2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 
Сообщение10.04.2006, 12:49 
Аватара пользователя
shwedka писал(а):
После этого в ОДНОРОДНОМ уравнении делим переменные, то есть
ищем решения специального вида, u(r,t)=T(t)F(r)
В результате для F получается уравнение Бесселя. Eго собственные функции будут $F_n(r)=
J_0(r\alpha_n/R),,,,  \alpha_n$ положительные нули функции Бесселя.
В заключение решение задачи ищется в виде
$ u(r,t)=\sum F_n(r ) T_n(t)$
Подаставляем в уравнение и начальные условия, для $T_n(t)$ получается уравнение
$T_n''+(\alpha_n/R)^2 T_n= C_n a^2 \sin(kt)$,'' где $C_n=\int_0^R J_0(r\alpha_n/R) r dr , T_n(0)=T_n'(0)=0$. решил и ура.


перешел в к полярным координатам, не ясно что вы имеете в виду под словом ОДНОРОДНОЕ уравнение, это с членм u _{tt} или без него? Да и как искать собственную функцию Бесселя долее ? У меня пока такое получилось.
\[
\frac{{F^{''} }}
{F} + \frac{1}
{r}\frac{{F^' }}
{F} =  - \frac{1}
{{a^2 }}\frac{{T^{''} }}
{T}
\]

 
 
 
 
Сообщение10.04.2006, 13:00 
Аватара пользователя
замечательно!! Только в знаке ошиблись, плюс вместо минуса стоять должен.
А теперь заметьте, что левая часть Вашего равенства зависит только от
r , а правая только от t . Поэтому обе постоянны. Обозначьте эту постоянную какой- нибудь буквочкой и получите 2 уравнения. Начните с уравнения для F. Это уравнение Бесселя. Напишите для него граничные условия, вытекающие из исходной задачи. Посмотрите в Вашем учебнике, как уравнение Бесселя с такими условиями решать.

 
 
 
 
Сообщение10.04.2006, 16:09 
Аватара пользователя
shwedka писал(а):
замечательно!! Только в знаке ошиблись, плюс вместо минуса стоять должен.
А теперь заметьте, что левая часть Вашего равенства зависит только от
r , а правая только от t . Поэтому обе постоянны. Обозначьте эту постоянную какой- нибудь буквочкой и получите 2 уравнения. Начните с уравнения для F. Это уравнение Бесселя. Напишите для него граничные условия, вытекающие из исходной задачи. Посмотрите в Вашем учебнике, как уравнение Бесселя с такими условиями решать.

Я пробую искать решения в виде ряда
$$
F(r) = \sum\limits_{k = 0}^\infty  {a_k } r^{k + \alpha }  = a_0 r^\alpha   + a_1 r^{\alpha  + 1}  + a_2 r^{\alpha  + 2}  + a_3 r^{\alpha  + 3}  + a_4 r^{\alpha  + 4} +...
$$
Далее подставляю в уравнение ряд (что получилось см ниже.)и приравниваю нулю коэффициены при $$
r^\alpha  ,r^{\alpha  + 1} ,r^{\alpha  + 2} ,r^{\alpha  + 3} ,...
$$
$$
\sum\limits_{k = 0}^\infty  {(\alpha  + k - 1)(\alpha  + k)a_k r^{\alpha  + k - 2} }  + {1 \over r}\sum\limits_{k = 0}^\infty  {(\alpha  + k)a_k r^{\alpha  + k - 1} }  - \mu \sum\limits_{k = 0}^\infty  {a_k r^{\alpha  + k}  = 0} 
$$
$$
\eqalign{
  & \left\{ {\matrix{
   {\alpha ^2 a_0  = 0 (\,r^{\alpha  - 2} )}    ,  \cr 
   {(\alpha  + 1)^2 a_1  = 0  (\,r^{\alpha  - 1} )}     ,\cr 
   {(\alpha  + 2)^2 a_2  - \mu a_0  = 0  (\,r^\alpha  )}  ,  \cr 
   {(\alpha  + 3)^2 a_3  - \mu a_1  = 0   (\,r^{\alpha  + 1} )}  ,  \cr 
    \cdots    \cr ,
    \cdots    \cr ,
   {(\alpha  + l)^2 a_l  - \mu a_{l - 2}  = 0}   ,\cr 
   {(l = 2,3,...)} , \cr  

