Магические квадраты

[e7e5]

Nataly-Mak писал(а):

е7е5, не совсем поняла вашу опрерацию сложения квадратов. Если квадраты одного порядка, то понятно. А если разных, то как дополнять нулями? Симметрично, располагая квадрат меньшего размера в центре? И далее: если даже в результате такой операции сложения в какой-то локальной области получится магический квадрат (что, по-моему, вполне возможно), то этот квадрат будет нетрадиционным магическим, даже если все исходные квадраты традиционные. Или вы предполагаете, что исходные квадраты нетрадиционные? Например, квадраты, составленные только из 0 и 1, или сотовые квадраты, составленные из блоков 1, 2, 3, 4?

Например меньший квадрат кладется на больший. Затем сверху еще третий и.т.д Их можно класть как попало - можно симметрично, можно нет, как-то - именно нужно понять при каком-то совмещении квадратов получится новый?

[Nataly-Mak]

Ага! Значит, всё-таки была такая конференция и гранд-доктора на ней доложили о квадратике. Тогда я всё больше убеждаюсь в том, что если этот квадрат до 2003 г. ни в каких источниках не был приведён, академики нашли его в недрах какой-нибудь библиотеки, возможно, в незавершённом виде. Ну, чтобы его завершить, много ума не надо.
e7e5, вы точнее можете сказать, что вы имеете вначале и что хотите получить в конце. Если взять, например, n традиционных магических квадратов одного порядка и сложить их поэлементно (что то же самое, как я понимаю, как и ваша опреция наложения квадратов друг на друга и сложения чисел в совмещённых ячейках; я правильно понимаю?), то, разумеется, получится новый нетрадиционный магический квадрат. Если брать нетрадиционные магические квадраты одного порядка и тоже поэлементно складывать, то будут получаться новые нетрадиционные (или традиционные) магические квадраты. Это понятно. Если брать магические квадраты разных порядков и накладывать их друг на друга как попало, то в каких-то локальных областях можно получить нетрадиционные (а может и традиционные; это зависит оттого, какие квадраты вы будете друг на друга накладывать - традиционные или нетрадиционные) магические квадраты. Но к чему всё это? Вы хотите предложить новый метод построения магических квадратов? Ну, метод построения из двух вспомогательных квадратов уже известен. Если вы разработаете метод построения магических квадратов из квадратов разных порядков с помощью описанной вами операции сложения квадратов с помощью их наложения друг на друга, будет интересно с вашим методом познакомиться.

Добавлено спустя 30 минут 38 секунд:

Aleks-Sid писал(а):

Отсюда вывод: нужно искать единый метод построения идеального МК порядка 4k+2.

Как сообщается здесь: http://elementy.ru/blogs/users/ezalegin/31255/
вы этот метод уже нашли. Может быть, расскажете? Или это большой секрет, поскольку вы готовите доклад о методе на какой-то конференции (так пишут на данном блоге)?
А ещё там пишут, что вы доказали невозможность построения пандиагонального квадрата порядка n=4k+2, и это доказательство проще теоремы Пифагора. Почему не расскажете об этом доказательстве здесь? Скромничаете?

[Aleks-Sid]

Nataly-Mak

Просто я стал умней. У меня уже 5 раз воровали идеи и выдавали за свои. Теперь же, пока не застолблю последовательность в известной всему миру "Энциклопедии числовых последовательностей", ничего не буду в инете выкладывать. А конференция, - так я каждый год где нибудь, да участвую. В основном в прениях, так как желающих доложить больше, чем бывшие очереди к тов. Ленину. Зато приобрел много друзей ото всюду. Вот Сидней - одно из проявлений полезных знакомств.
Насчет доказательства Вас неправильно информировали. Это не доказательство невозможности, а доказательство возможности построения идеальных магических квадратов (в том числе нетрадиционных для 4k+2). Это очень интересное и изящное завершение моего цикла исследований идеальных квадратов любого порядка, кроме n=3 и n=4. Этим я завершаю мою монографию, которая выйдет скорее всего в этом году.

