Отношение эквивалентности

[Geen]

Vladimir Pliassov в сообщении #1577842 писал(а):

смотреть на геометрическое пространство с точки зрения векторного

В таком виде эта фраза бессмысленна.

[krum]

Vladimir Pliassov в сообщении #1577855 писал(а):

Что Вы имеете в виду под тем, что это факт более глубокий, чем кажется на первый взгляд?

ну, факт того, что положительно определенную квадратичную форму можно привести к сумме квадратов путем выделения полных квадратов, некоторым кажется более глубоким, чем это кажется на первый взгляд

[Geen]

Vladimir Pliassov в сообщении #1577855 писал(а):

каждый из которых, соответственно, либо знаком с кем-то

Не это требуется. Вот есть три пары знакомых - все они "идут налево", но среди них нет таких троих, что бы все знали всех.

[Vladimir Pliassov]

Geen в сообщении #1577858 писал(а):

Не это требуется. Вот есть три пары знакомых - все они "идут налево", но среди них нет таких троих, что бы все знали всех.

А если ситуация такая: первый знает всех, его не знает никто, второй знает всех из оставшихся, его из них не знает никто и так далее. Получится, что нет ни одной пары знакомых друг с другом, и нет ни одной пары незнакомых друг с другом.

Geen в сообщении #1577856 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1577842 писал(а):

смотреть на геометрическое пространство с точки зрения векторного

В таком виде эта фраза бессмысленна.

Если скалярное произведение неприменимо в геометрическом пространстве, то как в нем определять длины отрезков и углы между ними: сравнивая их друг с другом?

krum в сообщении #1577857 писал(а):

ну, факт того, что положительно определенную квадратичную форму можно привести к сумме квадратов путем выделения полных квадратов, некоторым кажется более глубоким, чем это кажется на первый взгляд

Это я пока еще не освоил.

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1577860 писал(а):

А если ситуация такая: первый знает всех, его не знает никто, второй знает всех из оставшихся, его из них не знает никто и так далее

Отношение считается симметричным.

Vladimir Pliassov в сообщении #1577860 писал(а):

Если скалярное произведение неприменимо в геометрическом пространстве, то как в нем определять длины отрезков и углы между ними: сравнивая их друг с другом?

Для длин есть понятие нормы, довольно хорошо обобщающее длины, получающиеся из скалярного произведения. Углы - никак.

[Geen]

Vladimir Pliassov в сообщении #1577860 писал(а):

Если скалярное произведение неприменимо в геометрическом пространстве, то как в нем определять длины отрезков и углы между ними: сравнивая их друг с другом?

Есть такая штука под названием конечная геометрия. Например, имеется ровно 4 точки и 6 прямых (образованных парами этих точек). Это полноценная геометрия... но о каких длинах и углах тут можно говорить?...

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1577861 писал(а):

Отношение считается симметричным.

Итак, задача: доказать, что "среди любых шести людей есть либо три попарно знакомых, либо три попарно незнакомых".

Пусть из этих шестерых попарно знакомы друг с другом шестеро, или пятеро, или четверо, или трое, в любом случае среди них есть, по крайней мере, трое, попарно знакомых друг с другом. Путь только двое знакомы друг с другом или никто ни с кем не знаком, тогда среди них есть, по крайней мере, трое, попарно незнакомых друг с другом.

mihaild в сообщении #1577869 писал(а):

Vladimir Pliassov, я довольно сильно удивлюсь, если Вы из примеров EminentVictorians что-то поймете, и уверен, что Вам это и не нужно.

Нет, почему? Во-первых, я понял, что можно экономить мысль, правда, у меня другая установка -- что у меня ресурсы бесконечны, и мне не нужно экономить (как я уже писал когда-то, хотя я не верю в свое бессмертие, я беру его как аксиому, потому что иначе нет смысла заниматься чем бы то ни было), во-вторых, мне очень нужно, чтобы кто-то воспринимал меня настолько всерьез, что тратил бы на меня свое время и силы (за что я очень благодарен, как я уже много раз говорил). И по существу мне полезно было прочитать то, что написал EminentVictorians, и то, что Вы ему отвечали, для обзора того, чем я сейчас занимаюсь.

EminentVictorians в сообщении #1577866 писал(а):

Винберг, например, в пятом параграфе первой главы строил классы вычетов, на мой взгляд, крайне плохим способом. Он брал $\mathbb Z$, рассматривал на нем понятно какое отношение эквивалентности, затем надо было доказать, что фактормножество по этому отношению является коммутативным, ассоциативным кольцом с единицей. Т.е. доказать 4 для абелевой группы $+$ 1 дистрибутивность $+$ 3 для умножения (коммутативность, ассоциативность и единица) утверждений, хотя делать это совершенно необязательно. Всего лишь достаточно вспомнить, что при конгруэнции факторсистема наследует все алгебраические свойства первоначальной системы (в данном случае $\mathbb Z$) и все. 8 утверждений доказывать не обязательно.

Я понимаю, что желательно найти как можно более короткое и простое доказательство, но я думаю, что полезно для собственного развития найти все, что только можно, о рассматриваемом предмете, то есть найти как можно больше доказательств, и коротких, и самых длинных.

