Отношение эквивалентности

[Geen]

Vladimir Pliassov в сообщении #1577690 писал(а):

евклидово пространство это естественное пространство, в котором мы живем

Неа, мы живём в псевдоримановом дифференцируемом многообразии....

[Vladimir Pliassov]

Geen в сообщении #1577693 писал(а):

Неа, мы живём в псевдоримановом дифференцируемом многообразии....

Под евклидовым пространством я имею в виду пространство, в котором выполняются аксиомы Евклида, и я думал, что мы в нем и живем. Нет?

[Geen]

Vladimir Pliassov в сообщении #1577694 писал(а):

мы в нем и живем.

Нет, конечно. Но, не в этом суть - где в аксиомах Евклида говорится о векторах и скалярных произведениях?

[krum]

Geen в сообщении #1577693 писал(а):

Неа, мы живём в псевдоримановом дифференцируемом многообразии....

и какое это имеет отношение, так сказать?

[Vladimir Pliassov]

Geen в сообщении #1577820 писал(а):

где в аксиомах Евклида говорится о векторах и скалярных произведениях?

Я посмотрел: не только в аксиомах Евклида, но и в аксиомах Гильберта о них ничего не говорится. Вы имеете в виду, что евклидово пространство это не то, которое изучается в школьной геометрии?

[krum]

система аксиом Евклида из школьного учебника эквивалентна определению линейного пространства $\mathbb{R}^3$ с добавленным к нему определением скалярного произведения

[mihaild]

Geen в сообщении #1577820 писал(а):

Но, не в этом суть - где в аксиомах Евклида говорится о векторах и скалярных произведениях?

Вы про евклидово пространство, или прямо про оригинальные аксиомы Евклида (которые предельно мутные и которых не хватает)? Если первое, то

Винберг, Курс алгебры, 2001г., стр. 202 писал(а):

Евклидовым пространством называется вещественное векторное пространство с фиксированной положительно определенной симметрической билинейной функцией.
Обычно эта фиксированная билинейная функция называется скалярным умножением

А второе ИМХО стоит оставить историкам.

[Vladimir Pliassov]

Спасибо! Но мы ведь живем в школьной геометрии? Или имеется в виду теория относительности? О ней я как-то забыл.

[krum]

Мы не живем в математических моделях. Мы их используем для решения задач

[Geen]

Vladimir Pliassov в сообщении #1577825 писал(а):

Вы имеете в виду, что евклидово пространство это не то, которое изучается в школьной геометрии?

Смотря о чём идёт речь. Если о геометрии, то то. Но в геометрии речь идёт о точках и прямых (ну и плоскостях, иногда). И вектора в ней не нужны совсем.

krum в сообщении #1577827 писал(а):

система аксиом Евклида из школьного учебника эквивалентна определению линейного пространства...

О, мы снова вернулись к эквивалентностям!

[Vladimir Pliassov]

krum в сообщении #1577834 писал(а):

Мы не живем в математических моделях. Мы их используем для решения задач

Да, конечно. Я имею в виду, что наш материальный мир по своим внешним формам может ведь быть описан при помощи школьной геометрии (если не залетать слишком далеко от Земли и не углубляться чрезмерно в строение вещества)?

Geen в сообщении #1577836 писал(а):

Но в геометрии речь идёт о точках и прямых (ну и плоскостях, иногда). И вектора в ней не нужны совсем.

Да, наверное, если не смотреть на геометрическое пространство с точки зрения векторного.

-- 18.01.2023, 22:17 --

Geen в сообщении #1577836 писал(а):

О, мы снова вернулись к эквивалентностям!

А вот, кстати, теорема Рамсея.

Цитата:

Конечный вариант этого утверждения — о том, что среди любых шести людей есть либо три попарно знакомых, либо три попарно незнакомых, — известная задача для школьников.

https://www.mccme.ru/free-books/shen/sh ... art1-2.pdf, стр. 43

Я не очень хорошо понимаю, о чем тут говорится: возьмем первых троих, и каждый из них может быть знаком (или незнаком) с остальными из этой тройки? А зачем тогда еще трое?

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1577842 писал(а):

Я не очень хорошо понимаю, о чем тут говорится: возьмем первых троих, и каждый из них может быть знаком (или незнаком) с остальными из этой тройки?

А вдруг первый знаком со вторым, но не с третьим?

[EminentVictorians]

Vladimir Pliassov, "пространство школьной геометрии" - это $\mathbb R^3$. Вполне конкретное пространство с конкретным скалярным произведением.

Евклидово пространство же определяется аксиоматически. Но "школьное трехмерное пространство" действительно является евклидовым.

Красота в том, что в данной размерности $n$ все евклидовы пространства изоморфны (и это, насколько я понимаю, факт более глубокий, чем кажется на первый взгляд). Поэтому, любое трехмерное евклидово пространство изоморфно $\mathbb R^3$ с обычным скалярным произведением.

[krum]

EminentVictorians в сообщении #1577850 писал(а):

Вполне конкретное пространство с конкретным скалярным произведением.

ну, точнее говоря, скалярное произведение станет конкретным после того, как мы выберем его из континума штук скалярных произведений.

Кстати, а не подскажете, какова размерность многообразия скалярных произведений в $\mathbb{R}^3$?

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1577849 писал(а):

А вдруг первый знаком со вторым, но не с третьим?

Каждый участник либо знаком с кем-нибудь из остальных и тогда идет налево, либо не знаком ни с кем и тогда идет направо. Либо слева, либо справа окажется не меньше трех человек, каждый из которых, соответственно, либо знаком с кем-то, либо не знаком ни с кем, то есть выявится по крайней мере три пары знакомых, либо три пары незнакомых.

EminentVictorians в сообщении #1577850 писал(а):

Красота в том, что в данной размерности $n$ все евклидовы пространства изоморфны (и это, насколько я понимаю, факт более глубокий, чем кажется на первый взгляд).

Что Вы имеете в виду под тем, что это факт более глубокий, чем кажется на первый взгляд?