численно интеграл на неравномерной сетке

[barmale-y]

TOTAL писал(а):

barmale-y писал(а):

Выписанные вами разностные аналоги справедливы на равномерной сетке. На неравномерной это не так.

$y'_{i+1/2}-(y_{i+1}-y_i)/h$ какого порядка эта величина и почему? Докажите своё утверждение!
(О какой неравномерности говорите, здесь всего один шаг сетки!)

Вы привели два разностных аналога
$y'_{i+1/2}=(y_{i+1}-y_i)/h+O(h^2)$
$y'_{i}=(y_{i+1}-y_i)/h+O(h)$
Я говорил об аналоге второго порябка.
Здесь не так хотя бы постоянный шаг h. Д.б. h_i и h_{+1}.

разностный аналог второго порядка на неравномерной сетке таков [см. Самарский]
(взял узлы i-1, i , i+1)
y'_{i}= h_{i+1}/(h_i(h_i+h_{i+1}))(y_i-y_{i-1}) + h_{i}/(h_{i+1}(h_i+h_{i+1}))(y_{i+1}-y_{i}) +O(h_i^2+h_{i+1}^2)

Проверяется разложением в ряд Тейлора функции y в трех точках с индексами i, i-1, i+1.

[TOTAL]

$y'_{i+1/2}=(y_{i+1}-y_i)/h+O(h^2)$
Повторяю вопрос: Вы согласны с этим соотношение?
Если нет, то почему?

[barmale-y]

barmale-y писал(а):

TOTAL писал(а):

barmale-y писал(а):

Так в том то и дело, что для разностных аналогов производных это не так.
$y'_{i+1/2}=(y_{i+1}-y_i)/h$ имеет первый порядок локально.

$y'_{i+1/2}=(y_{i+1}-y_i)/h+O(h^2)$
$y'_{i}=(y_{i+1}-y_i)/h+O(h)$

Выписанные вами разностные аналоги справедливы на равномерной сетке. На неравномерной это не так.

Я имел ввиду разностный аналог второго порядка, он имеет второй порядок на равномерной сетку, согласен
$y'_{i+1/2}=(y_{i+1}-y_i)/h+O(h^2)$
но на неравномерной сетке, на трех точках i-1,i,i+1 р.а. второго порядка таков
y'_i=h_{i+1}/(h_{i}(h_{i}+h_{i+1}))(y_{i}-y_{i-1})+ h_{i}/(h_{i+1}(h_{i}+h_{i+1}))(y_{i+1}-y_{i})+ O(h_i^2+h_{i+1}^2)

Проверяется вычислением разложения f в ряд Тейлора f=f_i+f'_i(x-x_i)+f''_i/2(x-x_i)^2+f'''_i/6(x-x_i)^2+r_3 в узлах i-1, i , i+1 и подстановкой в р.а.

[TOTAL]

barmale-y писал(а):

Я имел ввиду разностный аналог второго порядка, он имеет второй порядок на равномерной сетку, согласен
$y'_{i+1/2}=(y_{i+1}-y_i)/h+O(h^2)$

Это справедливо для любой сетки. Если не согласны, то обоснуйте.

[barmale-y]

TOTAL писал(а):

$y'_{i+1/2}=(y_{i+1}-y_i)/h+O(h^2)$
Повторяю вопрос: Вы согласны с этим соотношение?
Если нет, то почему?

С этим согласен, так как шаг здесь постоянен h_i=h=const. Не согласен с ним на неравномерной сетке.

Обратите внимание на то, что я не сомневаюсь в выписанных вами отношениях, а говорю о том что решается реальная а не учебная задача, когда узлы навязаны и нет постоянного шага

barmale-y писал(а):

Выписанные вами разностные аналоги справедливы на равномерной сетке. На неравномерной это не так.

