Как бы нам оквадратить куб?

[gris]

Кстати, насчёт списка рекордсменов. Я пробовал критерием
t=n^(1.5); m=floor(t+1/2); d=abs(t-m);
с рекордсменами
2, 13, 15, 17, 35, 37, 43, 46, 109, 422, 717, 741, 799, 937, 1362, 3067, 5215, 5234, 8158, 153761, 353103, 367806, 720114, 939787,
и
q=abs(n^3/m^2-1.0);
со списком
2, 3, 5, 10, 13, 15, 17, 29, 35, 37, 43, 46, 101, 109, 255, 257, 317, 323, 331, 366, 422, 717, 741, 799, 937, 1313, 1362, 2063, 2665, 2933, 3067, 5215, 5234, 8158, 26530, 30333, 55371, 68239, 107194, 146795, 153761, 353103, 367806, 720114, 939787,
Ну да, список расширился без потерь, но не так чтобы уж.

[Утундрий]

Упростил, сменил критерий и досчитал до десяти миллионов.

Используется синтаксис Matlab M

n=10000000; max=0; maxList={};
For[i=2, i<=n, i++, If[SquareFreeQ[i], y=Round[i Sqrt[i]]; x=Sqrt[i]-y^(1/3); x=Abs[1/x]; If[x>max, max=x; maxList=maxList~Join~{{t, y}}]]]
MatrixForm[maxList]

Результат (после двух вычёркиваний) следующий:

$$\begin{tabular}{|r|l|} \hline x & y \\ \hline 2 & 3 \\ 3 & 5 \\ 5 & 11 \\ 13 & 47 \\ 15 & 58 \\ 17 & 70 \\ 35 & 207 \\ 37 & 225 \\ 43 & 282 \\ 109 & 1138 \\ 331 & 6022 \\ 366 & 7002 \\ 422 & 8669 \\ 717 & 19199 \\ 741 & 20171 \\ 799 & 22585 \\ 937 & 28682 \\ 1313 & 47577 \\ 1362 & 50265 \\ 2063 & 93702 \\ 2665 & 137577 \\ 2933 & 158843 \\ 3067 & 169852 \\ 5215 & 376601 \\ 5234 & 378661 \\ 8158 & 736844 \\ 30333 & 5282908 \\ 68239 & 17825798 \\ 107194 & 35095846 \\ 146795 & 56242795 \\ 153761 & 60293333 \\ 353103 & 209822526 \\ 367806 & 223063347 \\ 720114 & 611085363 \\ 4286270 & 8873997190 \\ 4903717 & 10858956610 \\ 5024238 & 11261735055 \\ 9536129 & 29448160810 \\ \hline \end{tabular}$$

[juna]

Можно предложить альтернативную формулировку:

$$x^3\approx y^2\Rightarrow \sqrt{x}\approx \frac{y}{x}$$

Значит нужно искать такие рациональные аппроксимации $\sqrt{x}$, чтобы в их знаменателе содержался тот же самый $x$.
Например,

$$\sqrt{13}=[3;\overline{1,1,1,1,6}]$$

$$\frac{47}{13}=[3;1,1,1,1,2]$$

[Andrey A]

juna в сообщении #1577259 писал(а):

... нужно искать такие рациональные аппроксимации $\sqrt{x}$, чтобы в их знаменателе содержался тот же самый $x$.

Насчет кубов и квадратов Утундрий неумолим, а вот по поводу взаимной простоты $x,y$ ничего сказано не было. Тем более, что в его списке случаи $\gcd x,y >1$ имеются: $366,7002\ \vdots\ 6.$ Поэтому вместо "чтобы в их знаменателе содержался тот же самый $x$" можно записать "чтобы в их знаменателе содержался делитель $x$" и домножать элементы дроби $\dfrac{y}{x}$ на недостающий множитель. Вот только где их взять? Ладно, мы пойдем другим путем.

