от обычной корреляции, которая улавливает всякие линейности, эта линейности наоборот пропускает (если распределения симметричны), а улавливает хитрые нелинейности. Например, для многомерного нормального распределения она тождественно равна нулю. Более того, для эллиптических распределений равна нулю (например, если многомерный нормальный вектор умножать на независимую положительную случайную величину).

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщение корреляции на три величины
Сообщение16.06.2023, 13:50 


10/03/16
3871
Aeroport
alisa-lebovski в сообщении #1584622 писал(а):
$$r=\frac{E((X_1-EX_1)(X_2-EX_2)(X_3-EX_3))}{(E|X_1-EX_1|^3E|X_2-EX_2|^3E|X_3-EX_3|^3)^{1/3}}.$$


alisa-lebovski в сообщении #1597769 писал(а):
эта линейности наоборот пропускает (если распределения симметричны), а улавливает хитрые нелинейности.


А почему? :shock: Если подставить в формулу $3=2$, получится обычная корреляция, которая как раз наооборот заточена под линейности

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщение корреляции на три величины
Сообщение16.06.2023, 14:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9496
Москва
ozheredov в сообщении #1597779 писал(а):
А почему? :shock: Если подставить в формулу $3=2$, получится обычная корреляция, которая как раз наооборот заточена под линейности


Не получится. Будет корреляция одной величины с квадратом другой. Это некая оценка зависимости матожидания первой от дисперсии второй, но никак не корреляция величин.

-- 16 июн 2023, 14:37 --

alisa-lebovski в сообщении #1597769 писал(а):
В coskewness интересно то, что в отличие от обычной корреляции, которая улавливает всякие линейности, эта линейности наоборот пропускает (если распределения симметричны), а улавливает хитрые нелинейности. Например, для многомерного нормального распределения она тождественно равна нулю. Более того, для эллиптических распределений равна нулю (например, если многомерный нормальный вектор умножать на независимую положительную случайную величину).


В общем, это не столько мера зависимости, сколько мера совместной ненормальности. Причём неинвариантную к смене знака переменных.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщение корреляции на три величины
Сообщение16.06.2023, 16:25 


10/03/16
3871
Aeroport
Евгений Машеров в сообщении #1597785 писал(а):
Будет корреляция одной величины с квадратом другой.


Не понял. В числителе останутся две компонеты и получится матожидание от центрированного произведения, aka ковариация. В знаменателе будет корень из произвдения дисперсий. Это отношение разве не коэффициент корреляции?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 34 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Vladimir Pliassov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group