2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Задача № 4 из ЕГЭ
Сообщение02.02.2023, 19:01 


14/06/22
60
mihaild в сообщении #1579942 писал(а):
Klein в сообщении #1579939 писал(а):
Событие $A$ - первое появление числа $-1$ в последовательности
Это не событие. Событие - это то, что может произойти, а может не произойти, а что такое "произошло первое появление числа $-1$ в последовательности" - непонятно.

А еще ответ очевидно не меньше $q$, т.к. мы можем сразу пойти налево.



Это то что дано в условии задачи "Найти вероятность первого появления в этой последовательности числа (-1)
Одно из определений Теоремы Байеса.

Теорема Байеса — одна из основных теорем элементарной теории вероятностей, которая позволяет определить вероятность события при условии, что произошло другое статистически взаимозависимое с ним событие.

По теореме событие произошло priori.
Подозреваю именно этим способом предлагают школьникам найти вероятность, а не суммированием последовательности на бесконечности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача № 4 из ЕГЭ
Сообщение02.02.2023, 19:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8199
Цюрих
Klein в сообщении #1579948 писал(а):
Это то что дано в условии задачи "Найти вероятность первого появления в этой последовательности числа (-1)
И это тоже неграмотно написано.

Теорема Байеса - это по сути переформулировка определения условной вероятности. Её, естественно, можно использовать при решении задачи, но нужно четко сказать, вероятности чего при каких условиях мы считаем.

В общем, Ваш текст не является решением задачи, а полученное Вами число, очевидно, не является правильным ответом. Чтобы можно было указать, в чем конкретно у Вас ошибка, нужно, чтобы Вы дали четкие определения используемым событиям (пока что ошибка в отсутствии таких определений).

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача № 4 из ЕГЭ
Сообщение02.02.2023, 20:12 


14/06/22
60
mihaild в сообщении #1579951 писал(а):
Klein в сообщении #1579948 писал(а):
Это то что дано в условии задачи "Найти вероятность первого появления в этой последовательности числа (-1)
И это тоже неграмотно написано.

Теорема Байеса - это по сути переформулировка определения условной вероятности. Её, естественно, можно использовать при решении задачи, но нужно четко сказать, вероятности чего при каких условиях мы считаем.

В общем, Ваш текст не является решением задачи, а полученное Вами число, очевидно, не является правильным ответом. Чтобы можно было указать, в чем конкретно у Вас ошибка, нужно, чтобы Вы дали четкие определения используемым событиям (пока что ошибка в отсутствии таких определений).

Ответ видимо неверный.
Решение представлено вышей не из школьной программы. Каким образом будет решать задачу школьник в течении ограниченного времени изучая предмет по школьной программе?
Определение вероятностей несколько. Наиболее известные – частотная и байесовская. В последней присутствует априорное событие.
Задачу решали исходя из условий в задаче на время и знаниями из школьной программы. Условная вероятность, байесовская теорема.
Подождем решение из школьной программы.

-- 03.02.2023, 02:53 --

Я так и не понял, что @mihaild не устроило с заведомо наступившим событием?

8-9 класс
ОБ УСЛОВНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ В ШКОЛЕ
Вероятность наступления события при условии, что какое-то событие заведомо наступило, называется условной вероятностью.

https://ptlab.mccme.ru/sites/ptlab.mccm ... tnosti.pdf

Школьники с условной вероятностью знакомятся в 8-9 классах. ))

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача № 4 из ЕГЭ
Сообщение02.02.2023, 21:53 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Более подходящая формулировка задачи:
Игрок имеет 1р и ставит каждый раз 1р на кон. Выигрывает с вероятностью р 1р и с вероятностью 1-р проигрывает.
Если ничего ставит на кон - выбывает как разорившийся. Какова вероятность проигрыша?

Меня тоже смутило сочетание первый раз и я пошел считать вероятности $p_n$ - первый раз попадание в -1 на 2n+1 -ом ходу.
Так вероятность проигрыша обозначим через $y$ и получаем квадратное уравнение
$$y=q+py^2, \to y=\frac{1-\sqrt{1-4pq}}{2p}=\frac{min(p,q)}{p}.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача № 4 из ЕГЭ
Сообщение02.02.2023, 21:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8199
Цюрих
Klein в сообщении #1579963 писал(а):
Определение вероятностей несколько. Наиболее известные – частотная и байесовская.
Это подходы к статистике. Определение вероятности в них одно.
Klein в сообщении #1579963 писал(а):
Я так и не понял, что @mihaild не устроило с заведомо наступившим событием?
С каким еще "заведомо наступившим событием"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача № 4 из ЕГЭ
Сообщение02.02.2023, 22:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1892
Москва
У меня вероятность получить -1 через $2n+1$ шагов получилась:
$$\binom{2n+1}{n+1}q^{n+1}p^{n}$$
И что-то мне подсказывает, что это простой Бернулли (теорема о повторении опытов).
Проверил на всякий случай на питоне, все сходится:
Код:
import random
import math
m = 100000
n = 5
count = 0
for i in range(m):
    h = 0
    for j in range(n):
        p = random.randint(1,19)
        if p <= 10:
            h += 1
        else:
            h -= 1
    if h == -1:
        count += 1
print(count/m)
l = (n - 1) // 2
p = 10/19
q = 9/19
print(math.comb(2*l+1,l+1)*q**(l+1)*p**(l))

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача № 4 из ЕГЭ
Сообщение02.02.2023, 22:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8199
Цюрих
juna в сообщении #1579988 писал(а):
У меня вероятность получить -1 через $2n+1$ шагов получилась
А нам нужна вероятность попасть в $-1$ через $2n + 1$ шагов первый раз (чтобы потом эти вероятности просуммировать).