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1577927 писал(а):

Пусть из этих шестерых попарно знакомы друг с другом шестеро, или пятеро, или четверо, или трое, в любом случае среди них есть, по крайней мере, трое, попарно знакомых друг с другом. Путь только двое знакомы друг с другом или никто ни с кем не знаком, тогда среди них есть, по крайней мере, трое, попарно незнакомых друг с другом.

А вдруг они стоят кружком, и каждый знаком с соседями слева и справа, какой из ваших сценариев этот случай охватывает?

EminentVictorians в сообщении #1577905 писал(а):

Но теорема о конгруэнции говорит о большем.

Так, а про какую речь? Что фактор по пересечению вкладывается в произведение факторов? Какая тут связь с наследованием свойств?

Vladimir Pliassov в сообщении #1577927 писал(а):

правда, у меня другая установка -- что у меня ресурсы бесконечны, и мне не нужно экономить

Этот подход, если применять его последовательно, дает странные результаты. Например что можно начать перебирать все строки, пока не наткнетесь на доказательство гипотезы Римана.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1577938 писал(а):

А вдруг они стоят кружком, и каждый знаком с соседями слева и справа, какой из ваших сценариев этот случай охватывает?

Если знакомы друг с другом только те, кто в этом кружке стоят рядом, то такой случай меня не интересует, в каждом взятом подмножестве все элементы должны быть попарно знакомы или попарно незнакомы друг с другом.

Вообще, по-моему, эту задачу можно решать как задачу на отношения, но тогда нельзя игнорировать вопрос: знает ли каждый из шести рассматриваемых себя самого, потому что любое отношение либо рефлексивно, либо нерефлексивно (частично рефлексивно), либо иррефлексивно (совсем не рефлексивно), то есть отношение не может не иметь никакого отношения к рефлексивности, так же как не может не иметь никакого отношения к симметричности и транзитивности (правильно?).

Пусть $X= \lbrace a_0, a_1, a_2, a_3, a_4, a_5\rbrace$ - это множество этих шестерых. $X$ можно разбивать на пары непересекающихся подмножеств $A_i$ и $B_i$:

$A_0= \lbrace a_0, a_1, a_2, a_3, a_4, a_5\rbrace, \;\; B_0=\varnothing;$

$A_1= \lbrace a_0, a_1, a_2, a_3, a_4\rbrace, \;\; B_1= \lbrace a_5\rbrace;$

$A_2= \lbrace a_0, a_1, a_2, a_3, \rbrace, \;\; B_2= \lbrace a_4, a_5\rbrace;$

$A_3= \lbrace a_0, a_1, a_2,\rbrace, \;\; B_3= \lbrace a_3, a_4, a_5\rbrace;$

$A_4= \lbrace a_0, a_1,\rbrace, \;\; B_4= \lbrace a_2, a_3, a_4, a_5\rbrace;$

$A_5= \lbrace a_0,\rbrace, \;\; B_5= \lbrace a_1, a_2, a_3, a_4, a_5\rbrace;$

$ A_6=\varnothing, \;\; B_6= \lbrace a_0, a_1, a_2, a_3, a_4, a_5\rbrace.$

На каждом множестве $A_i$, кроме $A_6$, зададим отношение "быть знакомым с каждым элементом из $A_i$", а на каждом множестве $B_i$, кроме $B_0$, зададим отношение "быть незнакомым с каждым элементом из $B_i$".

По определению на каждом $A_i$ и на каждом $B_i$ заданы отношения эквивалентности (что предполагает, что в $A_i$ каждый элемент знает себя, а в $B_i$ каждый элемент себя не знает -- расстройство психики).

В каждой строке таблицы либо $A_i$, либо $B_i$ представляет собой класс эквивалентности мощности не меньше трех, то есть в любом случае число попарно знакомых или попарно незнакомых не меньше трех.

mihaild в сообщении #1577938 писал(а):

Этот подход, если применять его последовательно, дает странные результаты. Например что можно начать перебирать все строки, пока не наткнетесь на доказательство гипотезы Римана.

И к тому же, если строк до этого доказательства бесконечно много, то на него так и не наткнешься.

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1577964 писал(а):

Если знакомы друг с другом только те, кто в этом кружке стоят рядом, то такой случай меня не интересует, в каждом взятом подмножестве все элементы должны быть попарно знакомы или попарно незнакомы друг с другом.

Имелось в виду, что все шестеро стоят кружком. Первый знает второго и шестого, второй первого и третьего и т.д.

Vladimir Pliassov в сообщении #1577964 писал(а):

Вообще, по-моему, эту задачу можно решать как задачу на отношения, но тогда нельзя игнорировать вопрос: знает ли каждый из шести рассматриваемых себя самого

Можно.
В терминах отношений вопрос формулируется так: нам дано симметричное отношение на 6 элементах. Верно ли, что найдется либо тройка элементов, из которых любые два различных находятся в отношении, либо тройка элементов, из которых любые два не находятся в отношении.

