Ядро линейного функционала

[Oleg Zubelevich]

profrotter в сообщении #522704 писал(а):

Доказательство этого факта есть в Кутателадзе С.С. Основы функционального анализа

всетаки надо отметить, что теорема о факторизации это не теорема "из Кутателадзе", а очень общий теоретико-множественный факт. Она просто прорастает из теории множеств в различные алгебраические структуры: группы, лин. пространства и т.д.

profrotter в сообщении #522704 писал(а):

Да и качественная сторона вопроса никак не поддаётся простой интуитивно-понятной трактовке.

Еще как поддается, геометрически это факт вполне прозрачный.

[profrotter]

Oleg Zubelevich в сообщении #522729 писал(а):

что теорема о факторизации это не теорема "из Кутателадзе"

От чего же вы не делитесь книжками? Со знаниями так нельзя. Знание оно тем и удивительно, что чем больше вы его отдаёте, тем больше вы его обретаете. Я пересмотрел наверное учебников 10 если не больше, пока не нашёл эту теорему в Кутателадзе. Может быть она и в других есть, просто не так заметна, конечно.

Oleg Zubelevich в сообщении #522729 писал(а):

Еще как поддается, геометрически это факт вполне прозрачный.

Ну я пока в себе не нашёл качественного понимания.

Oleg Zubelevich, Вы лучше ближе к этому скажите (нам с Вами эта проблема известна по другой задаче ):

profrotter в сообщении #522704 писал(а):

У меня теперь такой глупый, но важный вопрос. Вот есть некоторый линейный функционал $F$ и мы нашли два других $F_1,F_2$, так что пересечение ядер оказалось вложено в ядро первого, и записали $F=C_1F_1+C_2F_2$. Даёт ли рассматриваемое утверждение какую-нибудь гарантию, что не найдётся третий функционал, такой что $F_1,F_2,F_3$ -линейно-независимы и пересечение трёх ядер оказывается вложенным в ядро $F$, тогда $F=C_1F_1+C_2F_2+C_3F_3$, а предыдущая запись была просто частным случаем последней при $C_3=0$?

Правильно я понимаю, что пространство линейных функционалов имеет такую же размерность, как и линейное пространство, на котором рассматриваются функционалы? И в самом общем случае количество составляющих определяется размерностью пространства?

[MaximVD]

profrotter в сообщении #522751 писал(а):

Я пересмотрел наверное учебников 10 если не больше, пока не нашёл эту теорему в Кутателадзе. Может быть она и в других есть, просто не так заметна, конечно.

Это утверждение есть, например, в книге А. Я. Хелемский, "Лекции по функциональном анализу", предложение 4.2.2. Доказательство там, по существу, совпадает с тем, что предложил Oleg Zubelevich.

[profrotter]

ewert в сообщении #522494 писал(а):

Вообще-то по хорошему здесь нужно некоторое утверждение типа: "функционалы линейно независимы тогда и только тогда, когда их количество равно коразмерности пересечения их ядер", но с ним тоже некоторое занудство, а в КФ такого утверждения то ли нет, то ли я его не заметил.

Именно! Именно же! А то я сижу и пишу тут, откровенно говоря, бред, ничего не понимаю и никто меня не поправит. Я пойду нечестным путём и рассмотрю $N$ - мерное линейное пространство $L$. В точечной (геометрической) интерпретации в нём ядро функционала (конечно тут о функционале говорить некорректно) представляет собою $N-1$ - плоскость (или просто плоскость). Пересечение $n$ ядер тогда - это пересечение $n$ штук $N-1$ - плоскостей, проходящих через нулевую точку. Это означает, что следующая система уравнений совместна:

$$\begin{cases} a_{1,1}x_1+...+a_{1,N}x_{N}=0\\ a_{2,1}x_1+...+a_{2,N}x_{N}=0\\ ...\\ a_{n,1}x_1+...+a_{n,N}x_{N}=0\\ \end{cases} $$

Результатом пересечения является $N-r$ - плоскость, где $r$ - ранг основной матрицы системы. Поскольку мы предположили функционалы линейно-независимыми, все плоскости различны и ранг матрицы равен $r=n$. Таким образом пересечение $n$ штук $N-1$ - плоскостей имеет размерность $N-n$ или коразмерность $n$. Затрудняюсь оценить насколько честно я поступаю, обобщая это и на случай бесконечно-мерного пространства.

