Обобщение корреляции на три величины

[alisa-lebovski]

Евгений Машеров в сообщении #1584375 писал(а):

Трикорреляция - метод известный, применительно к анализу временных рядов.

Спасибо! Значит, это давно известно, а я не сошла с ума. Что это уловит не всякую зависимость, я понимаю, но все же в общем случае больше, чем обычная корреляция. Осталось только понять, на что делить.

zykov в сообщении #1584377 писал(а):

Если все три величины связанны так что просто являются одной и той же величной, то $E[X^3]$ - это третий момент, который не имеет отношения ко второму моменту. Т.е. может быть что угодно.

Точно. Тогда может быть делить на третьи абсолютные моменты в степени $1/3$? Значит, надо найти границы для $EX_1X_2X_3$ при $EX_1=EX_2=EX_3=0$ и $E|X_1|^3=E|X_2|^3=E|X_3|^3=1$.

[Евгений Машеров]

alisa-lebovski в сообщении #1584371 писал(а):

Задача сводится к следующей: в каких границах $EX_1X_2X_3$, если $EX_1=EX_2=EX_3=0$ и $DX_1=DX_2=DX_3=1$.

В произвольных. Рассмотрим случай $X_1=X_2=X_3$.
Тогда полученная величина есть коэффициент асимметрии для распределения X.
Для нормальных величин он равен нулю, но как раз для нормальных поставленная задача неинтересна. По крайней мере для многомерного нормального распределения. Хотя можно построить пример с многомерной величиной, в которой маргинальные распределения нормальны, попарно переменные независимы, но в совокупности зависимы.
Но для контрпримера возьмём логнормальную величину. Там можно получить любое значение коэффициента асимметрии от 0 до $+\inf$, а для того, чтобы полученный коэффициент был бы отрицателен - логнормальную возьмём с минусом.
То есть вообще говоря $-\inf;+\inf$

[zykov]

alisa-lebovski в сообщении #1584386 писал(а):

Тогда может быть делить на третьи абсолютные моменты в степени $1/3$?

Формально наверно можно. Но какого-то глубокого смысла не видно...
Нужны какие-то теоремы, неравенства, оценки.

[Евгений Машеров]

Оценки через моменты хорошо работают в нормальном случае. Так что у меня некоторое сомнение в таком подходе. Я бы, как сказал ранее, разбивал бы объём, занятый данными, на ячейки, и проверял гипотезу, что вероятность попасть в ячейку равна произведению вероятностей попасть в соотвествующие градации для отдельных переменных.

[zykov]

Евгений Машеров
Зависит от того, что и зачем вообще ТС пытается сделать...

[Евгений Машеров]

Ну, это общий вопрос. Волшебных палочек не завезли, а которые есть в продаже - тупые и требуют подробного объяснения, что надо сделать

[alisa-lebovski]

Евгений Машеров в сообщении #1584393 писал(а):

Оценки через моменты хорошо работают в нормальном случае. Так что у меня некоторое сомнение в таком подходе. Я бы, как сказал ранее, разбивал бы объём, занятый данными, на ячейки, и проверял гипотезу, что вероятность попасть в ячейку равна произведению вероятностей попасть в соотвествующие градации для отдельных переменных.

Спасибо. Я понимаю, что Вы имеете в виду критерий хи-квадрат проверки независимости. Он в общем случае как-то показывает силу зависимости, но не характеризует ее содержательно. У меня заведомо есть зависимость (трех величин), но хотелось бы как-то ее характеризовать. Даже в двумерном случае, при изучении зависимости используют не только хи-квадрат, но и корреляцию (которая имеет знак, а ее абсолютное значение показывает силу от 0 до 1). В трехмерном случае, по-моему, естественно посчитать эту трикорреляцию. Остался только вопрос, как ее нормировать.

alisa-lebovski в сообщении #1584386 писал(а):

Надо найти границы для $EX_1X_2X_3$ при $EX_1=EX_2=EX_3=0$ и $E|X_1|^3=E|X_2|^3=E|X_3|^3=1$.

