Теория категорий применительно к алгебре и геометрии

[EminentVictorians]

Ende
Выделено из темы «Отношение эквивалентности»

Vladimir Pliassov в сообщении #1577855 писал(а):

Что Вы имеете в виду под тем, что это факт более глубокий, чем кажется на первый взгляд?

Я поделюсь своим представлением, просто имейте в виду, что я, как и Вы, тоже нахожусь в процессе обучения, поэтому не факт, что я прав. К тому же у меня слегка специфический взгляд на математику, так что читайте на свой страх и риск))

Я сам год назад изучал алгебру, и мне понятна природа многих Ваших затруднений (т.к. я сам сталкивался с многими из них).

Мой основной тезис в том, что, возможно, не стоит сильно серьезно относиться к той структуре определений и теорем, которые Вы видите в учебнике алгебры. Просто выглядит так, что Вы крайне скурпулезно изучаете математику, вот я и решил написать - вдруг сообщу хорошую новость (о том, что скурпулезность может быть и не обязательна).

Приведу пару примеров. Я помню, как я читал первый или второй параграф у Винберга. Ну и там была теорема о том, что композиция гомоморфизмов групп - тоже гомоморфизм. Я ее честно доказал: рассмотрел композицию, взял произвольную пару элементов из первой группы, написал эту строчку, в которой надо пользоваться промежуточными гомоморфизмами, ну и в конце концов доказал, что композиция - тоже гомоморфизм. Надо было это делать? Я считаю, что нет. Группы - это то же самое, что и группоиды с одним объектом (группоидами называют категории, где все стрелки обратимы). А гомоморфизмы групп = функторы между этими группоидами. Композиция двух функторов - это тоже функтор. И этот факт поинтереснее, чем композиция каких-то там гомоморфизмов групп. Вот и все, получили искомое доказательство.

Я специально начал с этого примера, чтобы показать, в насколько примитивных ситуациях теория категорий умудряется работать.

И таких примеров миллион.

Винберг, например, в пятом параграфе первой главы строил классы вычетов, на мой взгляд, крайне плохим способом. Он брал $\mathbb Z$, рассматривал на нем понятно какое отношение эквивалентности, затем надо было доказать, что фактормножество по этому отношению является коммутативным, ассоциативным кольцом с единицей. Т.е. доказать 4 для абелевой группы + 1 дистрибутивность + 3 для умножения (коммутативность, ассоциативность и единица) утверждений, хотя делать это совершенно необязательно. Всего лишь достаточно вспомнить, что при конгруэнции факторсистема наследует все алгебраические свойства первоначальной системы (в данном случае $\mathbb Z$) и все. 8 утверждений доказывать не обязательно.

Еще можно отметить просто массу теорем из линейно алгебры про матрицы, которые доказываются гораздо проще, если знать про их связь с линейными операторами. Ну, допустим, теорема о том, что множество решений СЛАУ суть сумма какого-то ее решения + пространства решений однородной СЛАУ с той же матрицей коэффициентов. Винберг как-то это доказывает, хотя очевидно, что матрица коэффициентов СЛАУ - суть матрица линейного оператора, который понятно каким образом связан с этой СЛАУ. А множество решений СЛАУ - суть элемент факторпространства этого линейного оператора. Ну и по теореме о гомоморфизме понятно, что этот класс образуется как сумма любого его элемента и ядра (которое в точности - пространство решений однородной СЛАУ). Упрощение колоссальное. Но самое главное, что видна природа этого кусочка математики - главное здесь в том, что категория матриц с умножением изоморфна категории конечномерных векторных пространств с композицией линейных операторов.

Что касается всех этих геометрических структур, нормы, углов, евклидовых пространств. Вот есть 3 аксиомы в определении нормы. Почему взяли именно такие? Непонятно. Естественная аксиома там - это только линейность по умножению. Гораздо логичнее было бы требовать равенство норм у равных направленных отрезков, но в общепринятом определении нормы этого нету. Ладно норма. Скалярное произведение - совсем край. Зачем симметричность? Причем там билинейность? Почему так обязательна положительная определенность. Может быть я такой один, но для меня это определение совершенно не выглядит естественным.

