2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Смысл применения аффинных пространств
Сообщение05.03.2023, 17:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6590
Сегодня делал уборку и натолкнулся на старую бумажную книгу - учебник анализа Л.Шварца. Как-то он мне в своё время не зашёл. Одна из причин - изложение ведётся на языке аффинных пространств. Что это такое, я знаю. В своё время у нас по этому вопросу немного говорилось в курсе линейной алгебры. Но после это понятие ни в каких курсах не встречалось. И это для меня как иностранный язык. Вроде всё понятно. Но приходится в уме переводить на свой язык. И возникает лёгкое чувство дискомфорта.

В связи с этим у меня вопрос. А какой смысл вообще введения аффинных пространств? В частности в приложении к вопросам анализа и дифференциальной геометрии? Это даёт какое-то удобство по сравнению, если бы материал излагался в терминах линейных пространств?

 Профиль  
                  
 
 Re: Смысл применения аффинных пространств
Сообщение05.03.2023, 18:32 
Аватара пользователя


11/11/22
304
Лоран Шварц просто достаточно последователен и формален -- французская школа. То, что другие зажевывают он проговаривает явно и акцентирует. Это Вам только кажется, что остальные учебники не используют аффинных пространств. На самом деле переход от аффинного пространства к линейному и обратно там делается плавно и без предупреждения, в отличие от текста Л. Шварца.

Допустим у меня есть функция $f\in C^1(\mathbb{R}^2,\mathbb{R})$.
По-моему, очевидно, что в формуле
$$f(x+h)=f(x)+f'(x)h+o(h)$$ при замене координат $x\mapsto y$ координаты точки $x$ будут преобразовываться не так как координаты вектора $h$

 Профиль  
                  
 
 Re: Смысл применения аффинных пространств
Сообщение05.03.2023, 18:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6590
krum в сообщении #1584454 писал(а):
Это Вам только кажется, что остальные учебники не используют аффинных пространств. На самом деле переход от аффинного пространства к линейному и обратно там делается плавно и без предупреждения, в отличие от текста Л. Шварца.

В книгах, которые мне близки, используются такие понятия, как аффинное многообразие или аффинное отображение. Только они вводятся для линейных пространств.

 Профиль  
                  
 
 Re: Смысл применения аффинных пространств
Сообщение05.03.2023, 18:59 
Аватара пользователя


11/11/22
304
мат-ламер в сообщении #1584456 писал(а):
аффинное многообразие

дайте определение

 Профиль  
                  
 
 Re: Смысл применения аффинных пространств
Сообщение05.03.2023, 19:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6590
krum в сообщении #1584457 писал(а):
дайте определение

Тут можно дать разные эквивалентные определения.
1. Вместе с любыми двумя точками содержит и прямую, проходящую через них.
2. Является "сдвигом" некоего линейного подпространства.
3. Является решением линейной системы уравнений.
Может есть ещё какие определения. Сразу не вспомню.
(Может этот термин в алгебраической геометрии по другому определяется. Только я этой наукой не интересуюсь).

 Профиль  
                  
 
 Re: Смысл применения аффинных пространств
Сообщение05.03.2023, 19:11 
Аватара пользователя


11/11/22
304
не хочу придираться сейчас к тому, что Вы пишите, но по существу, то , что Вы называете аффинным многообразием Шварц называет аффинным пространством

 Профиль  
                  
 
 Re: Смысл применения аффинных пространств
Сообщение05.03.2023, 21:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6590
Рассмотрим пример. Пусть у нас задано линейное пространство. Пусть на этом пространстве задана скалярная функция - норма вектора: $f(x)=\|x\|$ . Легко можно вычислить её градиент: $\nabla f(x)=x \slash \|x\| $ , где $x\ne 0$ . Как это записать на языке аффинных пространств, я не представляю. Что дифференцируется (норма) - понятно. Но по какому аргументу?

-- Вс мар 05, 2023 22:14:24 --

krum в сообщении #1584461 писал(а):
но по существу, то , что Вы называете аффинным многообразием Шварц называет аффинным пространством

У Шварца есть определение аффинного многообразия (подпространства). Но я не про это. Я про аксиоматику аффинных пространств.

 Профиль  
                  
 
 Re: Смысл применения аффинных пространств
Сообщение05.03.2023, 21:19 
Аватара пользователя


11/11/22
304
мат-ламер в сообщении #1584478 писал(а):
Я про аксиоматику аффинных пространств.

