Проблемный интеграл

[mihail2102]

Уважаемые эксперты.
Результатом интегрирования следующего выражения:

$I=\int\limits_{0}^{R} \rho^2 d\rho\int\limits_ {0}^{\pi} \frac{(R_{0}^2-2 R_{0}\cos\theta+\rho^2\cos^2\theta) \sin\theta d\theta}{(\rho^2+R_{0}^2-2 R_{0}\rho \cos\theta)^2}$

Является выражение:

$I=\left\lbrace\frac{R^3}{4 R_{0}^2}+\frac{R}{4}+\left\lbrace\frac{R_{0}}{8}-\frac{2 R^2}{8 R_{0}}+\frac{R^4}{8 R_{0}3}\right\rbrace \ln\frac{R_{0}-R}{R_{0}+R}\right\rbrace$

$R_{0}\gg R$

Этот результат получен троекратным решением.
Казалось бы ошибок не должно быть. Но в процессе последующего анализа этот результат приводит к проблемам.
Может где-то я делаю ошибку при интегрировании? Первую ступень интегрирования по переменной $\theta$, проверял обратным дифференцированием. Все нормально.Проверка второй ступени интегрирования по $\rho$, не получается, из-за большого объема выкладок.
Интегральное выражение достаточно простое, но емкое по решению.
Для меня важен вердикт по результату: правильно или не правильно.
Может кто-то из экспертов, не особо напрягаясь, при помощи Волфрам Альфа или других систем, поможет определиться с этим результатом?
Заранее благодарен.

[Евгений Машеров]

0. Это Вы не теорию гравитации вновь опровергаете? Если вывод из формулы приводит к общепризнанным результатам - может, в ней просто нет ошибки?
1. Подставьте $x=\cos \theta$

[amon]

mihail2102 в сообщении #1576909 писал(а):

$I=\int\limits_{0}^{R} \rho^2 d\rho\int\limits_ {0}^{\pi} \frac{(R_{0}^2-2 R_{0}\cos\theta+\rho^2\cos^2\theta) \sin\theta d\theta}{(\rho^2+R_{0}^2-2 R_{0}\rho \cos\theta)^2}$

В числителе беда с размерностью. В члене $2 R_{0}\cos\theta,$ похоже, пропущен множитель $\rho.$

[mihail2102]

Извиняюсь за ошибочный перенос выражения из оригинала.
Действительно, правильное выражение:

$I = \int\limits_{0}^{R} \rho^2d\rho \int\limits_{0}^{\pi}\frac{(R_{0}^2-2R_{0}\rho \cos\theta+\rho^2 \cos^2\theta) \sin\theta d\theta}{(\rho^2+R_{0}^2-2R_{0} \rho \cos\theta)^2} $

Но результат интегрирования не изменяется:

$I = \frac{R^3}{4 R_{0}^2} + \frac{R}{4} +\left\lbrace\frac{R_{0}}{8}-\frac{2 R^2}{8 R_{0}}+\frac{R^4}{8 R_{0}^3}\right\rbrace \ln\frac{R_{0}-R}{R_{0}+R}$

[amon]

mihail2102 в сообщении #1576926 писал(а):

Но результат интегрирования не изменяется.

Тогда выносим $R_0$ из числителя и знаменателя, делаем замены $x=\cos\theta, t=\frac{\rho}{R_0}$ и пренебрегаем членом $t^2,$ поскольку $t\ll 1.$ Получаем вместо дроби $\frac{1}{1-2tx},$ раскладываем это в ряд $\frac{1}{1-2tx}\approx 1+2tx$ и получаем главный вклад в Ваш интеграл.

[mihail2102]

amon в сообщении #1576938 писал(а):

... и получаем главный вклад в Ваш интеграл.

Благодарен за участие, но меня то более всего интересует точное выражение интеграла исходного выражения.

[worm2]

Всё верно, Mathematica подтверждает.

Используется синтаксис Matlab M

Clear[I1, I2, I3];
I1[rho_, R0_, 
   Theta_] := (R0^2 - 2 R0 rho Cos[Theta] + rho^2 Cos[Theta]^2) Sin[
     Theta]/((R0^2 - 2 R0 rho Cos[Theta] + rho^2)^2);
I2[rho_, R0_] := 
  Integrate[I1[rho, R0, Theta], {Theta, 0, Pi}, 
   Assumptions -> rho > 0 && R0 > 0];
I3[R_, R0_] := 
  Integrate[rho^2 I2[rho, R0], {rho, 0, R}, 
   Assumptions -> R > 0 && R0 > R];
I3[R, R0]
 

Результат:

$$\frac{R R_0(R^2+R_0^2)-(R^2-R_0^2)^2\operatorname{arth}\left(\frac R R_0\right)}{4 R_0^3}$$

Здесь уже моих знаний достаточно, чтобы утверждать, что это то же самое.

[mihail2102]

worm2 в сообщении #1576967 писал(а):

Всё верно, Mathematica подтверждает
Здесь уже моих знаний достаточно, чтобы утверждать, что это то же самое.

Благодарен Вам за участие и помощь.
Но дело в том, что Ваше утверждение имеет очень серьезные( в прямом смысле) последствия.
Предлагаю подождать оценки других экспертов...

[Markiyan Hirnyk]

Ответы разнятся, как показывает проверка подстановкой значений

N[(R* R0 *(R^2 + R0^2) - (R^2 - R0^2)^2 ArcTanh[R/R0])/(4 R0^3) -   R^3/4/R0^2 - 
   R/4 - (R0/8 - R^2/4/R0 + R^4/8/R0^3)*Log[(R0 - R)/(R0 + R)] /. {R0 ->  10, R -> 2}]
-0.0305465

У меня получился тот же результат, что и у worm2.