[shwedka]

Nataly-Mak в сообщении #157885 писал(а):

А ещё там пишут, что вы доказали невозможность построения пандиагонального квадрата порядка n=4k+2, и это доказательство проще теоремы Пифагора.

Aleks-Sid
И действительно?? проще, чем у Россера?
Ну, пошлите хотя бы мне, на [e-mail] , я проверю. Утечки не допущу, мне Ваша слава не нужна, своих трудов хватает. Если правильно, то помогу опубликовать. Поскольку результат эпохальный.

[Nataly-Mak]

Aleks-Sid писал(а):

Насчет доказательства Вас неправильно информировали. Это не доказательство невозможности, а доказательство возможности построения идеальных магических квадратов (в том числе нетрадиционных для 4k+2).

Не поняла! Вы доказываете возможность построения нетрадиционных идеальных квадратов порядка n=4k+2? Но ведь существование нетрадиционного идеального квадрата было известно 30 лет назад (это было опубликовано в журнале "Наука и жизнь"). Я. Д. Журба построил нетрадиционный идеальный квадрат 6-го порядка (1979 г.), сам же метод, которым он его построил, был опубликован в журнале "Наука и жизнь", № 5, 1978 г., стр. 143. Не изобретаете ли вы опять велосипед? Как я уже показала, данным методом без труда мной был построен нетрадиционный идеальный квадрат 14-го порядка. Сейчас порылась в черновых записях и нашла нетрадиционный идеальный 10х10. Поняла, почему я его забраковала: в нём есть повторояющиеся числа. Но кто сказал, что в нетрадиционном магическом квадрате числа не могут повторяться? Вот покажу и нетрадиционный идеальный квадрат 10х10, из черновиков:

1 120 5 118 6 116 8 115 10 111
110 13 106 15 105 17 103 18 101 22
45 76 49 74 50 72 52 71 54 67
88 35 84 37 83 39 81 40 79 44
56 65 60 63 61 61 63 60 65 56
66 57 62 59 61 61 59 62 57 66
78 43 82 41 83 39 85 38 87 34
55 68 51 70 50 72 48 73 46 77
100 21 104 19 105 17 107 16 109 12
11 112 7 114 6 116 4 117 2 121

Чем плохой квадрат? Вполне идеальный! Этот квадрат построен тем же самым методом, которым Журба построил идеальный квадрат 6-го порядка и я построила идеальный квадрат 14-го порядка (всё, конечно, нетрадиционные квадраты). Почти уверена, что данным методом можно построить нетрадиционный идеальный квадрат любого порядка n=4k+2. Хотя пока не доказано. Есть только три конкретных примера. Но уж существование-то таких квадратов точно не надо доказывать. Вот они!
Цитата с того самого блога:
"Александров прислал мне свое доказательство о невозможности построения пандиагонального магического квадрата, которое оказалось проще, чем теорема пифагора. Ему удалось найти единый метод построения идеальных магических квадратов порядка одинарной четности, но у которых ячейки заполненны числами не от 1 до n в квадрате, а в произвольном сочетании. Примеры не привел, но говорит, что готовит большую статью для конференции в Монтевидео".
Как видите, здесь чёрным по белому написано: "...доказательство о невозможности построения пандиагонального магического квадрата...". Вас неправильно поняли?

[Nataly-Mak]

Вот в подтверждение сказанного выше ещё один нетрадиционный идеальный квадрат (18-го порядка), построенный тем же методом.

