2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Теория категорий применительно к алгебре и геометрии
Сообщение19.01.2023, 02:16 


22/10/20
1061
 i  Ende
Выделено из темы «Отношение эквивалентности»

Vladimir Pliassov в сообщении #1577855 писал(а):
Что Вы имеете в виду под тем, что это факт более глубокий, чем кажется на первый взгляд?
Я поделюсь своим представлением, просто имейте в виду, что я, как и Вы, тоже нахожусь в процессе обучения, поэтому не факт, что я прав. К тому же у меня слегка специфический взгляд на математику, так что читайте на свой страх и риск))

Я сам год назад изучал алгебру, и мне понятна природа многих Ваших затруднений (т.к. я сам сталкивался с многими из них).

Мой основной тезис в том, что, возможно, не стоит сильно серьезно относиться к той структуре определений и теорем, которые Вы видите в учебнике алгебры. Просто выглядит так, что Вы крайне скурпулезно изучаете математику, вот я и решил написать - вдруг сообщу хорошую новость (о том, что скурпулезность может быть и не обязательна).

Приведу пару примеров. Я помню, как я читал первый или второй параграф у Винберга. Ну и там была теорема о том, что композиция гомоморфизмов групп - тоже гомоморфизм. Я ее честно доказал: рассмотрел композицию, взял произвольную пару элементов из первой группы, написал эту строчку, в которой надо пользоваться промежуточными гомоморфизмами, ну и в конце концов доказал, что композиция - тоже гомоморфизм. Надо было это делать? Я считаю, что нет. Группы - это то же самое, что и группоиды с одним объектом (группоидами называют категории, где все стрелки обратимы). А гомоморфизмы групп = функторы между этими группоидами. Композиция двух функторов - это тоже функтор. И этот факт поинтереснее, чем композиция каких-то там гомоморфизмов групп. Вот и все, получили искомое доказательство.

Я специально начал с этого примера, чтобы показать, в насколько примитивных ситуациях теория категорий умудряется работать.

И таких примеров миллион.

Винберг, например, в пятом параграфе первой главы строил классы вычетов, на мой взгляд, крайне плохим способом. Он брал $\mathbb Z$, рассматривал на нем понятно какое отношение эквивалентности, затем надо было доказать, что фактормножество по этому отношению является коммутативным, ассоциативным кольцом с единицей. Т.е. доказать 4 для абелевой группы + 1 дистрибутивность + 3 для умножения (коммутативность, ассоциативность и единица) утверждений, хотя делать это совершенно необязательно. Всего лишь достаточно вспомнить, что при конгруэнции факторсистема наследует все алгебраические свойства первоначальной системы (в данном случае $\mathbb Z$) и все. 8 утверждений доказывать не обязательно.

Еще можно отметить просто массу теорем из линейно алгебры про матрицы, которые доказываются гораздо проще, если знать про их связь с линейными операторами. Ну, допустим, теорема о том, что множество решений СЛАУ суть сумма какого-то ее решения + пространства решений однородной СЛАУ с той же матрицей коэффициентов. Винберг как-то это доказывает, хотя очевидно, что матрица коэффициентов СЛАУ - суть матрица линейного оператора, который понятно каким образом связан с этой СЛАУ. А множество решений СЛАУ - суть элемент факторпространства этого линейного оператора. Ну и по теореме о гомоморфизме понятно, что этот класс образуется как сумма любого его элемента и ядра (которое в точности - пространство решений однородной СЛАУ). Упрощение колоссальное. Но самое главное, что видна природа этого кусочка математики - главное здесь в том, что категория матриц с умножением изоморфна категории конечномерных векторных пространств с композицией линейных операторов.

Что касается всех этих геометрических структур, нормы, углов, евклидовых пространств. Вот есть 3 аксиомы в определении нормы. Почему взяли именно такие? Непонятно. Естественная аксиома там - это только линейность по умножению. Гораздо логичнее было бы требовать равенство норм у равных направленных отрезков, но в общепринятом определении нормы этого нету. Ладно норма. Скалярное произведение - совсем край. Зачем симметричность? Причем там билинейность? Почему так обязательна положительная определенность. Может быть я такой один, но для меня это определение совершенно не выглядит естественным.