Vladimir Pliassov в сообщении #1577964 писал(а):

На каждом множестве $A_i$, кроме $A_6$, зададим отношение "быть знакомым с каждым элементом из $A_i$", а на каждом множестве $B_i$, кроме $B_0$, зададим отношение "быть незнакомым с каждым элементом из $B_i$".

Непонятно. "Быть знакомым" - это просто какое-то отношение.
Вы, видимо, для каждого $i$ задаете отношение $R_i$ на $X$, это так?

Vladimir Pliassov в сообщении #1577964 писал(а):

И к тому же, если строк до этого доказательства бесконечно много, то на него так и не наткнешься.

Так не бывает. Множество строк счетно, соответственно его можно занумеровать так, что до каждой строки будет только конечное число строк. Перебирая строки по этой нумерации мы рано или поздно найдем доказательство (если оно вообще существует, конечно).

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1577974 писал(а):

Имелось в виду, что все шестеро стоят кружком. Первый знает второго и шестого, второй первого и третьего и т.д.

Эта задача решается только при помощи симметричности или с привлечением также и транзитивности? Рефлексивность тут, наверное, ни при чем, потому что задача, как сказано, детская, и вопрос, знает ли каждый из шестерых самого себя, для нее должен быть слишком философским.

[mihaild]

EminentVictorians в сообщении #1578059 писал(а):

Сохраняется при переходе к подсистеме.

Это нужно уточнять - у кольца с единицей может легко быть подкольцо без единицы. Зато у кольца с единицей не может быть фактора без единицы.
У кольца без делителей нуля нет подкольца без делителей нуля. Наличие же делителей нуля у кольца и факторкольца - в общем положении.

Vladimir Pliassov в сообщении #1578060 писал(а):

Эта задача решается только при помощи симметричности или с привлечением также и транзитивности?

Транзитивность нам никто не гарантирует.

[mihaild]

EminentVictorians в сообщении #1578068 писал(а):

Любая его подсистема (используем сейчас строгое определение подсистемы) содержит единицу

А можете его привести? Ну и мне очень сильно не нравится попытка запретить считать $2\mathbb Z$ подкольцом $\mathbb Z$.

EminentVictorians в сообщении #1578068 писал(а):

Давайте скажу по-другому: зачем рассматривать кольцо с единицей как систему вида "просто кольцо", если оно образует более сильную систему "кольцо с единицей".

Затем, что наличие единицы выражается через другие операции. А то такими темпами можно дойти до "зачем рассматривать целые числа как просто кольцо, если у них есть еще куча свойств".

EminentVictorians в сообщении #1578068 писал(а):

В факторкольце не должно быть делителей нуля.

В $\mathbb Z_4 = \mathbb Z / 4\mathbb Z$ делители нуля есть.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1577974 писал(а):

В терминах отношений вопрос формулируется так: нам дано симметричное отношение на 6 элементах. Верно ли, что найдется либо тройка элементов, из которых любые два различных находятся в отношении, либо тройка элементов, из которых любые два не находятся в отношении.

Среди этих шести либо найдутся трое, из которых все знают друг друга, либо не найдутся.

Если найдутся, то условие выполнено.

Если не найдется троих, из которых все знают друг друга, то либо найдутся двое, которые знают друг друга, либо не найдется ни одной пары знакомых. Если не найдется ни одной пары знакомых, то условие выполнено.

Если не найдется троих, попарно знакомых друг с другом, и при этом найдутся двое, знакомых друг с другом, то остальные четверо не знакомы между собой, значит, тем более найдутся трое незнакомых друг с другом.

Если задача решена, то можно ли ее решить по-другому?

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1578072 писал(а):

Если не найдется троих, попарно знакомых друг с другом, и при этом найдутся двое, знакомых друг с другом, то остальные четверо не знакомы между собой, значит, тем более найдутся трое незнакомых друг с другом.

Это неправда. Опять же, пусть все шестеро стоят в кружочке, и каждый знает своих соседей. Тогда найдутся двое, знакомых друг с другом, но среди остальных четверых есть знакомые между собой.

Вас, возможно, сбивает то, что для группы из более чем двух человек варианты "люди попарно знакомы друг с другом" и "люди попарно незнакомы друг с другом" не исчерпывают все возможные ситуации.

EminentVictorians в сообщении #1578081 писал(а):

Строгий ответ здесь, что нету такой системы, как $\mathbb Z$. Есть $(\mathbb Z, 0, +, \cdot)$ и есть $(\mathbb Z, 0, +, \cdot, 1)$ - и это 2 разные системы. $2\mathbb Z$ является подсистемой первой, но не является подсистемой второй системы.

С этим согласен.
Тем не менее, существование единицы можно выразить просто в терминах $+, \cdot$, так что разумно для произвольного кольца задавать вопрос "существует ли в нём единица". И я под "кольцом с единицей" понимал именно структуру с операциями $+, \cdot$, в которой выполнены аксиомы кольца, и еще дополнительно выполнено $\exists e \forall a: e\cdot a = a\cdot e = a$.
Тут есть нетривиальный результат: если в кольце есть единица, то в факторкольце этого кольца тоже есть единица. И я сильно сомневаюсь, что этот результат можно получить играми с сигнатурой.