1  360  12  358  13  356  8  347  3  345  5  350  14  355  16  354  18  343 
 342  21  331  23  330  25  335  34  340  36  338  31  329  26  327  27  325  38 
 210  151  221  149  222  147  217  138  212  136  214  141  223  146  225  145  227  134 
 304  59  293  61  292  63  297  72  302  74  300  69  291  64  289  65  287  76 
 229  132  240  130  241  128  236  119  231  117  233  122  242  127  244  126  246  115 
 266  97  255  99  254  101  259  110  264  112  262  107  253  102  251  103  249  114 
 134  227  145  225  146  223  141  214  136  212  138  217  147  222  149  221  151  210 
 95  268  84  270  83  272  88  281  93  283  91  278  82  273  80  274  78  285 
 39  322  50  320  51  318  46  309  41  307  43  312  52  317  54  316  56  305 
 57  306  46  308  45  310  50  319  55  321  53  316  44  311  42  312  40  323 
 77  284  88  282  89  280  84  271  79  269  81  274  90  279  92  278  94  267 
 152  211  141  213  140  215  145  224  150  226  148  221  139  216  137  217  135  228 
 248  113  259  111  260  109  255  100  250  98  252  103  261  108  263  107  265  96 
 247  116  236  118  235  120  240  129  245  131  243  126  234  121  232  122  230  133 
 286  75  297  73  298  71  293  62  288  60  290  65  299  70  301  69  303  58 
 228  135  217  137  216  139  221  148  226  150  224  145  215  140  213  141  211  152 
 324  37  335  35  336  33  331  24  326  22  328  27  337  32  339  31  341  20 
 19  344  8  346  7  348  12  357  17  359  15  354  6  349  4  350  2  361

Интересно отметить одно свойство этого квадрата: сумма чисел в любом квадрате 2х2 равна одному и тому же числу – 724=2*362, а 362 – есть сумма комплементарных чисел. Этим свойством обладают и все предыдущие нетрадиционные квадраты: 6-го, 10-го, 14-го порядков.
Понятно, что если по данному алгоритму уже построены 4 квадрата, то алгоритм можно формализовать и запрограммировать. Таким образом, общий метод построения нетрадиционных идеальных квадратов порядка n=4k+2 существует как минимум 30 лет.

[Aleks-Sid]

Nataly-Mak

Мне уже надоело повторять одно и то же. Я нашел не частные случаи построения МК, а общий, то есть для всего ряда n: 6, 10, 14 и до бесконечности (цифры во всех случаях не повторяются). Ибо только тогда такую методику легче всего программировать. Теперь, наконец, могу строить для любого n, (кроме 3 и 4 ), ассоциативные структуры, у которых по 4n направлениям суммы чисел в ячейках одинаковы. Это как раз то, что будет востребовано нанотехнологами при создании суперчетких цифровых изображений.
Если у Вас есть четко отлаженная программа, по которой задаете n, например 495 или 254, и сразу выдаете результат, то очень похвально. Мы идем параллельно и весьма успешно. Критиковать друг друга просто бессмысленно.

Что касается Ваших цитат, - это не ко мне. Человека, которого Вы цитируете, я просил не разбалтывать по всему цвету мои маленькие тайны. К тому же он все переврал, как в испорченном телефоне. Больше всего на свете я не люблю сплетников.

[maxal]

shwedka в сообщении #156911 писал(а):

Просто чудо, что модераторы так долго терпят такой оффтоп, и не выделяют это обсуждение в отдельную тему.

Терпели как могли

Обсуждение научных публикаций вынесено в отдельную тему "Кухня" научных публикаций. Дальнейшее обсуждение вопросов типа где, как и на каком языке публиковать рекомендуется вести в новой теме. В данной же теме следует придерживаться Магических квадратов.

[Aleks-Sid]

maxal

Я считаю, что воспрос где, как и на каком языке публиковать магические квадраты лучше всего обсуждать именно здесь. Грамотная публикация МК намного трудней и важней, чем даже их изобретение. Любая задача должна быть сдана "под ключ", а успешно сделать такое можно не на кухнях, а в окружении специалистов. Это мое мнение и разве нельзя к нему прислушаться?

[maxal]

Aleks-Sid
Повторю другими словами: обсуждение магических квадратов (в том числе и связанные публикации) будет вестись в этой теме; на "кухне" же будет обсуждение (в кругу тех же самых специалистов) связанное с вопросами публикаций как таковых, безотносительно магических квадратов. Если вас что-то в политике модерирования и/или разделения тем не устраивает - пишите в модераторам или в раздел "Работа форума", а здесь отвлеченные разговоры неуместны.

