численно интеграл на неравномерной сетке

[barmale-y]

Квадратуры Ньютона - Котеса построены и оценены на равномерной сетке.
А если узлы заданы (в смысле навязаны, а не выбраны как в квадратурах Гаусса)
то теория численных методов что-то предлагает? Ди и интерполяционных многочленов
на неравномерной сетке (с навязанной в "дано" неравномерностью) я не нашел.
В общем, порекомендуйте книжку и ключевое слово.

[TOTAL]

$$\int_{-1}^{1}f(x)dx \approx \sum_i A_if(x_i)$$

Считая узлы $x_i$ квадратурной формулы заданными, методом неопределенных коэффициентов найдите её веса $A_i$ из условия, что формула является точной для многочленом как можно более высокой степени.

[ewert]

фактически веса при заданном расположении узлов получаются просто интегрированием соответствующего интерполяционного многочлена -- они и будут наилучшими, и никакие другие. А для достижения максимального порядка точности следует выбирать как раз взаимное расположение узлов (формулы Гаусса и получатся).

[barmale-y]

TOTAL писал(а):

$$\int_{-1}^{1}f(x)dx \approx \sum_i A_if(x_i)$$

Считая узлы $x_i$ квадратурной формулы заданными, методом неопределенных коэффициентов найдите её веса $A_i$ из условия, что формула является точной для многочленом как можно более высокой степени.

так выводится формула Гаусса, при дополнительной возможности выбора узлов, мне нужно другое: узлы навязаны :-).

[ewert]

Интегрируйте многочлен Лагранжа -- и будет щастье.

[TOTAL]

barmale-y писал(а):

TOTAL писал(а):

$$\int_{-1}^{1}f(x)dx \approx \sum_i A_if(x_i)$$

Считая узлы $x_i$ квадратурной формулы заданными, методом неопределенных коэффициентов найдите её веса $A_i$ из условия, что формула является точной для многочленом как можно более высокой степени.

так выводится формула Гаусса, при дополнительной возможности выбора узлов, мне нужно другое: узлы навязаны .

Берите узлы те, какие Вам нужны (какие Вам навязали). Затем ищите веса.

[barmale-y]

ewert писал(а):

Интегрируйте многочлен Лагранжа -- и будет щастье.

+ , но удобнее интегрировать полином Ньютона, причем в случае когда он выражен через разделенные разности можно использовать неравномерные узлы, и главное все уже вычислено в виде квадратур Ньютона-Котеса.

Помогите осмыслить ситуацию. Нужно численно вычислить интеграл по кривой
\int_C f(x,y,y') dl
В интеграле есть производная. Сетка неравномерная, т.е. заданы точки кривой \{x_i,y_i|i=0..n\} и расстояние между ними различно. Я так понимаю, что если бы я точно вычислил производную, и воспользовался формулой прямоугольников с центральной точкой, то глобальная погрешность будет пропорциональна максимальному значению шага в квадрате? В имеющейся у меня литературе говорится о постоянном шаге.

Вопрос, какой разностный аналог для y' выбрать чтобы не уменьшить порядок численного интегрирования? Кстати, с производной. Если возьмем центральные разности на равномерной сетке, то получим третий локальный порядок аппроксимации, а на неравномерной второй локальный. И метод неопр. коэф. известен. чтобы получить третий.

[TOTAL]

\int_C f(x,y,y') dl \approx \sum (f(x_i,y_i,y'_{i+1/2}+f(x_{i+1},y_{i+1},y'_{i+1/2}))*dl_i/2

[ewert]

ну да. Формула трапеций+центральных прямоугольников в сочетании с симметричными первыми производными, которые суть $y'_{i+1/2}=(y_{i+1}-y_i)/h$. Гарантированно даёт третий порядок локально и, соотв., второй глобально, независимо от равномерности сетки.

barmale-y в сообщении #157568 писал(а):

+ , но удобнее интегрировать полином Ньютона,

Смотря с какой точки зрения удобнее. Технически интегрировать Ньютона удобнее (когда сетка равномерная), но зато интегрирование Лагранжа сразу же даёт веса, безо всякого пересчёта.

[barmale-y]

ewert писал(а):

ну да. Формула трапеций+центральных прямоугольников в сочетании с симметричными первыми производными, которые суть $y'_{i+1/2}=(y_{i+1}-y_i)/h$. Гарантированно даёт третий порядок локально и, соотв., второй глобально, независимо от равномерности сетки.

Так в том то и дело, что для разностных аналогов производных это не так.
$y'_{i+1/2}=(y_{i+1}-y_i)/h$ имеет первый порядок локально.

методом неопределенных коэфф. [Самарский] можно найти веса для каждой из трех точек и создать разностный аналог второго локального порядка на неравномерной сетке, если нужно я его здесь выпишу.

А что интересно, для квадратур неравномерность сетки пофигу формально.

[ewert]

barmale-y писал(а):

Так в том то и дело, что для разностных аналогов производных это не так.
$y'_{i+1/2}=(y_{i+1}-y_i)/h$ имеет первый порядок локально.

Да, я, как обычно, оговорился. Она имеет второй порядок, оцениваемый, соотв., еёной третьей производной. И глобальный порядок -- применительно к разностным производным -- бессмысленен. Но: после встраивания в квадратурные формулы это приводит ровно к тем порядкам, которые я указал...

[barmale-y]

ewert писал(а):

...
Да, я, как обычно, оговорился. Она имеет второй порядок, оцениваемый, соотв., еёной третьей производной. И глобальный порядок -- применительно к разностным производным -- бессмысленен. Но: после встраивания в квадратурные формулы это приводит ровно к тем порядкам, которые я указал...

Как это можно обосновать?

[TOTAL]

barmale-y писал(а):

Так в том то и дело, что для разностных аналогов производных это не так.
$y'_{i+1/2}=(y_{i+1}-y_i)/h$ имеет первый порядок локально.

$y'_{i+1/2}=(y_{i+1}-y_i)/h+O(h^2)$
$y'_{i}=(y_{i+1}-y_i)/h+O(h)$

[barmale-y]

TOTAL писал(а):

barmale-y писал(а):

Так в том то и дело, что для разностных аналогов производных это не так.
$y'_{i+1/2}=(y_{i+1}-y_i)/h$ имеет первый порядок локально.

$y'_{i+1/2}=(y_{i+1}-y_i)/h+O(h^2)$
$y'_{i}=(y_{i+1}-y_i)/h+O(h)$

Выписанные вами разностные аналоги справедливы на равномерной сетке. На неравномерной это не так.

[TOTAL]

barmale-y писал(а):

Выписанные вами разностные аналоги справедливы на равномерной сетке. На неравномерной это не так.

$y'_{i+1/2}-(y_{i+1}-y_i)/h$ какого порядка эта величина и почему? Докажите своё утверждение!
(О какой неравномерности говорите, здесь всего один шаг сетки!)