2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Школьная программа. Алгебра. Десять доказательтв неравенств
Сообщение23.01.2023, 08:13 


14/06/22
60
Доказать неравенствa разными способами из школьной программы.
Желательно 5 или больше доказательств для каждого неравенства.


$x^4+x^3+2x^2+2x+3 > 0$  $\forall x\in\mathbb{R}$$  (1)$

$\frac{1}{\sin^2x} \leq \frac{1}{x^2}+1-\frac{4}{\pi^2}$ $\forall x\in (0;\frac{\pi}{2}]$  (2)$


Первое решение для $(1)$

$(x^2+\frac{1}{2}x)^2+\frac{3}{4}x^2+(x+1)^2+2>0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная программа. Алгебра. Десять доказательтв неравенств
Сообщение23.01.2023, 14:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
(1) можно найти минимумы $x^4+x^3$ и $2x^2+2x$ по отдельности или хотя бы оценить их. Или при ином разбиении на слагаемые

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная программа. Алгебра. Десять доказательтв неравенств
Сообщение23.01.2023, 15:02 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
При $x\ne 1$ левую часть неравенства (1) можно записать в виде: $\dfrac {x^5-1}{x-1}+\dfrac {x^3-1}{x-1}+1.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная программа. Алгебра. Десять доказательтв неравенств
Сообщение23.01.2023, 15:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
$(x^3+1)(x+1) + (2x^2+x+2) > 0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная программа. Алгебра. Десять доказательтв неравенств
Сообщение23.01.2023, 17:39 


14/06/22
60
Уже 4 для (1). Спасибо.

Пятое для (1)
Доказательство для (1) с применением вспомогательного неравенства $\ln(x+1) \leqslant x$, $x > -1$
Неравенство несложно вывести из свойства вогнутости логарифмической функции.

$P(x)=x^4+x^3+2x^2+2x+3=x(x+1)(x^2+2)+3 > 0, x\in(-\infty; -1]$

$\implies\ln(P(x)+1) \leqslant P(x), x > -1$

$\implies 0<\ln((x+1)^2 +1)+\ln((x-\frac{1}{2})^2+\frac{7}{4}) \leqslant x^4+x^3+2x^2+2x+3,  x>-1$


----
Ничего не могу придумать без производных для неравенства (2).

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная программа. Алгебра. Десять доказательтв неравенств
Сообщение01.02.2023, 15:55 


14/06/22
60
Klein в сообщении #1578367 писал(а):
Доказать неравенствa разными способами из школьной программы.
Желательно 5 или больше доказательств для каждого неравенства.


$\frac{1}{\sin^2x} \leq \frac{1}{x^2}+1-\frac{4}{\pi^2}$ $\forall x\in (0;\frac{\pi}{2}]$  (2)$


Можно доказать используя следующую подстановку

$tg(\frac{x}{2})=t$
$sin(x)=\frac{2t}{1+t^2}$
$ x\in (0;\frac{\pi}{2}]$, $t\in (0;1]$

После подстановки и решения неравенства $(2)$ получаем

$t>0$, $0<x\leq2\pi\sqrt\frac{t^2}{\pi^2 t^4 - 2\pi^2 t^2 + 16 t^2 +\pi^2}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная программа. Алгебра. Десять доказательтв неравенств
Сообщение04.06.2023, 17:42 


14/06/22
60
Порешаем школьную задачу по алгебре


$\text{{Найти все }} x \in \mathbb{R} \text{{ для }} \lfloor \sqrt{x} + \sqrt{x+1} \rfloor + \lfloor \sqrt{4x+2} \rfloor = 18$

 Профиль  
                  
 
 Re: Так?
Сообщение04.06.2023, 21:20 


14/06/22
60
Koren28 в сообщении #1596539 писал(а):
Klein

Решая это неравенство, мы получаем:

$$7.25 < x < 63.75.$$

Таким образом, все значения $x$, удовлетворяющие уравнению $\lfloor \sqrt{x} + \sqrt{x+1} \rfloor + \lfloor \sqrt{4x+2} \rfloor = 18$, лежат в интервале $(7.25,63.75)$.

Klein Напишите в Wolfram Alpha
Код:
solve floor(sqrt(x) + sqrt(x+1)) + floor(sqrt(4x+2)) = 18 for x


Wolfram выдает следующий интервал : $[19.7531, 24.5)$

Я решение написал на 2 страницы. Немного корявое но похоже правильно. Много латек кода писать. Немного позже помещу.

-- 05.06.2023, 03:51 --

Koren28

Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная программа. Алгебра. Десять доказательтв неравенств
Сообщение04.06.2023, 22:07 


14/06/22
60
Klein в сообщении #1596497 писал(а):
Порешаем школьную задачу по алгебре


$\text{{Найти все }} x \in \mathbb{R} \text{{ для }} \lfloor \sqrt{x} + \sqrt{x+1} \rfloor + \lfloor \sqrt{4x+2} \rfloor = 18$


Положим

(1)
\lfloor \sqrt{x} + \sqrt{x+1} \rfloor = m
\text{{ и }}  \lfloor \sqrt{4x+2} \rfloor = n

(2)
\begin{align*}
m+n &= 18 \\
m &= 0, \quad n = 18 \\
m &= 1, \quad n = 17 \\
&\vdots \\
m &= 9, \quad n = 9 \\
&\vdots \\
m &= 18, \quad n = 0 \\
\end{align*}

(3)
\begin{align*}
n &\leq \sqrt{4x+2} < n+1 \\
m &\leq \sqrt{x} + \sqrt{x+1} < m+1 \\
\Rightarrow n^2 &< 2(m+1)^2
\end{align*}

Подставляем n, m в (2) в неравенство полученное в (3).

m,n удовлетворяющие неравенство в (3) :

(4)
m=7, n=11
m=8, n=10
m=9, n=9

Подставляем m, n в (4) в неравенства в (3)
и получаем m=9, n=9 удовлетворяющие неравенства в (3) .