мат-ламер в сообщении #1584478 писал(а):
Пусть на этом пространстве задана скалярная функция - норма вектора: $f(x)=\|x\|$ . Легко можно вычислить её градиент: $f(x)=x \slash \|x\| $ , где $x\ne 0$ . Как это записать на языке аффинных пространств, я не представляю

вектору ставится в соответствие точка (как именно -- написано у Шварца), теперь норма -- это функция точек аффинного пространства

 Профиль  
                  
 
 Re: Смысл применения аффинных пространств
Сообщение05.03.2023, 21:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6590
krum в сообщении #1584481 писал(а):
вектору ставится в соответствие точка (как именно -- написано у Шварца), теперь норма -- это функция точек аффинного пространства

Может не точка, а пара точек? Но я спорить не буду. Многое забыл. Пошёл читать Шварца.

-- Вс мар 05, 2023 22:37:39 --

krum в сообщении #1584481 писал(а):
вектору ставится в соответствие точка (как именно -- написано у Шварца),

Если вектору ставить в соответствие одну точку, то одну какую-нибудь точку надо выделить как начало координат. Тогда какой смысл вообще вводить аффинные пространства?

 Профиль  
                  
 
 Re: Смысл применения аффинных пространств
Сообщение05.03.2023, 21:42 
Аватара пользователя


11/11/22
304
мат-ламер в сообщении #1584483 писал(а):
Если вектору ставить в соответствие одну точку, то одну какую-нибудь точку надо выделить как начало координат.

что и написано в пункте $2^o$ определения

мат-ламер в сообщении #1584483 писал(а):
Тогда какой смысл вообще вводить аффинные пространства?

смысл состоит в том, что точки отличаются от векторов см. выше

 Профиль  
                  
 
 Re: Смысл применения аффинных пространств
Сообщение05.03.2023, 21:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6590
Пока вы меня не убедили. Мне кажется, что аффинные пространства у Шварца только утяжеляют изложение. Он ещё много чего вводит. Например, регулярные топологические пространства, топологические группы, топологические векторные пространства и т.д. Причём вводит эти понятия без примеров и упражнений. И употребляет он эти новые понятия далеко не сразу. А может и вообще не употребляет :-( . В предисловии он упоминает про инженеров и физиков. Как-бы даёт понять, что книга написана и для них тоже. В общем в ту пору, когда я её открыл, что она у меня не зашла. Может неопытен ещё был. :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Смысл применения аффинных пространств
Сообщение05.03.2023, 22:12 
Аватара пользователя


11/11/22
304
Ну что поделаешь, на вкус да цвет... Если бы эта книжка не попала мне в руки в свое время, кандидатской диссертации у меня бы не было...

 Профиль  
                  
 
 Re: Смысл применения аффинных пространств
Сообщение06.03.2023, 00:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
мат-ламер в сообщении #1584487 писал(а):
В предисловии он упоминает про инженеров и физиков. Как-бы даёт понять, что книга написана и для них тоже
Естественный вопрос: каких инженеров и физиков? Французских. Причём таких которые университетов не кончали, а кончали гранд эколи. :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Смысл применения аффинных пространств
Сообщение06.03.2023, 00:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4601
мат-ламер
Что такое плоскость? Можно определить её как двумерное линейное пространство. Но если Вы возьмёте произвольную плоскость в трёхмерном пространстве и внимательно на неё посмотрите, то какое же она линейное пространство? Где у неё нулевой элемент? - на ней вообще никакого начала координат не отмечено.
Вот эта неудовлетворённость и заставляет определять плоскость как двумерное аффинное пространство.
А когда неудовлетворённость пропала, можно и забыть про аффинное пространство и работать только с линейными - тем более что никакой разницы между линейным пространством и аффинным пространством с отмеченным началом координат, в общем-то, нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Смысл применения аффинных пространств
Сообщение06.03.2023, 00:41 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
мат-ламер в сообщении #1584458 писал(а):
Тут можно дать разные эквивалентные определения.
1. Вместе с любыми двумя точками содержит и прямую, проходящую через них.
2. Является "сдвигом" некоего линейного подпространства.
3. Является решением линейной системы уравнений.
Я ещё встречал для этого понятия термин «линейное многообразие»

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group