Добавлено спустя 4 минуты 3 секунды:

TOTAL писал(а):

barmale-y писал(а):

Я имел ввиду разностный аналог второго порядка, он имеет второй порядок на равномерной сетку, согласен
$y'_{i+1/2}=(y_{i+1}-y_i)/h+O(h^2)$

Это справедливо для любой сетки. Если не согласны, то обоснуйте.

что под h понимать для определенности h_i или h_{i+1}?

[TOTAL]

barmale-y писал(а):

что под h понимать для определенности h_i или h_{i+1}?

Очевидно, здесь $h=x_{i+1}-x_{i}$

[barmale-y]

TOTAL писал(а):

barmale-y писал(а):

Я имел ввиду разностный аналог второго порядка, он имеет второй порядок на равномерной сетку, согласен
$y'_{i+1/2}=(y_{i+1}-y_i)/h+O(h^2)$

Это справедливо для любой сетки. Если не согласны, то обоснуйте.

попытка построить подобный р.а.
y_{i+1}-y_{i-1} = y_i'(h_{i+1}-h_{i}) + y''(\xi)/2(h_{i}^2-h_{i+1}^2)
(y_{i+1}-y_{i-1})/(h_{i+1}-h_{i}) = y_i' + y''(\xi)/2(h_{i}+h_{i+1})
показывает что порядок первый

[TOTAL]

$y'_{i+1/2}=(y_{i+1}-y_i)/h+O(h^2), \; h=x_{i+1}-x_i$
Вы уже несколько раз игнорируете мои вопросы и заводите разговор про какие-то другие формулы.
Пока не убедитесь в справедливости выписанного выше соотношения, разговор с Вами прекращаю.

[barmale-y]

TOTAL писал(а):

barmale-y писал(а):

что под h понимать для определенности h_i или h_{i+1}?

Очевидно, здесь $h=x_{i+1}-x_{i}$

мои рассуждения выше справедливы.


h_{i+1}=x_{i+1}-x_{i}, \quad h_{i}=x_{i-1}-x_{i}, \quad y'_{i} = (y_{i+1}-y_{i-1})/(x_{i+1}-x_{i-1}) + O(h_i+h_{i+1})

P.S. кривовато взял h_i, но суть не меняется

Добавлено спустя 9 минут 31 секунду:

TOTAL писал(а):

$y'_{i+1/2}=(y_{i+1}-y_i)/h+O(h^2), \; h=x_{i+1}-x_i$
Вы уже несколько раз игнорируете мои вопросы и заводите разговор про какие-то другие формулы.
Пока не убедитесь в справедливости выписанного выше соотношения, разговор с Вами прекращаю.

Вы не нервничайте, я отвечал именно на ваш вопрос. Возьмите бумагу и ручку и проверьте. Да не дадут мне обмануть другие участники форума!

Итак,
y_{i+1}=y_i+y_i'h_{i+1}+y''(\xi)/2h_{i+1}^2, \quad h_{i+1}=x_{i+1}-x_i
y_{i-1}=y_i-y_i'h_{i}+y''(\xi)/2h_{i}^2, \quad h_{i}=x_{i}-x_{i-1}
(y_{i+1}-y_{i-1})/(x_{i+1}-x_{i-1})=y_i'+y''(\xi)/2(h_{i+1}+h_{i})

[ewert]

barmale-y писал(а):

Итак,
y_{i+1}=y_i+y_i'h_{i+1}+y''(\xi)/2h_{i+1}^2, \quad h_{i+1}=x_{i+1}-x_i
y_{i-1}=y_i-y_i'h_{i}+y''(\xi)/2h_{i}^2, \quad h_{i}=x_{i}-x_{i-1}
(y_{i+1}-y_{i-1})/(x_{i+1}-x_{i-1})=y_i'+y''(\xi)/2(h_{i+1}+h_{i})

ну и не годится. Речь шла не о трёхточечной, а о симметричной двухточечной производной: $f'_{i+1/2}={f_{i+1}-f_i\over h}+O(h^2)$. Где под $O(h^2)$ подразумевается, конечно, оценка через $C\cdot\mathop{\max}\limits_ih_i^2$, но на иное и расчитывать было бы наивно.

