Лоран Шварц просто достаточно последователен и формален -- французская школа. То, что другие зажевывают он проговаривает явно и акцентирует. Это Вам только кажется, что остальные учебники не используют аффинных пространств. На самом деле переход от аффинного пространства к линейному и обратно там делается плавно и без предупреждения, в отличие от текста Л. Шварца.
Допустим у меня есть функция

.
По-моему, очевидно, что в формуле

при замене координат

координаты
точки 
будут преобразовываться не так как координаты
вектора 