2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Задача № 4 из ЕГЭ
Сообщение01.02.2023, 13:32 
Заслуженный участник


09/02/06
4383
Москва
Однокурсник, занимающийся репетиторством прислал такую задачу (№4 ЕГЭ):
Числовая последовательность состоит из целых чисел и начинается с 0. Вероятность того, что следующее число больше
предыдущего на 1, равна $p=\frac{10}{19}$. Вероятность того, что следующее число меньше
предыдущего на 1, равна $q=\frac{9}{19}$. Найти вероятность первого появления в этой последовательности числа (-1).

Задача сформулировано коряво и я решил вычисляя вероятности $p_n$ оказания в точке -1 первый раз на шаге $2n+1$.
Суммировав этот ряд по всем от 0 до бесконечности получил
$\sum_{n=0}^{\infty}= \frac{q}{p},  q\le p$, $\sum_ n p_n =1,  q \ge p}$.
Потратив на это почти час. Он сказал, что ответ правильный и он решил задачу за 3 мин без вычисления $p_n$.
Я послал ему свое решение, где возникают числа Каталана (и вряд ли подходит для школьников). От него так и не дождался простого решения за 3 дня.
Возникает вопрос есть ли вообще простое решение. Хотелось бы обсудить

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача № 4 из ЕГЭ
Сообщение01.02.2023, 14:01 
Аватара пользователя


11/12/16
13589
уездный город Н
Это упрощенная задача о разорении игрока (у противника бесконечный банк, но вероятности перекошены в сторону игрока)
Если знать ответ, то для упрощенной задачи получается моментально :wink:

Простого решения задачи о разорении игрока не знаю :roll: . Но может быть это давалось в курсе, и надо помнить ответ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача № 4 из ЕГЭ
Сообщение01.02.2023, 14:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8818
Цюрих
"Вероятность первого появления" - это просто вероятность появления?
Тут обсуждалось: «Интересная и сложная задача по теории вероятностей из ЕГЭ.». ТС предложил вариант который ИМХО предполагается для школьников, ответ - корень уравнения $x = q + px^2$ (мы либо сразу пошли налево, либо пошли направо, и потом придется два раза добраться до более левой точки).

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача № 4 из ЕГЭ
Сообщение01.02.2023, 14:23 


18/09/21
1727
Руст в сообщении #1579713 писал(а):
Найти вероятность первого появления в этой последовательности числа (-1).
Странно звучит.
Нужно либо "вероятность, что когда-либо достигнет -1", либо "матожидание числа шагов до первого появления -1".

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача № 4 из ЕГЭ
Сообщение01.02.2023, 14:32 
Заслуженный участник


09/02/06
4383
Москва
Да, сформулировано коряво, что я отметил . Я написал так, как прислали мне.
Формулировка как вероятность разорения предпочтительнее.
Считая что игрок на каждом шаге выигрывает 1р с вероятностью р и проигрывает 1р с вероятностью 1-р.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача № 4 из ЕГЭ
Сообщение01.02.2023, 15:06 


18/09/21
1727
Да, тут $q<p$, так что вероятность что никогда не достигнет больше нуля.
Решается за "3 минуты" рекурентно (mihaild дал ссылку, где недавно такое же решали).
Если $q \geq p$, то достигнет -1 с вероятностью 1. Тут можно только ставить вопрос о матожидании числа шагов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача № 4 из ЕГЭ
Сообщение01.02.2023, 15:56 
Заслуженный участник


09/02/06
4383
Москва
По сути мое решение такое же, только я считал каждое $p_n$ - вероятность разорения на шаге 2n+1.
Пусть $P_n$ вероятность вернутся к начальному состоянию через 2n шагов не разорившись до этого.
Тогда $p_n=P_nq$. Обозначим через $Q_n$ вероятность вернуться к начальному состоянию через 2n шагов,
находясь все время в выигрыше после первого шага. $P_0=1=Q_0$. Тогда $Q_n=pP_{n-1}q$.
Таким образом
$$P_n=\sum_{k=0}^{n-1} Q_kP_{n-k}.$$
Обозначим $P_n=c_n(pq)^n.$ Тогда $c_n$ удовлетворяет рекурентному соотношению:
$$c_n=1+\sum_{k=0}^{n-1}c_kc_{n-1-k}.$$
Для производящей функции $y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}c_nx^n$ получаем то самое квадратное уравнение
$$y(x)=1+xy^2(x) \to y(x)=\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}.$$
Это производящая функция чисел Каталана $c_n=Ca_n=\frac{1}{2n+1}C_{2n}^n.$
Соответственно $p_n=Ca_np^nq^{n+1}.$ Можно было догадаться об этом, считая что $p_n$
это сумма всех слов длины 2n+1 из $p,q$ содержащих $n$ букв $p$ (открывающие скобки) и $n+1$ букв $q$ (закрывающие скобки),
когда до шага 2n количество открывающихся скобок не меньше закрывающихся.
Соответственно $$\sum_n p_n=q\frac{1-\sqrt{1-4pq}}{2pq}=\frac{1-\sqrt{1-4p(1-p)}}{2p}=\frac{1-|1-2p|}{2p}=1, p\le q, \ =\frac{q}{p}, p>q.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача № 4 из ЕГЭ
Сообщение02.02.2023, 07:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2243
МО

