Смысл применения аффинных пространств

[мат-ламер]

Сегодня делал уборку и натолкнулся на старую бумажную книгу - учебник анализа Л.Шварца. Как-то он мне в своё время не зашёл. Одна из причин - изложение ведётся на языке аффинных пространств. Что это такое, я знаю. В своё время у нас по этому вопросу немного говорилось в курсе линейной алгебры. Но после это понятие ни в каких курсах не встречалось. И это для меня как иностранный язык. Вроде всё понятно. Но приходится в уме переводить на свой язык. И возникает лёгкое чувство дискомфорта.

В связи с этим у меня вопрос. А какой смысл вообще введения аффинных пространств? В частности в приложении к вопросам анализа и дифференциальной геометрии? Это даёт какое-то удобство по сравнению, если бы материал излагался в терминах линейных пространств?

[krum]

Лоран Шварц просто достаточно последователен и формален -- французская школа. То, что другие зажевывают он проговаривает явно и акцентирует. Это Вам только кажется, что остальные учебники не используют аффинных пространств. На самом деле переход от аффинного пространства к линейному и обратно там делается плавно и без предупреждения, в отличие от текста Л. Шварца.

Допустим у меня есть функция $f\in C^1(\mathbb{R}^2,\mathbb{R})$.
По-моему, очевидно, что в формуле

$$f(x+h)=f(x)+f'(x)h+o(h)$$

при замене координат $x\mapsto y$ координаты точки $x$ будут преобразовываться не так как координаты вектора $h$

[мат-ламер]

krum в сообщении #1584454 писал(а):

Это Вам только кажется, что остальные учебники не используют аффинных пространств. На самом деле переход от аффинного пространства к линейному и обратно там делается плавно и без предупреждения, в отличие от текста Л. Шварца.

В книгах, которые мне близки, используются такие понятия, как аффинное многообразие или аффинное отображение. Только они вводятся для линейных пространств.

[krum]

мат-ламер в сообщении #1584456 писал(а):

аффинное многообразие

дайте определение

[мат-ламер]

krum в сообщении #1584457 писал(а):

дайте определение

Тут можно дать разные эквивалентные определения.
1. Вместе с любыми двумя точками содержит и прямую, проходящую через них.
2. Является "сдвигом" некоего линейного подпространства.
3. Является решением линейной системы уравнений.
Может есть ещё какие определения. Сразу не вспомню.
(Может этот термин в алгебраической геометрии по другому определяется. Только я этой наукой не интересуюсь).

[krum]

не хочу придираться сейчас к тому, что Вы пишите, но по существу, то , что Вы называете аффинным многообразием Шварц называет аффинным пространством

[мат-ламер]

Рассмотрим пример. Пусть у нас задано линейное пространство. Пусть на этом пространстве задана скалярная функция - норма вектора: $f(x)=\|x\|$ . Легко можно вычислить её градиент: $\nabla f(x)=x \slash \|x\| $ , где $x\ne 0$ . Как это записать на языке аффинных пространств, я не представляю. Что дифференцируется (норма) - понятно. Но по какому аргументу?

-- Вс мар 05, 2023 22:14:24 --

krum в сообщении #1584461 писал(а):

но по существу, то , что Вы называете аффинным многообразием Шварц называет аффинным пространством

У Шварца есть определение аффинного многообразия (подпространства). Но я не про это. Я про аксиоматику аффинных пространств.

[krum]

мат-ламер в сообщении #1584478 писал(а):

Я про аксиоматику аффинных пространств.

мат-ламер в сообщении #1584478 писал(а):

Пусть на этом пространстве задана скалярная функция - норма вектора: $f(x)=\|x\|$ . Легко можно вычислить её градиент: $f(x)=x \slash \|x\| $ , где $x\ne 0$ . Как это записать на языке аффинных пространств, я не представляю

вектору ставится в соответствие точка (как именно -- написано у Шварца), теперь норма -- это функция точек аффинного пространства

[мат-ламер]

krum в сообщении #1584481 писал(а):

вектору ставится в соответствие точка (как именно -- написано у Шварца), теперь норма -- это функция точек аффинного пространства

Может не точка, а пара точек? Но я спорить не буду. Многое забыл. Пошёл читать Шварца.

-- Вс мар 05, 2023 22:37:39 --

krum в сообщении #1584481 писал(а):

вектору ставится в соответствие точка (как именно -- написано у Шварца),

Если вектору ставить в соответствие одну точку, то одну какую-нибудь точку надо выделить как начало координат. Тогда какой смысл вообще вводить аффинные пространства?

[krum]

мат-ламер в сообщении #1584483 писал(а):

Если вектору ставить в соответствие одну точку, то одну какую-нибудь точку надо выделить как начало координат.

что и написано в пункте $2^o$ определения

мат-ламер в сообщении #1584483 писал(а):

Тогда какой смысл вообще вводить аффинные пространства?

смысл состоит в том, что точки отличаются от векторов см. выше

[мат-ламер]

Пока вы меня не убедили. Мне кажется, что аффинные пространства у Шварца только утяжеляют изложение. Он ещё много чего вводит. Например, регулярные топологические пространства, топологические группы, топологические векторные пространства и т.д. Причём вводит эти понятия без примеров и упражнений. И употребляет он эти новые понятия далеко не сразу. А может и вообще не употребляет . В предисловии он упоминает про инженеров и физиков. Как-бы даёт понять, что книга написана и для них тоже. В общем в ту пору, когда я её открыл, что она у меня не зашла. Может неопытен ещё был.

[krum]

Ну что поделаешь, на вкус да цвет... Если бы эта книжка не попала мне в руки в свое время, кандидатской диссертации у меня бы не было...

[Red_Herring]

мат-ламер в сообщении #1584487 писал(а):

В предисловии он упоминает про инженеров и физиков. Как-бы даёт понять, что книга написана и для них тоже

Естественный вопрос: каких инженеров и физиков? Французских. Причём таких которые университетов не кончали, а кончали гранд эколи.

[Mikhail_K]

мат-ламер
Что такое плоскость? Можно определить её как двумерное линейное пространство. Но если Вы возьмёте произвольную плоскость в трёхмерном пространстве и внимательно на неё посмотрите, то какое же она линейное пространство? Где у неё нулевой элемент? - на ней вообще никакого начала координат не отмечено.
Вот эта неудовлетворённость и заставляет определять плоскость как двумерное аффинное пространство.
А когда неудовлетворённость пропала, можно и забыть про аффинное пространство и работать только с линейными - тем более что никакой разницы между линейным пространством и аффинным пространством с отмеченным началом координат, в общем-то, нет.

[svv]

мат-ламер в сообщении #1584458 писал(а):

Тут можно дать разные эквивалентные определения.
1. Вместе с любыми двумя точками содержит и прямую, проходящую через них.
2. Является "сдвигом" некоего линейного подпространства.
3. Является решением линейной системы уравнений.

Я ещё встречал для этого понятия термин «линейное многообразие»