---------------------------------------------------------------------
ладно, по существу. Было предложение:

TOTAL писал(а):

\int_C f(x,y,y') dl \approx \sum (f(x_i,y_i,y'_{i+1/2}+f(x_{i+1},y_{i+1},y'_{i+1/2}))*dl_i/2

И Вы полюбопытствовали: "А почему, собственно?" -- а по чему угодно. Чудес ведь не бывает. И если фрагменты формулы дают второй порядок, то и вся формула -- тоже. Чудес не бывает.

Например, можно так. Берём за основу формулу центральных прямоугольников:

$$\int_{x_i}^{x_{i+1}}f(x,y(x),y'(x))\,dx=h\cdot f(x_{i+1/2},y(x_{i+1/2}),y'(x_{i+1/2}))+O(h^3)$$

.

Заменяем точную производную в центре на симметричный разностный аналог -- порядок погрешности не изменится (поскольку сама по себе разностная производная имеет 2-й порядок точности, и потом всё умножается ещё на $h$):

$$\int_{x_i}^{x_{i+1}}f(x,y(x),y'(x))\,dx=h\cdot f(x_{i+1/2},y(x_{i+1/2}),y'_{i+1/2})+O(h^3)$$

.

Теперь выражение справа интерпретируем как значение в точке $x=x_{i+1/2}$ функции одной переменной

$g(x)\equiv f(x,y(x),y'_{i+1/2})$

(третий аргумент считаем фиксированным). Тогда

$$g(x_{i+1/2})={1\over2}\big(g(x_{i})+g(x_{i+1})\big)+O(h^2)$$

-- это просто стандартная оценка линейной интерполяции. Объединяя всё вместе, имеем:

$$\int_{x_i}^{x_{i+1}}f(x,y(x),y'(x))\,dx={h\over2}\cdot\big(f(x_{i},y_{i},y'_{i+1/2})+f(x_{i+1},y_{i+1},y'_{i+1/2})\big)+O(h^3)$$

.

[barmale-y]

ewert писал(а):

barmale-y писал(а):

Итак,
y_{i+1}=y_i+y_i'h_{i+1}+y''(\xi)/2h_{i+1}^2, \quad h_{i+1}=x_{i+1}-x_i
y_{i-1}=y_i-y_i'h_{i}+y''(\xi)/2h_{i}^2, \quad h_{i}=x_{i}-x_{i-1}
(y_{i+1}-y_{i-1})/(x_{i+1}-x_{i-1})=y_i'+y''(\xi)/2(h_{i+1}+h_{i})

ну и не годится. Речь шла не о трёхточечной, а о симметричной двухточечной производной: $f'_{i+1/2}={f_{i+1}-f_i\over h}+O(h^2)$. Где под $O(h^2)$ подразумевается, конечно, оценка через $C\cdot\mathop{\max}\limits_ih_i^2$, но на иное и расчитывать было бы наивно.

Извиняюсь не догоняю. TOTAL говорил о любой сетке.

TOTAL писал(а):

barmale-y писал(а):

Я имел ввиду разностный аналог второго порядка, он имеет второй порядок на равномерной сетку, согласен
$y'_{i+1/2}=(y_{i+1}-y_i)/h+O(h^2)$

Это справедливо для любой сетки. Если не согласны, то обоснуйте.

Любая сетка это не симметричная двухточечная.

Я же вижу что на любой сетке, для трех навязанных точек имеет место первый порядок аппроксимации:
y_i'=(y_{i+1}-y_{i-1})/(x_{i+1}-x_{i-1}) + O(h_{i+1}+h_{i})

В чем я ошибаюсь? Если рассматривается интеграл по контуру и x - это дуговая координата, то как точно вычислить x_{i+1/2} дополнительно не интерполируя кривую?