 } } \right.  \cr 
  &  \cr} 
$$
Потом получается, что все нечетные коэффициенты a _l = 0

А все четные друг из друга выражаются.
$$
\eqalign{
  & a_{2m}  = a_{2m - 2} {\mu  \over {m^2 }} ; \cr 
  & a_{2m - 2}  = a_{2m - 4} {\mu  \over {m^2 }};  \cr 
  &  \ldots   \cr 
  & a_{2m - 2m}  = a_{2m - 4m} {\mu  \over {m^2 }};a_0  = a_{ - 2m} {\mu  \over {m^2 }} \cr} 
$$
Дальше - тупик...

 
 
 
 
Сообщение10.04.2006, 17:25 
Аватара пользователя
Нет, Антошка,
Это уравнение Бесселя, Искать в виде ряда трудно, придется повторить весь долгий научный путь, приведший к функциям Бесселя. Искать решение нужно в том месте книжки, где говорится о функциях Бесселя.
Там и уравнение обсуждается и правило, как решение находить....
УДАЧИ

 
 
 
 
Сообщение10.04.2006, 18:49 
Аватара пользователя
shwedka писал(а):
Нет, Антошка,
Это уравнение Бесселя, Искать в виде ряда трудно, придется повторить весь долгий научный путь, приведший к функциям Бесселя. Искать решение нужно в том месте книжки, где говорится о функциях Бесселя.
Там и уравнение обсуждается и правило, как решение находить....
УДАЧИ

Нам сказали пользоваться книгой Тихонов,Самарский "Уравнения математической физики", там как раз говорится как искать решение через ряд...
<b>shwedka</b> а вы какой книгой пользуетесь,какую посоветуете?

 
 
 
 
Сообщение10.04.2006, 20:27 
Аватара пользователя
Книга вполне хорошая.
Посмотрите на стр.642 (издание 77 года, Дополнение 2 парагр. 2) и вокруг, о краевых задачах для Бесселя.
и Стр, 430, Гл. 5, пар.3.3, колебания круглойй мембраны.

 
 
 
 
Сообщение10.04.2006, 21:50 
Аватара пользователя
shwedka писал(а):
Книга вполне хорошая.
Посмотрите на стр.642 (издание 77 года, Дополнение 2 парагр. 2) и вокруг, о краевых задачах для Бесселя.
и Стр, 430, Гл. 5, пар.3.3, колебания круглойй мембраны.

я как раз на 642 и смотрел как делать...

 
 
 
 
Сообщение11.04.2006, 00:22 
Аватара пользователя
Вот и хорошо . вам нужны формулы 13, 14, 18

 
 
 
 
Сообщение11.04.2006, 21:04 
Аватара пользователя
Значит так, пишу подробно.
$$
{{F^{''} } \over F} + {1 \over r}{{F^' } \over F} = \mu 
$$
=>
$$
F^{''}  + {1 \over r}F^{' } - \mu F = 0
$$
Граничное условие
$$
\left. F \right|_{r = R}  = 0
$$
то есть
$$
F(R) = 0
$$
Таким образом, получили систему.
$$
\left\{ \matrix{
  F^{''}  + {1 \over r}F^{'}  - \mu F = 0 \hfill \cr ,
  F(R) = 0 \hfill \cr}  \right.
$$
Далее
$$
\eqalign{
  & rF^{''}  + F^{'}  - \mu rF = 0  \cr 

  & (F^{'}r)^{'}  - \mu rF = 0 \cr} 
$$
F(R) = 0
с другой стороны

$$
{{T^{''} } \over T} = \mu a^2 
$$
$$
T^{''}  - \mu a^2 T = 0
$$
Условие периодичности для T(t) дает
$$
\mu a^2 =n^2 
$$
n-целое число.
Таким образом, функция F(r) должна определяться из уравнения Бесселя.
$$
{\partial  \over {\partial r}}\left( {{{\partial F} \over {\partial r}}r} \right) - \mu rF = 0
$$
$$
{\partial  \over {\partial r}}\left( {{{\partial F} \over {\partial r}}r} \right) - {{n^2 } \over {a^2 }}rF = 0
$$

$$
\wp [F] = {\partial  \over {\partial r}}\left( {{{\partial F} \over {\partial r}}r} \right)
$$
Таким образом, функция F(r) должна удовлетворять условию
$$
\wp [F] - {{n^2 } \over {a^2 }}rF = 0
$$
Пока все верно?