Сразу, как только это установлено, я делаю вывод, что запись $\operatorname{ker}F=\bigcap\limits_{k=1}^{n}\operatorname{ker}F_k$ означает, что все рассматриваемые функционалы являются линейно-зависимыми и из этой записи вытекает лишь $\operatorname{ker}F=\operatorname{ker}F_1=...=\operatorname{ker}F_n$. (Иначе просто невозможно обеспечить коразмерность 1 для $\operatorname{ker}F$) Линейную зависимость, собственно я и получил, когда рассматривал своё второе частное утверждение.

Сразу становится понятным, что запись $\operatorname{ker}F_1\subseteq \operatorname{ker}F_1$ означает именно $\operatorname{ker}F_1= \operatorname{ker}F$, так как вложение плоскостей эквивалентно их равенству.

Теперь, поскольку $\bigcap\limits_{k=1}^{n}\operatorname{ker}F_k$ имеет коразмерность $n$, то возможно единственное представление любого элемента из $L$ в виде:

$$x=a_1x_1+...+a_nx_n+y,$$

где $x_1,...,x_n\in L/\bigcap\limits_{k=1}^{n}\operatorname{ker}F_k$, а $y\in \bigcap\limits_{k=1}^{n}\operatorname{ker}F_k$. Геометрический смысл этой записи понятен: к имеющимся в подпространстве $\bigcap\limits_{k=1}^{n}\operatorname{ker}F_k$ измерениям требуются ещё $n$ для того, чтобы охватить всё пространство $L$.

Ну, а дальше, как Вы справедливо заметили, выбирая в качестве системы линейно-независимых элементов опорные элементы функционалов $F_1,...,F_n$, получим линейную зависимость для опорных элементов функционалов $F,F_1,...,F_n$ $x_0=a_1x_1+...+a_nx_n+y$ (в этой системе количество элементов превосходит размерность пространства), откуда следует и линейная зависимость самих функционалов $F,F_1,...,F_n$.

Но я пока так нигде и не увидел, что может определить достаточность значения $n$?

MaximVD в сообщении #522815 писал(а):

Это утверждение есть, например, в книге А. Я. Хелемский, "Лекции по функциональном анализу", предложение 4.2.2. Доказательство там, по существу, совпадает с тем, что предложил Oleg Zubelevich.

MaximVD, благодраю за книжку. Но хочу обратить Ваше внимание, что Oleg Zubelevich не предложил доказательство, а привёл его без ссылки на источник, а источник скрывает и до сих пор. В приличных местах "такое не есть хорошо". Например, если на защите диссертиции обнаруживается, что некий факт защищающийся приписывает себе, то диссертацию могут снять с защиты.

[ewert]

Мне лень вникать в детали, но обращу внимание на то, что есть достаточно известный факт: коразмерность пересечения подпространств не превосходит суммы их коразмерностей (который, в свою очередь, является частным случаем некоторого более конкретного утверждения). Откуда, в частности, следует, что коразмерность пересечения ядер нескольких функционалов не превышает их количества. Откуда, в частности, доказываемое утверждение следует достаточно автоматически.

К сожалению, в Колмогорове-Фомине ничего подобного на момент предложения сего упражнения мне обнаружить не удалось (ну, может, слабо старался). Так что так до сих пор и не понимаю, что они имели в виду. Доказывать-то можно, разумеется, как угодно; но правила приличия требуют всё же использования лишь тех средств, которые имеются на сей момент.