А вот то, что евклидовы пространства собираются в категорию (стрелки - ортогональные преобразования) - важно. Если рассмотреть 2 функтора в векторные пространства (один ковариантный забывающий, другой контраваринатый - переход к двойственному), то соответствие между элементом и функцией, порожденной скалярным произведением с этим элементом (т.е. функция $E \to E^{*}$) окажется компонентой диестественного преобразования между этими двумя функторами. Это показывает, что каждое евклидово пространство естественно изоморфно своему двойственному.

Возможно, изоморфизм евклидовых пространств одной размерности и естественный изоморфизм с двойственным - факты гораздо более фундаментальные, чем эти аксиомы из определения. В конце концов, если посмотреть с этой точки зрения, становится очевидными, что без билинейности ничего бы не работало. Я это имел в виду, когда говорил, что ситуация на самом деле довольно интересная и глубокая.

[mihaild]

Vladimir Pliassov, я довольно сильно удивлюсь, если Вы из примеров EminentVictorians что-то поймете, и уверен, что Вам это и не нужно.

EminentVictorians в сообщении #1577866 писал(а):

группоиды с одним объектом (группоидами называют категории, где все стрелки обратимы)

Если вы думаете, что ваше пояснение что-то поясняет, то вы ошибаетесь:)

EminentVictorians в сообщении #1577866 писал(а):

А гомоморфизмы групп = функторы между этими группоидами. Композиция двух функторов - это тоже функтор. И этот факт поинтереснее, чем композиция каких-то там гомоморфизмов групп.

Я в этом совсем не уверен. Размазали исходную теорему по двум - что гомоморфизмы это функторы, и что композиция функторов - функтор. Причем доказательство того, что композиция функторов - функтор, отличается от доказательства того, что композиция гомоморфизмов - гомоморфизм - только семантикой значков, даже сами значки можно те же.

EminentVictorians в сообщении #1577866 писал(а):

Всего лишь достаточно вспомнить, что при конгруэнции факторсистема наследует все алгебраические свойства первоначальной системы (в данном случае $\mathbb Z$) и все.

Поскольку сохранение операций - это определение конгруэенции, то теперь надо доказывать, что сравнимость по модулю - это конгруэнция.
В общем ИМХО тут можно перефразировать Арнольда - теория категорий имеет те же преимущества, что воровство перед честным трудом.

-- 19.01.2023, 02:34 --

(На всякий случай уточню: у меня нет никаких содержательных претензий к абстрактной чепухе, хотя я считаю её репутацию несколько раздутой, но только недавно познакомившемуся с формальным определением функции яеловеку она очень вряд ли нужна)

[EminentVictorians]

mihaild в сообщении #1577869 писал(а):

Размазали исходную теорему по двум - что гомоморфизмы это функторы, и что композиция функторов - функтор.

Да. Просто я то считаю, что это хорошо)) Конечно, именно здесь экономии мысли было не очень много. Но я ведь специально привел максимально примитивный пример - в нем и так экономить нечего. Пример скорее о пластичности теории категорий, нежели о каком-то содержательном упрощении.

mihaild в сообщении #1577869 писал(а):

Поскольку сохранение операций - это определение конгруэенции, то теперь надо доказывать, что сравнимость по модулю - это конгруэнция.

А это и так придется доказывать, когда надо будет определять операции в кольцах вычетов и доказывать их корректность. А теорема о конгруэнции красивая сама по себе.

Примеров, где мысль реально экономится - не мало. Ну например, если есть 2 модуля над коммутативным кольцом, то явно строить их тензорное произведение не обязательно - можно в несколько строчек косвенно доказать его существование. Но это совсем классика. Мне кажется, экономится гораздо больше калорий, когда мы как-нибудь в пару шагов доказываем эквивалентность каких-нибудь категорий, а потом просто переносим утверждения из одной в другую.

[mihaild]

EminentVictorians в сообщении #1577901 писал(а):

А это и так придется доазывать, когда надо будет определять операции в кольцах вычетов и доказывать их корректность.

Ну так ровно это и надо доказывать. Просто Винберг говорит "докажем, что сравнимость по модулю согласована с операциями", а вы "докажем, что сравнимость по модулю является конгруэнцией". Никакой разницы, кроме введения термина, нет.