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача № 4 из ЕГЭ
Сообщение02.02.2023, 23:08 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Когда считаем первый раз возникает числа Каталана как
сумма по всем возможным словам, где $n$ раз $p$ и $n+1$ раз $q$, причем
до шага $2n$ включительно количество $p$ (играющих роль открывающих слов) не меньше количества $q$,
играющих роль закрывающих скобок.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача № 4 из ЕГЭ
Сообщение02.02.2023, 23:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1892
Москва
mihaild в сообщении #1579993 писал(а):
А нам нужна вероятность попасть в $-1$ через $2n + 1$ шагов первый раз (чтобы потом эти вероятности просуммировать).

Вроде как от каждой -1 на $2n-1$ шаге получаем по две -1 на $2n+1$ шаге, значит на $2n+1$ шаге всего $\binom{2n+1}{n+1}-2\binom{2n-1}{n-1}$ новых -1, т.е. вероятность встретить -1 первый раз на $2n+1$ шаге равна:
$$\left(\binom{2n+1}{n+1}-2\binom{2n-1}{n-1}\right)q^{n+1}p^{n}=\binom{2n}{n-1}q^{n+1}p^{n}$$
Не так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача № 4 из ЕГЭ
Сообщение02.02.2023, 23:19 


18/09/21
1669
juna
Catalan number

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача № 4 из ЕГЭ
Сообщение02.02.2023, 23:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1892
Москва
zykov в сообщении #1580006 писал(а):

$$\binom{2n}{n-1}$$
Не совсем Каталан, а умноженный на $n$. Наверное что-то не учёл.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача № 4 из ЕГЭ
Сообщение03.02.2023, 02:40 


18/09/21
1669
Там кроме стандартного $C_n=\frac {1}{n+1}{2n \choose n}$ есть ещё $C_{n}={2n \choose n}-{2n \choose n+1}$.
Так что возможны разные формы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача № 4 из ЕГЭ
Сообщение03.02.2023, 11:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1892
Москва
zykov в сообщении #1580030 писал(а):
Там кроме стандартного $C_n=\frac {1}{n+1}{2n \choose n}$ есть ещё $C_{n}={2n \choose n}-{2n \choose n+1}$.
Так что возможны разные формы.

Вот я и говорю:
juna в сообщении #1580009 писал(а):
Не совсем Каталан, а умноженный на $n$.


$$\binom{2n}{n-1}=\binom{2n}{n+1}=\frac{n}{n+1}\binom{2n}{n}=n\cdot C_n$$
Просто там сложнее должен быть учет: старые -1 приходят не только от -1, полученных на $(2n-1)$ шаге, но и от -1, полученных на $(2n-3)$ шаге и т.д..
Получаем такую рекуррентную формулу для чисел Каталана $C_n$:
$$C_n=\frac{1}{n}\binom{2n}{n-1}=\binom{2n+1}{n+1}-2\cdot \sum_{k=0}^{n-1}C_k\cdot \binom{2(n-k)-1}{n-k}$$
И вероятность встретить -1 на $2n+1$ шаге первый раз, конечно же:
$$p_{2n+1}=C_n\cdot q^{n+1}p^n$$

-- Пт фев 03, 2023 11:51:13 --

juna в сообщении #1580053 писал(а):
$$C_n=\binom{2n+1}{n+1}-2\cdot \sum_{k=0}^{n-1}C_k\cdot \binom{2(n-k)-1}{n-k}$$

Интересно, как эта формула из чего-то известного получается...https://mathworld.wolfram.com/CatalanNumber.html

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача № 4 из ЕГЭ
Сообщение04.02.2023, 17:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6548
Мне кажется, что эта задача сложноватой будет для четвёртого номера из ЕГЭ. Её бы лучше поместить в раздел С. Я не думаю, что средний школьник, знакомый исключительно со школьной программой и никогда не решавший такие задачи, способен за три минуты додуматься до решения (как тут писали). Если он купил соответствующее пособие по подготовке к ЕГЭ, проработал его и на ЕГЭ будет примерно такая задача, тогда да, он сможет решить её быстро.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача № 4 из ЕГЭ
Сообщение04.02.2023, 17:53 


18/09/21
1669
мат-ламер в сообщении #1580209 писал(а):
Мне кажется, что эта задача сложноватой будет для четвёртого номера из ЕГЭ
Да, это какой-то олимпиадный trick. Хотя если показать школьнику, то решит без проблем.
zykov в сообщении #1579727 писал(а):
Если $q \geq p$, то достигнет -1 с вероятностью 1. Тут можно только ставить вопрос о матожидан
Аналогично можно спросить про матожидание количества шагов до первого выпадения -1 при $p<\frac12$.
Решается через тот же trick: $m=(1-p)\cdot 1 + p\cdot(1+m+m)$.
Что даёт $m=\frac{1}{1-2p}$.

PS: задачка для энтузиастов - найти такое же условное матожидание при $p \geq \frac12$ при условнии достижения -1.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 33 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group