А вот то, что евклидовы пространства собираются в категорию (стрелки - ортогональные преобразования) - важно. Если рассмотреть 2 функтора в векторные пространства (один ковариантный забывающий, другой контраваринатый - переход к двойственному), то соответствие между элементом и функцией, порожденной скалярным произведением с этим элементом (т.е. функция $E \to E^{*}$) окажется компонентой диестественного преобразования между этими двумя функторами. Это показывает, что каждое евклидово пространство естественно изоморфно своему двойственному.

Возможно, изоморфизм евклидовых пространств одной размерности и естественный изоморфизм с двойственным - факты гораздо более фундаментальные, чем эти аксиомы из определения. В конце концов, если посмотреть с этой точки зрения, становится очевидными, что без билинейности ничего бы не работало. Я это имел в виду, когда говорил, что ситуация на самом деле довольно интересная и глубокая.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение эквивалентности
Сообщение19.01.2023, 04:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8451
Цюрих
Vladimir Pliassov, я довольно сильно удивлюсь, если Вы из примеров EminentVictorians что-то поймете, и уверен, что Вам это и не нужно.

EminentVictorians в сообщении #1577866 писал(а):
группоиды с одним объектом (группоидами называют категории, где все стрелки обратимы)
Если вы думаете, что ваше пояснение что-то поясняет, то вы ошибаетесь:)
EminentVictorians в сообщении #1577866 писал(а):
А гомоморфизмы групп = функторы между этими группоидами. Композиция двух функторов - это тоже функтор. И этот факт поинтереснее, чем композиция каких-то там гомоморфизмов групп.
Я в этом совсем не уверен. Размазали исходную теорему по двум - что гомоморфизмы это функторы, и что композиция функторов - функтор. Причем доказательство того, что композиция функторов - функтор, отличается от доказательства того, что композиция гомоморфизмов - гомоморфизм - только семантикой значков, даже сами значки можно те же.
EminentVictorians в сообщении #1577866 писал(а):
Всего лишь достаточно вспомнить, что при конгруэнции факторсистема наследует все алгебраические свойства первоначальной системы (в данном случае $\mathbb Z$) и все.
Поскольку сохранение операций - это определение конгруэенции, то теперь надо доказывать, что сравнимость по модулю - это конгруэнция.
В общем ИМХО тут можно перефразировать Арнольда - теория категорий имеет те же преимущества, что воровство перед честным трудом.

-- 19.01.2023, 02:34 --

(На всякий случай уточню: у меня нет никаких содержательных претензий к абстрактной чепухе, хотя я считаю её репутацию несколько раздутой, но только недавно познакомившемуся с формальным определением функции яеловеку она очень вряд ли нужна)

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение эквивалентности
Сообщение19.01.2023, 12:15 


22/10/20
1061
mihaild в сообщении #1577869 писал(а):
Размазали исходную теорему по двум - что гомоморфизмы это функторы, и что композиция функторов - функтор.
Да. Просто я то считаю, что это хорошо)) Конечно, именно здесь экономии мысли было не очень много. Но я ведь специально привел максимально примитивный пример - в нем и так экономить нечего. Пример скорее о пластичности теории категорий, нежели о каком-то содержательном упрощении.
mihaild в сообщении #1577869 писал(а):
Поскольку сохранение операций - это определение конгруэенции, то теперь надо доказывать, что сравнимость по модулю - это конгруэнция.
А это и так придется доказывать, когда надо будет определять операции в кольцах вычетов и доказывать их корректность. А теорема о конгруэнции красивая сама по себе.

Примеров, где мысль реально экономится - не мало. Ну например, если есть 2 модуля над коммутативным кольцом, то явно строить их тензорное произведение не обязательно - можно в несколько строчек косвенно доказать его существование. Но это совсем классика. Мне кажется, экономится гораздо больше калорий, когда мы как-нибудь в пару шагов доказываем эквивалентность каких-нибудь категорий, а потом просто переносим утверждения из одной в другую.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение эквивалентности
Сообщение19.01.2023, 12:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8451
Цюрих
EminentVictorians в сообщении #1577901 писал(а):
А это и так придется доазывать, когда надо будет определять операции в кольцах вычетов и доказывать их корректность.
Ну так ровно это и надо доказывать. Просто Винберг говорит "докажем, что сравнимость по модулю согласована с операциями", а вы "докажем, что сравнимость по модулю является конгруэнцией". Никакой разницы, кроме введения термина, нет.
EminentVictorians в сообщении #1577901 писал(а):
А теорема о конгруэнции красивая сама по себе
Дайте угадаю: вы хотите школьникам китайскую теорему об остатках как её частный случай рассказывать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение эквивалентности
Сообщение19.01.2023, 13:17 