Решаем неравенства для m=9, n=9

$ \frac{1600}{81} \leq x < \frac{49}{2}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная программа. Алгебра. Десять доказательтв неравенств
Сообщение09.07.2023, 13:13 


14/06/22
60
Определить несколькими способами из школьной программы какое из чисел больше $\sqrt{3}+ \sqrt{7}+ \sqrt{21}$ или $9$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная программа. Алгебра. Десять доказательтв неравенств
Сообщение09.07.2023, 15:11 


13/01/23
307
Имеется цепочка равносильных переходов (? означает любой из знаков $>$, $<$, $=$)

\begin{align*}
 & \sqrt{3} + \sqrt {7} + \sqrt{21} & \text{?\quad} & 9 \\
\Longleftrightarrow 
\quad & (\sqrt{3} + 1)(\sqrt{7} + 1) & \text{?\quad} & 10 & \big(\text{домножить на $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$}\big) \\
\Longleftrightarrow 
\quad & \sqrt{7} + 1 & \text{?\quad} & 5\sqrt{3} - 5 \\
\Longleftrightarrow 
\quad & \sqrt{7} + 6 & \text{?\quad} & 5\sqrt{3} & \text{(возвести в квадрат)} \\
\Longleftrightarrow 
\quad & 43 + 12\sqrt{7} & \text{?\quad} & 75 \\
\Longleftrightarrow 
\quad & 3\sqrt{7} & \text{?\quad} & 8 & \text{(возвести в квадрат)} \\
\Longleftrightarrow 
\quad & 63 & \text{?\quad} & 64 & \text{(здесь знак $<$)} \\
\end{align*}

Таким образом, $\sqrt{3} + \sqrt {7} + \sqrt{21} < 9$

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная программа. Алгебра. Десять доказательтв неравенств
Сообщение09.07.2023, 15:27 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
$\begin{array}{lcl}\sqrt{3} + \sqrt {7} + \sqrt{21} & ? & 9\\ (\sqrt{3} + \sqrt {7})^2 & ? & (9-\sqrt{21})^2\\ 10 + 2\sqrt {21} & ? & 102-18\sqrt{21}\\ \sqrt {21} & ? & 4.6\\ 21 & < & 21.16\end{array}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная программа. Алгебра. Десять доказательтв неравенств
Сообщение09.07.2023, 18:47 


14/06/22
60
KhAl в сообщении #1600408 писал(а):
Имеется цепочка равносильных переходов (? означает любой из знаков $>$, $<$, $=$)

\begin{align*}
 & \sqrt{3} + \sqrt {7} + \sqrt{21} & \text{?\quad} & 9 \\
\Longleftrightarrow 
\quad & (\sqrt{3} + 1)(\sqrt{7} + 1) & \text{?\quad} & 10 & \big(\text{домножить на $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$}\big) \\
\Longleftrightarrow 
\quad & \sqrt{7} + 1 & \text{?\quad} & 5\sqrt{3} - 5 \\
\Longleftrightarrow 
\quad & \sqrt{7} + 6 & \text{?\quad} & 5\sqrt{3} & \text{(возвести в квадрат)} \\
\Longleftrightarrow 
\quad & 43 + 12\sqrt{7} & \text{?\quad} & 75 \\
\Longleftrightarrow 
\quad & 3\sqrt{7} & \text{?\quad} & 8 & \text{(возвести в квадрат)} \\
\Longleftrightarrow 
\quad & 63 & \text{?\quad} & 64 & \text{(здесь знак $<$)} \\
\end{align*}

Таким образом, $\sqrt{3} + \sqrt {7} + \sqrt{21} < 9$


Красивое решение. Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная программа. Алгебра. Десять доказательтв неравенств
Сообщение10.07.2023, 07:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
\begin{align*}
 & \sqrt{3} + \sqrt {7} + \sqrt{21} & \text{?\quad} & 9 \\
\quad & \sqrt{3} + \sqrt{7} & \text{?\quad} & 9 -  \sqrt{21}  & \big(\text{домножить на $9 +  \sqrt{21}$}\big) \\
\quad & 4\sqrt{3} +3 \sqrt{7}  & \text{?\quad} & 15 \\
\quad & \sqrt{48} + \sqrt{63} & \text{?\quad} & 15 \\
\quad & \sqrt{48} + \sqrt{63} & \text{<\quad} & 15 & \big(\text{т.к. $48<7^2, \; 63<8^2$}\big)\\
\end{align*}

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная программа. Алгебра. Десять доказательтв неравенств
Сообщение10.07.2023, 11:54 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
$\begin{array}{lcl}\sqrt{3} + \sqrt {7} + \sqrt{21} & ? & 9\\ (\sqrt{3} + \sqrt {21})^2 & ? & (9-\sqrt{7})^2 \\ 24 + 6\sqrt {7} & ? & 88-18\sqrt{7}\end{array}$
Из корней остался только $\sqrt 7$, и дальше очевидно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 75 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Vladimir Pliassov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group