EminentVictorians в сообщении #1577901 писал(а):

А теорема о конгруэнции красивая сама по себе

Дайте угадаю: вы хотите школьникам китайскую теорему об остатках как её частный случай рассказывать?

[EminentVictorians]

mihaild в сообщении #1577903 писал(а):

Ну так ровно это и надо доказывать. Просто Винберг говорит "докажем, что сравнимость по модулю согласована с операциями", а вы "докажем, что сравнимость по модулю является конгруэнцией". Никакой разницы, кроме введения термина, нет.

Не совсем. Из согласованности сравнимости по модулю с операциями в $\mathbb Z$ не следует, что факторсистема будет коммутативным ассоциативным кольцом с единицей. Согласованность = конгруэнция, это да. Но теорема о конгруэнции говорит о большем. Если ее не знать, придется доказывать выполнимость 8-ми аксиом для факторсистемы вручную.

mihaild в сообщении #1577903 писал(а):

Дайте угадаю: вы хотите школьникам китайскую теорему об остатках как её частный случай рассказывать?

Этим пусть преподаватели занимаются, им виднее. Я говорю лишь про наиболее естественную и простую структуру теории.

[EminentVictorians]

mihaild в сообщении #1577938 писал(а):

Так, а про какую речь?

Фиксируем $n$. Рассмотрим отношение на $\mathbb Z$. Будем говорить, что $a$ находится в отношении с $b$ если остаток от деления $a$ на $n$ совпадает с остатком от деления $b$ на $n$. Это отношение эквивалентности, оно порождает разбиение $\mathbb Z$ на классы эквивалентности (вычеты по модулю $n$). Операции в $\mathbb Z$ согласованы с этим отношением эквивалентности, значит можно определить понятно каким образом операции на фактормножестве. Другими словами, у нас есть конгруэнция (на $\mathbb Z$).

Мы на данный момент имеем фактормножество с 2-мя корректно определенными на нем операциями (сложения и умножения). Мы ведь не знаем, что оно является коммутативным ассоциативным кольцом с единицей. Это надо доказать. Для этого надо вручную доказать выполнение 8-ми аксиом. А если знать теорему о конгруэнции (которая утверждает, что факторсистема наследует свойства первоначальной системы), то можно этого не делать. $\mathbb Z$ ведь является коммутативным ассоциативным кольцом с единицей, значит и факторсистема тоже будет являться.

[mihaild]

EminentVictorians в сообщении #1577949 писал(а):

А если знать теорему о конгруэнции (которая утверждает, что факторсистема наследует свойства первоначальной системы)

А, я про другую теорему думал. Ну в такой формулировке нам по сути надо сказать, что наши аксиомы - это свойства, на которые распространяется теорема о конгруэнции. Что примерно эквивалентно по сложности их проверке для факторсистемы.

[EminentVictorians]

mihaild в сообщении #1577955 писал(а):

Ну в такой формулировке нам по сути надо сказать, что наши аксиомы - это свойства, на которые распространяется теорема о конгруэнции. Что примерно эквивалентно по сложности их проверке для факторсистемы

Теорема о конгруэнции говорит о том, что факторсистема с операциями, индуцированными с первоначальной системы, сохраняет алгебраические свойства этой первоначальной системы. Наша факторсистема такая и есть: мы определили в ней операции индуцированием с протосистемы ($\mathbb Z$). Это значит, теорему о конгруэнции можно смело применять и ничего доказывать не надо.

[mihaild]

EminentVictorians в сообщении #1578004 писал(а):

Это значит, теорему о конгруэнции можно смело применять и ничего доказывать не надо.

Надо про каждое свойство проговорить, что оно алгебраическое.

[EminentVictorians]

mihaild в сообщении #1578006 писал(а):

Надо про каждое свойство проговорить, что оно алгебраическое.

Я точно не помню, но она вроде бы из общей теоремы о гомоморфизме доказывается. Мы же не сомневаемся, что все алгебраические свойства (в терминах операций, входящих в гомоморфизм) совпадают между образом гомоморфизма и фактором по его ядру. Вот там та же петрушка: пока операции в факторсистеме - индуцированные с протосистемы, все алгебраические свойства совпадают.