Запишем $(az)^2 \approx (bz)^3.$ Отсюда $a^2 \approx zb^3$, $a^2-zb^3 \approx \pm 1,\ z=\dfrac{a^2 \mp 1}{b^3}.$ Чтобы получить целое $z,$ необходимо и достаточно $a^2 \equiv \pm 1 \pmod {b^3},$ а это не проблема.
Возьмем $57^2 \equiv -1 \pmod {5^3}.\ \dfrac{57^2+1}{5^3}=26,\ 57 \cdot 26=1482,\ 5 \cdot 26=130.$ Решение $1482^2 \approx 130^3$ одно из бесконечной серии, поскольку вместо $57$ можем брать $57 \pmod {125}.$ Вместо единицы можно брать другие маленькие вычеты и получим другие, менее точные приближения. Опять вычеты. Но все-таки это решение.

$$((n^3-1)(n^3-2))^2 \approx (n(n^3-2))^3.$$

[juna]

Andrey A в сообщении #1577307 писал(а):

Решение $1482^2 \approx 130^3$ одно из бесконечной серии

А поскольку этого решения нет в табличке ТС, ему следует четко сформулировать критерий "хорошести" приближения.

$$\sqrt{130}\approx 11.40175425099138$$

$$\frac{1482}{130}\approx 11.4$$

Почему это плохо?

$$\sqrt{130}=[11;\overline{2,2,22}]$$

$$\frac{1482}{130}=\frac{57}{5}=[11;2,2]$$

Я вот полагаю, что содержательный критерий потребует взаимной простоты $x,y$.

[Andrey A]

juna в сообщении #1577337 писал(а):

следует четко сформулировать критерий "хорошести"

Это не так-то просто. Я уже предлагал большой знак в разложении логарифма ( $3$-ий или $4$-й ), но от порядка величин зависим видимо любой критерий. Почему плохо? Я не говорил что плохо.

juna в сообщении #1577337 писал(а):

содержательный критерий потребует взаимной простоты $x,y$.

Такой критерий как раз не будет содержательным, поскольку применим не ко всем решениям. Или же объявить прочие иностранными агентами )

[mihaild]

Мне кажется, в критерии "хорошести" нужно учитывать еще величину числа. Что-то вроде "какое минимальное $x$ обеспечивает такое качество".

[Andrey A]

mihaild в сообщении #1577358 писал(а):

нужно учитывать еще величину числа

А если большие числа действительно дают "более точные" приближения, что с этим делать? В цепных дробях именно так и происходит.

[mihaild]

Andrey A в сообщении #1577366 писал(а):

А если большие числа действительно дают "более точные" приближения

Так они точно дают. Просто из-за того, что производная корня стремится к нулю (а значит, корни расположены всё плотнее и плотнее), а свободных от квадратов чисел много (а значит, даже корнями из свободных от квадратов чисел можно много что приблизить).

Andrey A в сообщении #1577366 писал(а):

что с этим делать?

Смотреть, что можно сказать про минимальную погрешность для чисел, не превосходящих $x$, кроме того, что она стремится к нулю. Что-то по мотивам теоремы Лиувилля.

[juna]

Andrey A в сообщении #1577357 писал(а):

Почему плохо? Я не говорил что плохо.

Это обращение к ТС, почему у него этого нет в табличке? Лишь потому, что $130^{3/2}\approx 1482.228052628879$ недостаточно точно?
Что значит достаточно, кому достаточно и т.д.

Andrey A в сообщении #1577357 писал(а):

Такой критерий как раз не будет содержательным, поскольку применим не ко всем решениям.

Нет смысла смешивать мух с котлетами, на мой взгляд.

$$(zx)^3=(zy)^2\pm d'\Rightarrow zx^3-y^2=\pm d$$

которое требуется решить при любом наперед незаданном $z$ где в работу включаются признаки делимости.
Если же брать заданное $z$, то задача вообще растворяется в бесконечности этих $z$.
Содержательно, на мой взгляд, найти взаимно простые куб и квадрат максимально близкие друг к другу:

$$\gcd x,y=1, x^3-y^2=\pm d$$

что при заданном $d$ уже требует привлечения специалиста по эллиптическим кривым )). Вот я бы и рассматривал сначала $x^3-y^2=\pm 1,2,3,\ldots$
И критерий очень прост: $|d|\rightarrow \min$

[Ende]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Дискуссионные темы (М)»
Причина переноса: уже ясно, что задача не имеет общеизвестного решения.