Спасибо. Идею обоснования понятна: строим квадратуру с оценкой, а затем подставляем р.а. и оцениваем.

[ewert]

Вы ошибаетесь в том, что зачем-то привлекаете несимметричную трёхточечную производную $\big(i\leftrightarrow (i-1),\ (i+1)\big)$ вместо симметричной двухточечной (формально-то она тоже трёхточечная, но только формально): $\big((i+1/2)\leftrightarrow (i),\ (i+1)\big)$.

И, кстати, вдвойне ошибаетесь вот ещё в чём. Вы исходите из того, что шаги выбираются как попало. Однако на практике-то зависимость шага от номера частенько тоже выбирается "гладкой". И тогда даже Ваша несимметричная аппроксимация тоже даст второй порядок точности. А нарушение порядка возникнет только в исключительных точках, где по каким-то причинам приспичит изменить этот шаг скачком. Что никак не скажется на общей аппроксимации интеграла.

(ну, конечно, если речь о сеточных схемах для дифуравнений с разрывными коэффициентами, то там эта логика не работает, но это -- отдельная тема)

[barmale-y]

ewert писал(а):

Вы ошибаетесь в том, что зачем-то привлекаете несимметричную трёхточечную производную $\big(i\leftrightarrow (i-1),\ (i+1)\big)$ вместо симметричной двухточечной (формально-то она тоже трёхточечная, но только формально): $\big((i+1/2)\leftrightarrow (i),\ (i+1)\big)$.

Хочу осмыслить все до конца. Мне нужно вычислить интеграл по кривой, заданной системой точек. Точно известно что точки разбивают кривую на неравные части. Индексы точек целые i=1,\dots,n. Т.е. возможности найти точно координаты точки (x_{i+1/2},y_{i+1/2}), которая разобьет дугу попалам от i до i+1 индекса нет.

Если я возьму три точки с индексами i-1,i,i+1, то длины дуг от i-1 до i и от i до i+1 будут разные, и часть сетки на этих точках нельзя считать симметричной. Где найти доказательства того, что разностный аналог для сетки с постоянным шагом совпадает с разностным аналогом для сетки с переменным шагом длина которого гладко зависит от индекса? Хотя не факт, что в большинстве мат. моделях соответствующим физическим или другим процессам оно так. В своей задачке поищу такую зависимость.

[ewert]

ну, положим, $x_{i+1/2}$-то Вам точно известны (если Вы параметризуете кривую именно зависимостью игреков от иксов, что не всегда естественно).

Разностные аналоги для сеток с постоянным и переменным шагом, разумеется, буквально не совпадают, но. Если шаг меняется плавно, то отличие между ними есть $O(h^2)$ -- просто потому, что расстояние между "точками привязки" для симметричной и несимметричной формул есть величина порядка $h^2$.

[barmale-y]

ewert писал(а):

ну, положим, $x_{i+1/2}$-то Вам точно известны (если Вы параметризуете кривую именно зависимостью игреков от иксов, что не всегда естественно).

нет. Я с начала обсуждения спорю о неравномерности сетки, что в стороне от вопроса. Особенность физической задачи которую я моделирую в том, что сетка неравномерна, уравнение кривой неизвестно, мне дана система точек вместо кривой. Это дано.

ewert писал(а):

Разностные аналоги для сеток с постоянным и переменным шагом, разумеется, буквально не совпадают, но. Если шаг меняется плавно, то отличие между ними есть $O(h^2)$ -- просто потому, что расстояние между "точками привязки" для симметричной и несимметричной формул есть величина порядка $h^2$.

Возможно это можно доказать, например, когда эллипс разбиваем на части с равным шагом по углу. Но в самом общем случае как это сделать я не предполагаю.

В итоге, если я могу предположить что h_{i+1}=h_i+O(h_i^2) то нужно пользоваться вашим аналогом, если нет, то моим. Правильно?