А когда неудовлетворённость пропала, можно и забыть про аффинное пространство и работать только с линейными - тем более что никакой разницы между линейным пространством и аффинным пространством с отмеченным началом координат, в общем-то, нет.
Действительно, какая разница, что точка многообразия, что касательный вектор