Вот тут ув. Oleg Zubelevich утверждал, что всё вообще тривиально, но потом зачем-то слинял в туман. Ну, может, вернётся и прояснит, что он имел в виду.

[profrotter]

ewert в сообщении #523584 писал(а):

К сожалению, в Колмогорове-Фомине ничего подобного на момент предложения сего упражнения мне обнаружить не удалось (ну, может, слабо старался). Так что так до сих пор и не понимаю, что они имели в виду. Доказывать-то можно, разумеется, как угодно; но правила приличия требуют всё же использования лишь тех средств, которые имеются на сей момент.

Думаю они предполагали твёрдое знание студентами многомерной геометрии, которая была изучена либо отдельным курсом, либо вместе с линейной алгеброй. А я многомерную геометрию не изучал и мне пришлось немного потрудиться. Может я где-то и напутал чего, но думаю понимание ко мне пришло.

[Oleg Zubelevich]

profrotter в сообщении #523570 писал(а):

Oleg Zubelevich не предложил доказательство, а привёл его без ссылки на источник, а источник скрывает и до сих пор. В приличных местах "такое не есть хорошо".

В приличные места не пускают тех , кто не знает таких вещей. Хорошо, когда я учился на 4 курсе, я прочитал в справочнике по общей алгебре (2-х томник такой есть СМБ под редакцией Скорнякова) про теорему о факторизации для множеств, сообразил в течение часа, что ее можно применить ,точнее говоря, по ней по ней понятно как формулировать, с оответствующие утверждения для к линейных пространств и соответственно к этой задаче из Колмогорова-Фомина, а еще к группам и еще другим некоторым вещам. Ну и что? Наверное Хелемский и Кутателадзе и еще очень многие люди проделали такой же путь. Я же не виноват, что Вы не прочитали это своевременно у Хелемского, а сами не смогли догадаться до этого самостоятельно

ewert в сообщении #523584 писал(а):

Вот тут ув. Oleg Zubelevich утверждал, что всё вообще тривиально, но потом зачем-то слинял в туман. Ну, может, вернётся и прояснит, что он имел в виду

А что Вы желаете прояснить? Я писал, что геометрически теорема вполне прозрачна. Это действительно так. Линейный функционал это, попросту говоря вектор перпендикулярный к плоскости. Если три плоскости пересекаются по прямой (все в $\mathbb{R}^3$ для интуиции этого достаточно), то соответствующие три вектора линейно зависимы. Ну я конечно понимаю, что это методически непрвавильно, а как правильно Вы нам сейчас поведуете... Но мне эта тема неинтересна, не вижу что здесь обсуждать.

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #523628 писал(а):

А что Вы желаете прояснить? Я писал, что геометрически теорема вполне прозрачна. Это действительно так. Линейный функционал это, попросту говоря вектор перпендикулярный к плоскости.

Это лирика. Мало ли что кажется прозрачным. Нет никаких перпендикуляров. Вообще ничего нет, кроме линейной структуры, притом неопределённой размерности. Даже нормы -- и той ещё нет.

(Оффтоп)

Советы же освоить Хелемского и Кутателадзе перед тем, как браться за Колмогорова-Фомина (поскольку последние, безусловно, в своём упражнении именно этого от читателя и ожидали) -- и вовсе неожиданны.

[ihq.pl]

ewert в сообщении #522494 писал(а):

Пусть $K_i$ -- ядра функционалов $f_i$ и $K$ -- пересечение всех этих ядер; пусть $e_i$ -- "опорные" элементы для этих функционалов, т.е. такие, что $f_i(e_i)=1$. Легко видеть, что любой элемент пространства может быть представлен в виде $x=\alpha_1e_1+\alpha_2e_2+\ldots+\alpha_ne_n+z$, где $z\in K$