[Евгений Машеров]

Со знаком - у меня есть некоторые сомнения. Меряем, меняем знак у одной переменной - меняется знак коэффициента. Пока довольно логично. Меняем у двух переменных - знак коэффициента тот же. У трёх - вновь меняется. Но ведь знак при измеримой переменной результат довольно произвольного выбора. Скажем в градусах Цельсия первоначально 0 была температура кипения, а 100 - замерзания. А получить величину без знака от 0 до 1 можно. Скажем, $q=\frac {\chi^2}{\chi^2+1}$
Или вспомнить старенькое "корреляционное отношение", создававшееся как раз для оценки нелинейной связи, только обобщить на 3 измерения.

[alisa-lebovski]

Все получилось, границы действительно от $-1$ до $1$, так что можно использовать как аналог коэффициента корреляции, характеристику

$$r=\frac{E((X_1-EX_1)(X_2-EX_2)(X_3-EX_3))}{(E|X_1-EX_1|^3E|X_2-EX_2|^3E|X_3-EX_3|^3)^{1/3}}.$$

[alisa-lebovski]

Если кому-то интересно, оказывается, такая штука (при нормировке на сигмы) называется coskewness (коасимметрия), она есть в англоязычной Википедии, науке известна с 1976 года, используется в финансовой математике.

[ozheredov]

alisa-lebovski

Я когда эту тему увидел, у меня в голове созрела идея вот такого бенчмарка: можно определить тройную корреляцию как максимум коэффа детерминации между одной переменной и двумя оставшимися. Вопрос: кто чувствительнее, кто робастнее, а может, эти коэффициенты вообще почти что ходят друг за другом.

[alisa-lebovski]

В coskewness интересно то, что в отличие от обычной корреляции, которая улавливает всякие линейности, эта линейности наоборот пропускает (если распределения симметричны), а улавливает хитрые нелинейности. Например, для многомерного нормального распределения она тождественно равна нулю. Более того, для эллиптических распределений равна нулю (например, если многомерный нормальный вектор умножать на независимую положительную случайную величину).

[ozheredov]

alisa-lebovski в сообщении #1584622 писал(а):

$$r=\frac{E((X_1-EX_1)(X_2-EX_2)(X_3-EX_3))}{(E|X_1-EX_1|^3E|X_2-EX_2|^3E|X_3-EX_3|^3)^{1/3}}.$$

alisa-lebovski в сообщении #1597769 писал(а):

эта линейности наоборот пропускает (если распределения симметричны), а улавливает хитрые нелинейности.

А почему? Если подставить в формулу $3=2$, получится обычная корреляция, которая как раз наооборот заточена под линейности

[Евгений Машеров]

ozheredov в сообщении #1597779 писал(а):

А почему? Если подставить в формулу $3=2$, получится обычная корреляция, которая как раз наооборот заточена под линейности

Не получится. Будет корреляция одной величины с квадратом другой. Это некая оценка зависимости матожидания первой от дисперсии второй, но никак не корреляция величин.

-- 16 июн 2023, 14:37 --

alisa-lebovski в сообщении #1597769 писал(а):

В coskewness интересно то, что в отличие от обычной корреляции, которая улавливает всякие линейности, эта линейности наоборот пропускает (если распределения симметричны), а улавливает хитрые нелинейности. Например, для многомерного нормального распределения она тождественно равна нулю. Более того, для эллиптических распределений равна нулю (например, если многомерный нормальный вектор умножать на независимую положительную случайную величину).

В общем, это не столько мера зависимости, сколько мера совместной ненормальности. Причём неинвариантную к смене знака переменных.

[ozheredov]

Евгений Машеров в сообщении #1597785 писал(а):

Будет корреляция одной величины с квадратом другой.

Не понял. В числителе останутся две компонеты и получится матожидание от центрированного произведения, aka ковариация. В знаменателе будет корень из произвдения дисперсий. Это отношение разве не коэффициент корреляции?