22/10/20
1061
mihaild в сообщении #1577903 писал(а):
Ну так ровно это и надо доказывать. Просто Винберг говорит "докажем, что сравнимость по модулю согласована с операциями", а вы "докажем, что сравнимость по модулю является конгруэнцией". Никакой разницы, кроме введения термина, нет.
Не совсем. Из согласованности сравнимости по модулю с операциями в $\mathbb Z$ не следует, что факторсистема будет коммутативным ассоциативным кольцом с единицей. Согласованность = конгруэнция, это да. Но теорема о конгруэнции говорит о большем. Если ее не знать, придется доказывать выполнимость 8-ми аксиом для факторсистемы вручную.

mihaild в сообщении #1577903 писал(а):
Дайте угадаю: вы хотите школьникам китайскую теорему об остатках как её частный случай рассказывать?
Этим пусть преподаватели занимаются, им виднее. Я говорю лишь про наиболее естественную и простую структуру теории.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение эквивалентности
Сообщение19.01.2023, 19:14 


22/10/20
1061
mihaild в сообщении #1577938 писал(а):
Так, а про какую речь?
Фиксируем $n$. Рассмотрим отношение на $\mathbb Z$. Будем говорить, что $a$ находится в отношении с $b$ если остаток от деления $a$ на $n$ совпадает с остатком от деления $b$ на $n$. Это отношение эквивалентности, оно порождает разбиение $\mathbb Z$ на классы эквивалентности (вычеты по модулю $n$). Операции в $\mathbb Z$ согласованы с этим отношением эквивалентности, значит можно определить понятно каким образом операции на фактормножестве. Другими словами, у нас есть конгруэнция (на $\mathbb Z$).

Мы на данный момент имеем фактормножество с 2-мя корректно определенными на нем операциями (сложения и умножения). Мы ведь не знаем, что оно является коммутативным ассоциативным кольцом с единицей. Это надо доказать. Для этого надо вручную доказать выполнение 8-ми аксиом. А если знать теорему о конгруэнции (которая утверждает, что факторсистема наследует свойства первоначальной системы), то можно этого не делать. $\mathbb Z$ ведь является коммутативным ассоциативным кольцом с единицей, значит и факторсистема тоже будет являться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение эквивалентности
Сообщение19.01.2023, 19:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8451
Цюрих
EminentVictorians в сообщении #1577949 писал(а):
А если знать теорему о конгруэнции (которая утверждает, что факторсистема наследует свойства первоначальной системы)
А, я про другую теорему думал. Ну в такой формулировке нам по сути надо сказать, что наши аксиомы - это свойства, на которые распространяется теорема о конгруэнции. Что примерно эквивалентно по сложности их проверке для факторсистемы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение эквивалентности
Сообщение20.01.2023, 00:41 


22/10/20
1061
mihaild в сообщении #1577955 писал(а):
Ну в такой формулировке нам по сути надо сказать, что наши аксиомы - это свойства, на которые распространяется теорема о конгруэнции. Что примерно эквивалентно по сложности их проверке для факторсистемы
Теорема о конгруэнции говорит о том, что факторсистема с операциями, индуцированными с первоначальной системы, сохраняет алгебраические свойства этой первоначальной системы. Наша факторсистема такая и есть: мы определили в ней операции индуцированием с протосистемы ($\mathbb Z$). Это значит, теорему о конгруэнции можно смело применять и ничего доказывать не надо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение эквивалентности
Сообщение20.01.2023, 00:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8451
Цюрих
EminentVictorians в сообщении #1578004 писал(а):
Это значит, теорему о конгруэнции можно смело применять и ничего доказывать не надо.
Надо про каждое свойство проговорить, что оно алгебраическое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение эквивалентности
Сообщение20.01.2023, 01:13 


22/10/20
1061
mihaild в сообщении #1578006 писал(а):
Надо про каждое свойство проговорить, что оно алгебраическое.
Я точно не помню, но она вроде бы из общей теоремы о гомоморфизме доказывается. Мы же не сомневаемся, что все алгебраические свойства (в терминах операций, входящих в гомоморфизм) совпадают между образом гомоморфизма и фактором по его ядру. Вот там та же петрушка: пока операции в факторсистеме - индуцированные с протосистемы, все алгебраические свойства совпадают.