 
 
 
 
Сообщение11.04.2006, 21:30 
Аватара пользователя
antoshka1303 писал(а):
Значит так, пишу подробно.
$$
{{F^{''} } \over F} + {1 \over r}{{F^' } \over F} = \mu 
$$
=>
$$
F^{''}  + {1 \over r}F^{' } - \mu F = 0
$$
Граничное условие
$$
\left. F \right|_{r = R}  = 0
$$
то есть
$$
F(R) = 0
$$
Таким образом, получили систему.
$$
\left\{ \matrix{
  F^{''}  + {1 \over r}F^{'}  - \mu F = 0 \hfill \cr ,
  F(R) = 0 \hfill \cr}  \right.
$$


Далее
$$
\eqalign{
  & rF^{''}  + F^{'}  - \mu rF = 0  \cr 

  & (F^{'}r)^{'}  - \mu rF = 0 \cr} 
$$
F(R) = 0

Совершенно верно!!
Цитата:
с другой стороны

$$
{{T^{''} } \over T} = \mu a^2 
$$
$$
T^{''}  - \mu a^2 T = 0
$$
Условие периодичности для T(t) дает


А вот тут уже неверно!! Нет здесь никакой периодичности!!
Цитата:
$$
\mu a^2 =n^2 
$$
n-целое число.
Таким образом, функция F(r) должна определяться из уравнения Бесселя.
$$
{\partial  \over {\partial r}}\left( {{{\partial F} \over {\partial r}}r} \right) - \mu rF = 0
$$
$$
{\partial  \over {\partial r}}\left( {{{\partial F} \over {\partial r}}r} \right) - {{n^2 } \over {a^2 }}rF = 0
$$

$$
\wp [F] = {\partial  \over {\partial r}}\left( {{{\partial F} \over {\partial r}}r} \right)
$$
Таким образом, функция F(r) должна удовлетворять условию
$$
\wp [F] - {{n^2 } \over {a^2 }}rF = 0
$$
Пока все верно?

Забудьте пока про уравнение для Т!!
Смотрите на уравнение Бесселя.
решайте его, следуя Тихонову, стр. 642, начиная с формулы 5.
или как на стр 432, форм,улы 25-30. Получится, что Ваше число
$mu$ не какое попало, а выражается через нули функции Бесселя $J_0$
по формулам 13, 14. А после того, как эти $mu$
найдены,
запишите искомое решение в виде ряда
\sum F_k(k)T_k(t)
и подставьте в уравнение, получите НОВОЕ уравнение для Т_к.
И только тогда его решайте. Посмотрите еще раз мое первое письмо.

ВАЖНО::
То уравнение для Т , которое Вы получили в начале, носит исключительно вспоомогательный характер и его решать НЕ НАДО!!!

 
 
 
 
Сообщение12.04.2006, 12:49 
Аватара пользователя
antoshka1303 писал(а):
Значит так, пишу подробно.
$$
{{F^{''} } \over F} + {1 \over r}{{F^' } \over F} = \mu 
$$
=>
$$
F^{''}  + {1 \over r}F^{' } - \mu F = 0
$$
Граничное условие
$$
\left. F \right|_{r = R}  = 0
$$
то есть
$$
F(R) = 0
$$
Таким образом, получили систему.
$$
\left\{ \matrix{
  F^{''}  + {1 \over r}F^{'}  - \mu F = 0 \hfill \cr ,
  F(R) = 0 \hfill \cr}  \right.
$$


