Однокурсник, занимающийся репетиторством прислал такую задачу (№4 ЕГЭ):
Числовая последовательность состоит из целых чисел и начинается с 0. Вероятность того, что следующее число больше
предыдущего на 1, равна
![$p=\frac{10}{19}$ $p=\frac{10}{19}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/8/b/a8b44946658a65e17df6afc87d95dc8682.png)
. Вероятность того, что следующее число меньше
предыдущего на 1, равна
![$q=\frac{9}{19}$ $q=\frac{9}{19}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/f/a/8fa65ba5f3640fa69427adfc1a12e1e282.png)
. Найти вероятность первого появления в этой последовательности числа (-1).
Задача сформулировано коряво и я решил вычисляя вероятности
![$p_n$ $p_n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/c/a/dcacd0c2df330290b04661ab76e2a62c82.png)
оказания в точке -1 первый раз на шаге
![$2n+1$ $2n+1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/6/5d687fe5b944a0bd07cbd7de02ff983082.png)
.
Суммировав этот ряд по всем от 0 до бесконечности получил
![$\sum_{n=0}^{\infty}= \frac{q}{p}, q\le p$ $\sum_{n=0}^{\infty}= \frac{q}{p}, q\le p$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/5/d/65da38a365d044809ba4c1b5f350704382.png)
,
![$\sum_ n p_n =1, q \ge p}$ $\sum_ n p_n =1, q \ge p}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/f/8/af811f7b5f0cb5ee452d1401ee2d931a82.png)
.
Потратив на это почти час. Он сказал, что ответ правильный и он решил задачу за 3 мин без вычисления
![$p_n$ $p_n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/c/a/dcacd0c2df330290b04661ab76e2a62c82.png)
.
Я послал ему свое решение, где возникают числа Каталана (и вряд ли подходит для школьников). От него так и не дождался простого решения за 3 дня.
Возникает вопрос есть ли вообще простое решение. Хотелось бы обсудить