[Nataly-Mak]

Aleks-Sid писал(а):

Мне уже надоело повторять одно и то же. Я нашел не частные случаи построения МК, а общий, то есть для всего ряда n: 6, 10, 14 и до бесконечности (цифры во всех случаях не повторяются). Ибо только тогда такую методику легче всего программировать. Теперь, наконец, могу строить для любого n, (кроме 3 и 4 ), ассоциативные структуры, у которых по 4n направлениям суммы чисел в ячейках одинаковы. Это как раз то, что будет востребовано нанотехнологами при создании суперчетких цифровых изображений.
Если у Вас есть четко отлаженная программа, по которой задаете n, например 495 или 254, и сразу выдаете результат, то очень похвально. Мы идем параллельно и весьма успешно. Критиковать друг друга просто бессмысленно.

Да я поняла, что вы нашли! Но вы здесь об этом не сообщали, а сообщали на блоге (другие люди со ссылкой на вас). А поскольку это метод, относящийся всё-таки к данной теме, которая мне очень даже интересна, я и задала здесь этот вопрос. Если это была страшная тайна, не надо было самому о ней прежде времени разбалтывать.
Насчёт критики. Критика, коллега, всегда полезна. И насчёт её бессмысленности вы очень не правы.
Метод построения нетрадиционных идеальных квадратов порядка n=4k+2, известен уже 30 лет. Это я показала. Программу для данного метода составлять не собираюсь, мне это не надо. А труднее или проще запрограммировать метод, изложенный в журнале "Наука и жизнь", по сравнению с вашим методом - это ещё вопрос. Вот когда вы опубликуете свой метод, тогда можно будет сравнить эти два метода.

[Nataly-Mak]

О доказательствах. Сейчас речь идёт только о традиционных магических квадратах. Как я поняла, Россером доказано несуществование пандиагональных квадратов порядка n=4k+2. А несуществование ассоциативных квадратов таких порядков кем-нибудь доказано? Я упоминала здесь, что составила примитивную схему доказательства несуществования ассоциативного квадрата 6-го порядка. Хотелось бы посмотреть на профессиональное доказательство этого утверждения для любого порядка указанной серии порядков. Ведь ассоциативность и пандиагональность совершенно разные свойства, квадрат может быть ассоциативным, но не пандиагональным, и наоборот.
Ещё одно утверждение (цитирую по книге: М. Гарднер. Путешествие во времени. – М.: Мир, 1990):
“Магический квадрат порядка 4 может быть либо пандиагональным, либо ассоциативным, но не может быть пандиагональным и ассоциативным одновременно”. Тоже общеизвестное утверждение. Доказано здесь:
http://www.klassikpoez.narod.ru/assoc.htm
Хотелось бы посмотреть на другие доказательства, может быть, более изящные.
Кстати, нетрадиционные идеальные квадраты 4-го порядка тоже есть. Например:

3 14 9 8
14 3 8 9
8 9 14 3
9 8 3 14

А вот нетрадиционный идеальный (или пандиагональный) квадрат 3-го порядка мне построить не удалось. Несуществование такого квадрата доказано?
***
Небольшой курьёз о магических квадратах 5-го порядка. Набрела как-то на сайт (жаль, не записала ссылку), где автор рассказывает следующее (очень похоже на анекдот): многие, несколько лет занимаясь квадратами 5-го порядка, совершенно уверены в том, что в таких квадратах в центральной ячейке обязательно должно стоять число 13. Далее автор говорит, что это совсем не так и предлагает несколько программ для построения магических квадратов 5-го порядка с другими числами в центральной ячейке. Но зачем же здесь нужны какие-то программы? Достаточно взять любой пандиагональный квадрат 5-го порядка, замостить им всю плоскость, и на этой плоскости можно очертить пандиагональный квадрат с любым числом в центральной ячейке. В указанной книге Гарднера приводится такой пример магической плоскости.
Перехожу от курьёза к серьёзной цитате из той же книги Гарднера: “Если каждое число в магическом квадрате вычесть из N^2+1 (в случае квадратов порядка 5 – из 26), то получится квадрат, который называется дополнением к исходному. Он также магический. Если в центральной клетке квадрата порядка 5 стоит число 13, то дополнение изоморфно исходному квадрату. Если в центральной клетке стоит число, отличное от 13, то в результате перехода к дополнению возникает новый магический квадрат. Если изоморфизм понимать в расширенном смысле, относя к числу операций, не нарушающих изоморфизм, операцию взятия дополнения, то общее число различных магических квадратов порядка 5 понизится примерно до 35 млн.”.
Очень странной является выделенная фраза. В результате операции взятия дополнения, применённой к ассоциативному магическому квадрату, действительно получается изоморфный квадрат, так как в этом случае преобразование равносильно повороту квадрата на 180 градусов. Однако не всякий квадрат 5-го порядка, в центральной ячейке которого стоит число 13, является ассоциативным. Число 13 в центральной ячейке является необходимым условием ассоциативности, но не достаточным. Вот пример квадрата с числом 13 в центральной ячейке, который не является ассоциативным:

1 8 17 14 25
22 24 10 6 3
15 16 13 2 19
18 12 4 20 11
9 5 21 23 7

Применение операции взятия дополнения к данному квадрату приводит отнюдь не к изоморфному квадрату:

25 18 9 12 1
4 2 16 20 23
11 10 13 24 7
8 14 22 6 15
17 21 5 3 19

Подробно об операции взятия дополнения можно посмотреть в статье “Преобразования магических квадратов”.
Электронная версия указанной книги М. Гарднера:
http://publ.lib.ru/ARCHIVES/G/GARDNER_M ... djv%5D.zip
Рядом с приведённой цитатой в книге приводятся интересные данные о количестве квадратов 5-го порядка с различными числами в центральной ячейке.

[Aleks-Sid]

Nataly-Mak

Покажите мне идеальный нетрадиционный квадрат 10х10, построенный по 30-летнему методу, и я тогда соглашусь. Но чтобы все числа были разные.

[Nataly-Mak]

Aleks-Sid писал(а):

Покажите мне идеальный нетрадиционный квадрат 10х10, построенный по 30-летнему методу, и я тогда соглашусь. Но чтобы все числа были разные.

Согласитесь с чем? С тем, что изобрели велосипед?
Да сколько угодно таких квадратов могу показать! Вот, например:

1  168  10  165  3  159  9  166  12  157 
 156  15  147  18  154  24  148  17  145  26 
 118  51  127  48  120  42  126  49  129  40 
 117  54  108  57  115  63  109  56  106  65 
 27  142  36  139  29  133  35  140  38  131 
 39  132  30  135  37  141  31  134  28  143 
 105  64  114  61  107  55  113  62  116  53 
 130  41  121  44  128  50  122  43  119  52 
 144  25  153  22  146  16  152  23  155  14 
 13  158  4  161  11  167  5  160  2  169

Чуть-чуть изменила схему построения в показанном раньше квадрате 10х10 с повторяющимися числами, и всё получилось. Нетрадиционный идеальный 14х14 с неповторяющимися числами я уже показала (построенный этим же методом). Квадрат 18х18 надо показывать? Или уже соглашаетесь?

[shwedka]

Коллеги, не ругайтесь.

Если, действительно, вы сможете, забыв обиды, выделить из своих исследований и описать сжато и по-деловому принципиально новые результаты по какому-то из аспектов ваших квадратов, то хорошо написанную статью
можно отправить в
European Journal of Combinatorics

http://www.elsevier.com/wps/find/journa ... escription

Я готова помочь с переводом и, через шведских членов редколлегии, с которыми знакома, помочь пропихивать.