Далее
$$
\eqalign{
  & rF^{''}  + F^{'}  - \mu rF = 0  \cr 

  & (F^{'}r)^{'}  - \mu rF = 0 \cr} 
$$
F(R) = 0



Исправлю.
$$
x = \sqrt \mu  r
$$

$$
r = {x \over {\sqrt \mu }}
$$

$$
y(x) = F(r) = F({x \over {\sqrt \mu  }})
$$
$$
{1 \over {\sqrt \mu  }}{d \over {dx}}({1 \over {\sqrt \mu  }}{{dy} \over {dx}}{x \over {\sqrt \mu  }}) - \mu {x \over {\sqrt \mu  }}y = 0
$$

$$
{d \over {dx}}({{dy} \over {dx}}x) - \mu ^2 xy = 0
$$

$$
y(\sqrt \mu  R) = 0
$$
$$
\eqalign{
  & y(\sqrt \mu  R) = 0  \cr 
  & \left| {y(0)} \right| < 0 \cr} 
$$
Так?

 
 
 
 
Сообщение12.04.2006, 13:27 
Аватара пользователя
Отсюда находим
$$
y(x) = AJ_n (x)
$$

В силу граничного решения
$$
y(\sqrt \mu  R) = 0
$$
Имеем
$$
\eqalign{
  & J_n (\xi ) = 0 , \cr 
  & \;\xi  = \sqrt \mu  R \cr} 
$$
Тогда
$$
\mu _m^{(n)}  = ({{\xi _m^{(n)} } \over R})^2 
$$
Которым соосветствует собственная функия
$$
F(r) = AJ_n ({{\xi _m^{(n)} } \over R}r)
$$
Ортогональность системы собственных функций
$$
\int\limits_0^R {J_n ({{\xi _{m_1 }^{(n)} } \over R}r)J_n ({{\xi _{m_2 }^{(n)} } \over R}r)rdr = 0,m_1  \ne m_2 } 
$$

$$
\alpha _1  = {{\xi _m^{(n)} } \over R}
$$
Квадрат нормы:
$$
\left\| F \right\|^2  = \left\| {J_n (\alpha _1 r)} \right\|^2  = \int\limits_0^R {F^2 (r)rdr = {{R^2 } \over 2}\left[ {J_n^{'} (\alpha _1 )} \right]} ^2 
$$
в частности
$$
\int\limits_0^R {J_0^2 ({{\xi _m^{(0)} } \over R}r)rdr = {{R^2 } \over 2}J_1^2 ({{\xi _m^{(0)} } \over R})} 
$$

Всякая дважды дифф ф-я W(r), ограниченная в нуле и W(R)=0 допускает представления

$$
W(r) = \sum\limits_{m = 1}^\infty  {A_m J_n ({{\xi _m^{(n)} } \over R}r)} 
$$
Отсюда

$$
A_m  = {{\int\limits_0^R {W(r)} J_n ({{\xi _m^{(n)} } \over R}r)} \over {\left\| {J_n } \right\|^2 }}
$$
$$
\left\| {J_n } \right\|^2  = {{R^2 } \over 2}[J_1^{'} (\xi _m^{(n)} )]^2 
$$
Как двигаться дальше?

 
 
 
 
Сообщение12.04.2006, 13:45 
Аватара пользователя
Все СОВЕРШЕННО правильно. Молодец.
Только
Цитата:
Отсюда находим
$$ y(x) = AJ_n (x) $$

Здесь и дальше всюду n=0 то есть нужны Бесселевы функции нулевого полрядка. Это потому, что
Ваше уравнение, в конце предыдущего письма это ур. Бесселя НУЛЕВОГО порядка.


Дальше я написала, Прочитай мое вчерашнее письмо и первое письмо внимательно..
Ищи решение в указанном виде. подставь в исходное уравнение.
Умножь на $rF_k(r)$
при каком-нибудь к и проинтегрируй по
$r$. Из-за ортогональности найденных функций
$F_k(r)$ из всего ряда сохранится только один член, с n=k.
Вот и получится уравнение для $T_k(t)$.

 
 
 
 
Сообщение12.04.2006, 15:46 
Аватара пользователя
В качестве W(r) я какую функцию беру?

 
 
 
 
Сообщение12.04.2006, 16:42 
Аватара пользователя
Антошка. Ты читать умеешь??

пока никакого W(r).
Далай, как я сказала!!!

 
 
 [ Сообщений: 78 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group