[Andrey A]

juna в сообщении #1577371 писал(а):

И критерий очень прост: $|d|\rightarrow \min$

Это да. А задача становится на порядки сложнее и растворяется по Вашему выражению в бесконечности. Потребовать вз. простоты $(x,y)$ как раз и означает задать $z=1.$ Известно, что уравнение $\left | x^2-y^3 \right |=1$ имеет единственное решение в натуральных числах, но доказательство этого факта уже не для средних умов. Еще вроде бы известно, что для любого $d$ такое уравнение имеет лишь конечное число решений. Но тут мы либо садимся за книги, либо включаем компьютер и начинаем перебирать вселенную (скорее всего второе). А хотелось порассуждать.

juna в сообщении #1577371 писал(а):

$$(zx)^3=(zy)^2\pm d'\Rightarrow zx^3-y^2=\pm d$$

которое требуется решить при любом наперед незаданном $z$ где в работу включаются признаки делимости.

Тут неявно подразумевается маленькое $d$, и тогда дело сводится к поиску маленьких квадратичных вычетов по $\pmod {x^3} с соответствующими квадратами.$ Ничего другого не вижу.

[mathematician123]

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Hall%27s_conjecture
В этой статье есть гипотеза про оценку снизу для $|y^2 - x^3|$, а в конце приведена таблица с некоторыми приближениями.

[juna]

Andrey A в сообщении #1577380 писал(а):

Тут неявно подразумевается маленькое $d$, и тогда дело сводится к поиску маленьких квадратичных вычетов по $\pmod {x^3} с соответствующими квадратами.$ Ничего другого не вижу.

Для найденных таким образом $x',y'$ разность $x'^3-y'^2=dz^2$ несмотря на маленькое $d$ не свободно от $z^2$, величина которого никак не контролируется и может быть несоизмеримо большой для данного порядка чисел. Для найденного вами примера $130^3-1482^2=26^2=676$. А вот эти разности (значения d) по табличке Утундрий

[2, 3] - 1 
[3, 5] 2 
[5, 11] 4 
[13, 47] - 12 
[15, 58] 11 
[17, 70] 13 
[35, 207] 26 
[37, 225] 28 
[43, 282] - 17 
[109, 1138] - 15 
[331, 6022] 207 
[366, 7002] - 108 
[422, 8669] - 113 
[717, 19199] 212 
[741, 20171] - 220 
[799, 22585] 174 
[937, 28682] - 171 
[1313, 47577] 368 
[1362, 50265] - 297 
[2063, 93702] - 757 
[2665, 137577] - 1304 
[2933, 158843] 1588 
[3067, 169852] - 141 
[5215, 376601] 174 
[5234, 378661] - 17 
[8158, 736844] - 24 
[30333, 5282908] - 427 
[68239, 17825798] - 885 
[107194, 35095846] 1668 
[146795, 56242795] - 2150 
[153761, 60293333] 1192 
[353103, 209822526] 3051 
[367806, 223063347] 207 
[720114, 611085363] - 225 
[4286270, 8873997190] - 13100 
[4903717, 10858956610] 10713 
[5024238, 11261735055] - 3753 
[9536129, 29448160810] 18589 

Видно, что ваше 676 несоразмерно большое в сравнении с 15, 17, 207 для соизмеримых по порядку величин.

Andrey A в сообщении #1577380 писал(а):

для любого $d$ такое уравнение имеет лишь конечное число решений

Видимо ранг=0 для всех $d$. Но здесь я не силен...

Просто мне показалось интересным, что решения все-таки выуживаются из цепных дробей для $\sqrt{x}$, но там тоже - перебор.

[juna]

mathematician123 в сообщении #1577382 писал(а):

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Hall%27s_conjecture
В этой статье есть гипотеза про оценку снизу для $|y^2 - x^3|$, а в конце приведена таблица с некоторыми приближениями.

О, оказывается, все уже давно изучается без нас ))).

Там кстати и критерий качества указан: $\frac{\sqrt{x}}{|x^3-y^2|}\rightarrow\max$, особо интересны случаи с $\frac{\sqrt{x}}{|x^3-y^2|}>1$ и утверждается, что существует константа $1/c(\epsilon)$, что отношение $$\frac{x^{\epsilon}\sqrt{x}}{|x^3-y^2|}<\frac{1}{c(\epsilon)}$ ограничено сверху.
Лучшее найденное значение $447884928428402042307918^2 - 5853886516781223^3 = -1641843$ c $\frac{\sqrt{5853886516781223}}{|447884928428402042307918^2 - 5853886516781223^3|}\approx 46.6$

Ищем лучше!? ))..