[worm2]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1576985 писал(а):

Ответы разнятся, как показывает проверка подстановкой значений

N[(R* R0 *(R^2 + R0^2) - (R^2 - R0^2)^2 ArcTanh[R/R0])/(4 R0^3) -   R^3/4/R0^2 - 
   R/4 - (R0/8 - R^2/4/R0 + R^4/8/R0^3)*Log[(R0 - R)/(R0 + R)] /. {R0 ->  10, R -> 2}]
-0.0305465

Хм... странно. У меня этот код выдаёт $1.66533\times 10^{-16}$

[Markiyan Hirnyk]

worm2

Цитата:

У меня этот код выдаёт $1.66533\times 10^{-16}$

Вы правы, я ошибся.

[svv]

mihail2102 в сообщении #1576909 писал(а):

Казалось бы ошибок не должно быть. Но в процессе последующего анализа этот результат приводит к проблемам.
Может где-то я делаю ошибку при интегрировании?

А какую физическую величину вычисляет Ваш интеграл? Если силу взаимодействия между точечной массой и однородным шаром, то он записан неправильно. В числителе должна быть первая степень $R_0-\rho\cos\theta$, а у Вас вторая. В знаменателе третья степень $\sqrt{\rho^2+R_{0}^2-2R_{0} \rho \cos\theta}$, а у Вас четвёртая.

[mihail2102]

Предлагаю (на время) не касаться физических интерпретаций данного интеграла, а обсудить чисто математические аспекты, т.е. проблемность этого интеграла, если он конечно вычислен верно.
Данное интегральное выражение (без коэффициента $2\pi G \rho_{0}$)в сферических координатах, получено из интегрального выражения в декартовых координатах:

$G \rho_{0} \int \limits_{V}\frac{(R_{0}-z) dV}{(x^2+y^2+(R_{0}-z)^2)^\frac{3}{2}} (1)$

где: $V$-объем шара средней плотности $ \rho_{0}$ и радиуса $R$
путем умножения подынтегральной функции на коэффициент:

$\frac{(R_{0}-z)}{\sqrt{x^2+y^2+(R_{0}-z)^2}} (2)$

При условии, что $R_{0}\gg x,y,z,$значение этого коэффициента принадлежат интервалу (0,1).
На основании чего я делаю вывод, что значение получившегося интеграла строго меньше значения интеграла (1)
Значение интеграла (1) равно:

$I_{0} = \frac{G M}{R_{0}^2} (3) $

где: М- масса шара.
Значение проблемного интеграла с коэффициентом$2 \pi G \rho_{0}$ равно:

$I_{1} = 2 \pi G \rho_{0}\left\lbrace\frac{R^3}{4 R_{0}^2}+\frac{R}{4}+\left\lbrace\frac{R_{0}}{8}-\frac{2 R^2}{8 R_{0}}+\frac{R^4}{8 R_{0}^3}\right\rbrace\ln\frac{R_{0}-R}{R_{0}+R}\right\rbrace (4)$

получилось из выражения:
$2G\rho_{0}\int\limits_{-R}^{+R}dx\int\limits_{0}^{\sqrt{R^2-x^2}}dy\int\limits_{-\sqrt{R^2-x^2-y^2}}^{+\sqrt{R^2-x^2-y^2}}\frac{(R_{0}-z)^2dz}{(x^2+y^2+(R_{0}-z)^2)^2 }=2G\rho_{0}\int\limits_{0}^{R}d\rho\int\limits_{0}^{\pi} d\varphi \int\limits_{0}^{\pi}\frac{(R_{0}^2\rho^2-2R_{0}\rho^3\cos\theta+\rho^4\cos^2\theta)\sin\theta d\theta}{(\rho^2+R_{0}^2-2R_{0}\rho\cos\theta)^2}$$(5)$
Найдем отношение:

$\lim\limits_{n}^{\infty}\frac{I_{1}}{I_{0}} (6)$

где:$n=\frac{R_{0}}{R}$,$\rho_{0}=\frac{M}{\frac{4\pi R^3}{3}}$
Выражение (6) в условных обозначениях имеет вид:

$\lim\limits_{n}^{\infty}\frac{3}{8}+\frac{3}{8}n^2+\left\lbrace\frac{3}{16}n^3-\frac{6}{16}n+\frac{3}{16n}\right\rbrace\ln\frac{n-1}{n+1} (7)$

Значение выражения (7) у меня получилось приблизительно 6 (шесть).
Получается противоречие: данное выражение должно быть меньше 1(единица).

[mihiv]

В (5) интегрирование по $\varphi $ должно быть от 0 до $2\pi $.

[svv]

mihiv
В (5) в левой части вместо $\int\limits_{-\sqrt{R^2-x^2}}^{\sqrt{R^2-x^2}}dy$ стоит $\int\limits_{0}^{\sqrt{R^2-x^2}}dy$, в правой вместо $\int\limits_{0}^{2\pi}d\varphi$ стоит $\int\limits_{0}^{\pi}d\varphi$, но это скомпенсировано двойкой в множителе $2 G\rho_0$.

mihail2102
Вы всё нашли правильно, кроме предела.
(7) строго возрастает на $(1;+\infty)$ и при $n\to+\infty$ стремится к $1$, как и требуется.
WolframAlpha, plot 3/8+3/8*n^2+(3/16*n^3-6/16*n+3/(16*n))*ln((n-1)/(n+1)) for n=2 to 10