Я понимаю, что по-хорошему, чтобы говорить об алгебраических свойствах, надо вводить формальную систему, формальные аксиомы и все эти матлогические примочки. Я могу задать вопрос: пусть Вам даны две изоморфные алгебраические системы. Согласны ли Вы, что все их алгебраические свойства (выраженные в терминах операций, входящих в изоморфизм) совпадают? Мне кажется, у Вас есть всего лишь 2 варианта ответа. Либо согласиться, либо запросить строгое определение "всех свойств". В первом случае Вы принимаете этот факт за очевидный, во втором случае надо вводить матлогику. Так что теорема о конгруэнции работает, грубо говоря, по модулю вот этого неявного предположения, что все алгебраические свойства изоморфных систем совпадают.

[mihaild]

EminentVictorians, так, у меня впечатление, что мы всё же о разном говорим. Можете, пожалуйста, процитировать или дать ссылку на точную формулировку теоремы?

[EminentVictorians]

mihaild в сообщении #1578011 писал(а):

Можете, пожалуйста, процитировать или дать ссылку на точную формулировку теоремы?

Я эту теорему понимаю так. Пусть дана алгебраическая система $A$ с некоторой конгруэнцией на ней (т.е. отношением эквивалентности, согласованным с операциями). Тогда корректно определена факторсистема и она сохраняет все свойства первоначальной системы типа коммутативности, ассоциативности, нейтрального элемента и т.д.

К сожалению, не помню точное место, где я ее прочитал. Был уверен, что у Мальцева (Алгебраические системы). Там как раз есть пункт про конгруэнции (стр. 60). Теорему о том, что все гомоморфные образы совпадают с точностью до изоморфизма с факторсистемами вижу. А эту нет. В целом, все, что я знаю про конгруэнции, я знаю из Мальцева. Я постараюсь найти, наиболее вероятно она где-то там.

-- 20.01.2023, 13:09 --

Кстати, есть же теорема, что если есть 2 системы и есть гомоморфизм из одной в другую, то образ гомоморфизма будет подсистемой второй системы. А подсистема наследует все свойства типа коммутативности, ассоциативности и т.д. Вот и получаем, что факторсистемы - это в точности гомоморфные образы, а гомоморфные образы наследуют свойства как подсистемы. Она вроде бы как-то так и доказывалась.

[mihaild]

EminentVictorians в сообщении #1578049 писал(а):

Тогда корректно определена факторсистема и она сохраняет все свойства первоначальной системы типа коммутативности, ассоциативности, нейтрального элемента и т.д.

Вот тут нужно очень аккуратно говорить про "все свойства". Потому что, например, наличие делителей нуля или количество корней многочлена не сохраняется. И нам точно нужно четко сказать, чем наличие единицы отличается от наличия делителей нуля.

[EminentVictorians]

mihaild в сообщении #1578054 писал(а):

Вот тут нужно очень аккуратно говорить про "все свойства". Потому что, например, наличие делителей нуля или количество корней многочлена не сохраняется. И нам точно нужно четко сказать, чем наличие единицы отличается от наличия делителей нуля.

Да, я согласен. Из доказательства видно, что речь о свойствах, сохраняющихся при переходе к подсистеме. Коммутативность и так далее проходят. Вот сейчас я думаю точно все правильно.

-- 20.01.2023, 13:27 --

mihaild в сообщении #1578054 писал(а):

чем наличие единицы отличается от наличия делителей нуля.

Сохраняется при переходе к подсистеме.

[EminentVictorians]

mihaild в сообщении #1578061 писал(а):

у кольца с единицей может легко быть подкольцо без единицы.

При строгом определении кольцо с единицей и кольцо без единицы - разные системы. Если взять кольцо с единицей, то любая его подсистема (в строгом ее определении) обязана единицу сохранять. Единица - это нульарная операция, а подсистема должна быть замкнута относительно всех операций.

mihaild в сообщении #1578061 писал(а):

Зато у кольца с единицей не может быть фактора без единицы.

В свете написанного выше - понятно почему.

Про отсутствие делителей нуля тоже согласуется. Это свойство же переходит к подсистемам, значит все в порядке.