Тема старая, но вышел я на неё только вчера по ссылке с этого сайта. Решил поделиться тем, что мне лично не "легко видеть", что для так определенных "опорных элементов" любой элемент линейного пространства может быть представлен в таком виде. Скорее всего, может, но не факт, что единственным образом. А это как-то не айс. Вот, если опорные элементы определить так

$$f_i(x_j)=\delta_{ij},$$

то представление

$$x=\alpha_1 x_1+...+\alpha_n x_n +z, z\in K$$

единственное. Такие опорные элементы всегда существуют и они не входят в пересечение ядер функционалов. Хотя, здесь нужно сделать оговорку, что $\ker f_i \ne \ker f_j$. Но это, как бы, само собой, потому что функционалы с одним и тем же ядром совпадают с точностью до постоянного множителя. Отсюда сразу получается, что $f_k(x)=\alpha_k$ и следовательно

$$f(x)=f_1(x) f(x_1)+...+f_n(x) f(x_n)$$

[mihaild]

ihq.pl в сообщении #1572120 писал(а):

Хотя, здесь нужно сделать оговорку, что $\ker f_i \ne \ker f_j$.

Нужно сильнее: что функционалы все вместе линейно независимы.

[ihq.pl]

mihaild в сообщении #1572153 писал(а):

ihq.pl в сообщении #1572120 писал(а):

Хотя, здесь нужно сделать оговорку, что $\ker f_i \ne \ker f_j$.

Нужно сильнее: что функционалы все вместе линейно независимы.

Думаю, можно обойтись и без этого. Да и упражнение не предполагает каких-либо знаний о зависимости/независимости линейных функционалов. Можно так рассуждать: предположим, что функционалы $f_k, f_m$ имеют одно и то же ядро, тогда $a_kf_k(x)+a_mf_m(x)=bf_k(x)$, где $b=a_k+ca_m$. Таким образом, линейная комбинация

$$a_1f_1(x)+...+a_nf_n(x)$$

автоматически превращается в комбинацию

$$b_1f_1(x)+...+b_lf_l(x), l\le n$$

функционалов, ядра которых не совпадают. Потом, когда коэффициенты $b_j$ найдены, эту комбинацию можно обратно представить в виде комбинации из $n$ исходных ф-лов, и это представление единственное.

[mihaild]

Проблема в том, что несовпадения ядер для существования системы $x_j$ такой что $f_i(x_j) = \delta_{ij}$ недостаточно.

[ihq.pl]

mihaild, спасибо).. надо будет подумать об этом..

-- 01.12.2022, 17:29 --

mihaild в сообщении #1572163 писал(а):

Проблема в том, что несовпадения ядер для существования системы $x_j$ такой что $f_i(x_j) = \delta_{ij}$ недостаточно.

А что здесь не так:
Допустим, $\ker f_i \ne \ker f_j, i\ne j$. Cуществует такой вектор $x_i$, что

$$x_i \notin \ker f_i, x_i \in \bigcap_{m\ne i} \ker f_m.$$

И тогда для $e_i = x_i/f_i(x_i)$ выполняется условие

$$f_k(e_i) = \delta_{ki}$$

[ihq.pl]

Не получается без манипуляций линейной зависимостью/независимостью функционалов. А в пункте "Линейные функционалы", в котором это упражнение, про это ни слова. Как же так?

[mihaild]

ihq.pl в сообщении #1572164 писал(а):

Cуществует такой вектор $x_i$, что

$$x_i \notin \ker f_i, x_i \in \bigcap_{m\ne i} \ker f_m.$$

Из непустоты $\overline{\ker f_i} \cap \ker f_j$ для любого $j$ не следует непустота $\overline{\ker f_i} \cap \bigcap_{m \neq i} \ker f_m$.

ihq.pl в сообщении #1572207 писал(а):

Не получается без манипуляций линейной зависимостью/независимостью функционалов. А в пункте "Линейные функционалы", в котором это упражнение, про это ни слова. Как же так?

Я бы предположил, что курс "Основы функционального анализа" предполагает знакомство с линейной алгеброй на уровне выделения линейно независимой подсистемы из системы функционалов.