Я понимаю, что по-хорошему, чтобы говорить об алгебраических свойствах, надо вводить формальную систему, формальные аксиомы и все эти матлогические примочки. Я могу задать вопрос: пусть Вам даны две изоморфные алгебраические системы. Согласны ли Вы, что все их алгебраические свойства (выраженные в терминах операций, входящих в изоморфизм) совпадают? Мне кажется, у Вас есть всего лишь 2 варианта ответа. Либо согласиться, либо запросить строгое определение "всех свойств". В первом случае Вы принимаете этот факт за очевидный, во втором случае надо вводить матлогику. Так что теорема о конгруэнции работает, грубо говоря, по модулю вот этого неявного предположения, что все алгебраические свойства изоморфных систем совпадают.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение эквивалентности
Сообщение20.01.2023, 04:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8451
Цюрих
EminentVictorians, так, у меня впечатление, что мы всё же о разном говорим. Можете, пожалуйста, процитировать или дать ссылку на точную формулировку теоремы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение эквивалентности
Сообщение20.01.2023, 13:02 


22/10/20
1061
mihaild в сообщении #1578011 писал(а):
Можете, пожалуйста, процитировать или дать ссылку на точную формулировку теоремы?
Я эту теорему понимаю так. Пусть дана алгебраическая система $A$ с некоторой конгруэнцией на ней (т.е. отношением эквивалентности, согласованным с операциями). Тогда корректно определена факторсистема и она сохраняет все свойства первоначальной системы типа коммутативности, ассоциативности, нейтрального элемента и т.д.

К сожалению, не помню точное место, где я ее прочитал. Был уверен, что у Мальцева (Алгебраические системы). Там как раз есть пункт про конгруэнции (стр. 60). Теорему о том, что все гомоморфные образы совпадают с точностью до изоморфизма с факторсистемами вижу. А эту нет. В целом, все, что я знаю про конгруэнции, я знаю из Мальцева. Я постараюсь найти, наиболее вероятно она где-то там.

-- 20.01.2023, 13:09 --

Кстати, есть же теорема, что если есть 2 системы и есть гомоморфизм из одной в другую, то образ гомоморфизма будет подсистемой второй системы. А подсистема наследует все свойства типа коммутативности, ассоциативности и т.д. Вот и получаем, что факторсистемы - это в точности гомоморфные образы, а гомоморфные образы наследуют свойства как подсистемы. Она вроде бы как-то так и доказывалась.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение эквивалентности
Сообщение20.01.2023, 13:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8451
Цюрих
EminentVictorians в сообщении #1578049 писал(а):
Тогда корректно определена факторсистема и она сохраняет все свойства первоначальной системы типа коммутативности, ассоциативности, нейтрального элемента и т.д.
Вот тут нужно очень аккуратно говорить про "все свойства". Потому что, например, наличие делителей нуля или количество корней многочлена не сохраняется. И нам точно нужно четко сказать, чем наличие единицы отличается от наличия делителей нуля.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение эквивалентности
Сообщение20.01.2023, 13:26 


22/10/20
1061
mihaild в сообщении #1578054 писал(а):
Вот тут нужно очень аккуратно говорить про "все свойства". Потому что, например, наличие делителей нуля или количество корней многочлена не сохраняется. И нам точно нужно четко сказать, чем наличие единицы отличается от наличия делителей нуля.
Да, я согласен. Из доказательства видно, что речь о свойствах, сохраняющихся при переходе к подсистеме. Коммутативность и так далее проходят. Вот сейчас я думаю точно все правильно.

-- 20.01.2023, 13:27 --

mihaild в сообщении #1578054 писал(а):
чем наличие единицы отличается от наличия делителей нуля.
Сохраняется при переходе к подсистеме.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение эквивалентности
Сообщение20.01.2023, 13:41 


22/10/20
1061
mihaild в сообщении #1578061 писал(а):
у кольца с единицей может легко быть подкольцо без единицы.
При строгом определении кольцо с единицей и кольцо без единицы - разные системы. Если взять кольцо с единицей, то любая его подсистема (в строгом ее определении) обязана единицу сохранять. Единица - это нульарная операция, а подсистема должна быть замкнута относительно всех операций.

mihaild в сообщении #1578061 писал(а):
Зато у кольца с единицей не может быть фактора без единицы.
В свете написанного выше - понятно почему.

Про отсутствие делителей нуля тоже согласуется. Это свойство же переходит к подсистемам, значит все в порядке.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group