(Оффтоп)

А не мог бы кто-нибудь прокомментировать, каким образом теория вероятностей появилась в школьной программе? и когда это случилось? Во время моей учебы в школе ничего подобного не было :o
И для чего это было сделано - чтобы вот такие задачи давать, что ли?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача № 4 из ЕГЭ
Сообщение02.02.2023, 09:08 


05/02/21
145

(Оффтоп)

пианист в сообщении #1579835 писал(а):
А не мог бы кто-нибудь прокомментировать, каким образом теория вероятностей появилась в школьной программе?

В 2003, по этому поводу инструктивное письмо № 03–93ин/13–03 от 23.09.2003 Министерства образования РФ «О введении элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей в содержание математического образования основной школы». Документ можно найти в издании «Математика в школе», № 9 за 2003 г.

Цитата:
И для чего это было сделано - чтобы вот такие задачи давать, что ли?

Да. Школьники, умеющие решать подобные задачи, будут ковать мощь Отечественной промышленности в будущем. 8-)


-- 02.02.2023, 09:12 --

А задачу действительно можно решить без $p_n$ и Каталанов за пару минут.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача № 4 из ЕГЭ
Сообщение02.02.2023, 09:20 


03/12/21
42
Школьная программа - это несколько абстрактное понятие, сейчас единой школьной программы не существует. В программе "Математическая вертикаль" (это полуповышенный уровень математики в московских школах) есть вообще целый предмет: Статистика.
В ЕГЭ задачи на вероятность появились в 2012 году.
Сейчас (с 2022 года) в ЕГЭ входит две задачи по теории вероятностей:
1. под номером 4 простая ("бросили кубик, какая вероятность, что число четное")
2. под номером 10 более сложная. В материалах для подготовки задачи, подобные приведенной, встречаются, но на реальном экзамене была стандартная задача на формулу Байеса.

И, разумеется, надо иметь в виду, что на ЕГЭ необязательно решать все задачи; если какая-нибудь задача не решается, надо переходить к другим.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача № 4 из ЕГЭ
Сообщение02.02.2023, 09:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2243
МО

(Оффтоп)

Mirage_Pick
Большое спасибо, ознакомился.
А кто "проталкивал" приказ, не знаете?
F111mon в сообщении #1579848 писал(а):
Школьная программа - это несколько абстрактное понятие, сейчас единой школьной программы не существует

Упс. Все страньше и страньше. Совсем я от жизни отстал :oops:
Так ЕГЭ сейчас уже не является единым для всех? а как тогда оно вообще (предполагается, что) работает?
Кстати, Байес находится существенно за пределами того, что явно рекомендовано письмом 03-93ин/13-03.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача № 4 из ЕГЭ
Сообщение02.02.2023, 12:09 


05/02/21
145

(Оффтоп)

пианист в сообщении #1579850 писал(а):
А кто "проталкивал" приказ, не знаете?

Нет, но безусловно отношение к этому имеет отец ЕГЭ Болотов В.А. Он же член рабочей группы по созданию проекта Концепции модернизации образования образца 2001 года.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача № 4 из ЕГЭ
Сообщение02.02.2023, 15:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2243
МО

(Оффтоп)

Mirage_Pick
Ясно, спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача № 4 из ЕГЭ
Сообщение02.02.2023, 18:37 


14/06/22
70
Решение школьника гуманитария. Потратил 10-15 минут не больше.

Событие $A$ - первое появление числа $-1$ в последовательности
Событие $B$ - число $0$ в последовательности
Событие $C$ – число $-2$ в последовательности
Вероятность первого появление числа $-1$ в последовательности и следующего на $1$ больше $\Pr(A|B) = \frac{10}{19}$
Вероятность первого появление числа $-1$ в последовательности и следующего на $1$ меньше $\Pr(A|C) = \frac{9}{19}$
Вероятность появления числа в последовательности $\frac{1}{19}$ . Начало последовательности начинается с $0$.

Найти $\Pr(A)$

$\Pr(A)=\Pr(B)\Pr(A|B)+\Pr(C)\Pr(A|C)$

$\Pr(A)=\frac{1}{19}(\frac{10}{19})+\frac{1}{19}(\frac{9}{19})=\frac{1}{19}$

Что не так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача № 4 из ЕГЭ
Сообщение02.02.2023, 18:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8818
Цюрих
Klein в сообщении #1579939 писал(а):
Событие $A$ - первое появление числа $-1$ в последовательности
Это не событие. Событие - это то, что может произойти, а может не произойти, а что такое "произошло первое появление числа $-1$ в последовательности" - непонятно.

А еще ответ очевидно не меньше $q$, т.к. мы можем сразу пойти налево.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 33 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group