Математический анализ с абстрактной точки зрения

[EminentVictorians]

пианист, Вы же сами в состоянии ответить на этот вопрос.
Под "числами" Вы скорее всего понимаете $\mathbb R, \mathbb R^n, \mathbb C, \mathbb C^n$
Все эти случаи вписываются в "анализ над банаховыми пространствами". Как он выглядит - я примерно представляю. Дифференцирование, например, очень хорошо изложено у Картана ("Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы"). Это все еще очень низкий уровень абстракции.

Мне нужен уровень категорий. Чтобы можно было иметь инструменты матанализа в любой достаточно хорошей категории. Как это все выглядит в аддитивных симметрических моноидальных категориях с модальностью коалгебры - я написал выше. Мне кажется, что это лишь один из способов построения этого "категорного матана". Выглядит, честно говоря, как какая-то кустарщина. Если будет много разных вариантов матанализа для разных классов категорий - я буду только рад.

[пианист]

EminentVictorians в сообщении #1572022 писал(а):

Вы же сами в состоянии ответить на этот вопрос

Откуда?
Я, честно сказать, совсем уже нить потерял. Где классический матанализ, и где банаховы пространства.
При работе с банаховыми пространствами уже должны быть в распоряжении средства, которые традиционно появляются из курса матанализа.
То есть Вы хотите "сжимать" все-таки не матанализ, а, грубо говоря, анализ-3, так?
Кстати, курс функана с категориями вроде бы существует, Хелемский.

[EminentVictorians]

пианист в сообщении #1572027 писал(а):

При работе с банаховыми пространствами уже должны быть в распоряжении понятия, вводимые традиционно в курсах матанализа.

А, например, какие? Ну хорошо, вещественные числа действительно нужны, чтобы определить норму. Но я бы не называл их "понятиями традиционного матанализа", они больше - общематематические понятия. Не будем же мы называть функцию "понятием традиционного матанализа", несмотря на то, что никакого традиционного матанализа без функций быть не может. А что еще?

пианист в сообщении #1572027 писал(а):

То есть Вы хотите "сжимать" все-таки не матанализ, а, грубо говоря, анализ-3, так?

Я считаю, что у вещественного (одномерного и многомерного), комплексного (одномерного и многомерного), функционального анализов есть общий фундамент, причем довольно большой. Мне не хочется повторять одни и те же действия при доказательстве, грубо говоря, одних и тех же теорем из, как минимум, этих трех видов анализа.

[пианист]

EminentVictorians в сообщении #1572030 писал(а):

А, например, какие?

Смотря по тому, что именно Вы собираетесь излагать в своем курсе.
Если только одно определение банахового пространства, то немного, хотя, все-таки, даже в этом случае $\mathbb{R}$ и $\mathbb{N}$ надо, и понятие сходимости тоже (линейная алгебра, полагаю, у нас в пререквизитах).
И неплохо объяснить читателю, а на кой фиг этот крокодил нужен (если одно определение дается).

EminentVictorians в сообщении #1572030 писал(а):

вещественные числа действительно нужны

А как Вы будете $\mathbb{R}$ вводить, традиционным образом?

[EminentVictorians]

пианист в сообщении #1572034 писал(а):

Смотря по тому, что именно Вы собираетесь излагать в своем курсе.

Я не предлагаю всю эту затею как курс для обучения кого-то. Это надо лично мне в первую очередь.

пианист в сообщении #1572034 писал(а):

А как Вы будете $\mathbb{R}$ вводить, традиционным образом?

Да любым способом. Ну что там может потребоваться в худшем случае? Понятие последовательности рациональных чисел? Ну это ерунда все, это к матанализу (в моем понимании) мало отношения имеет.

[krum]

EminentVictorians в сообщении #1571785 писал(а):

Является ли это наилучшим уровнем абстракции? Я на 100% уверен, что нет. Во всей этой теории из всех щелей торчат уши теории категорий.

Так, ведь, это от целей и задач зависит, так сказать. Если абстрактность является целью сама по себе - то, конечно, нет. А если учебник пишется для подготовки студентов к освоению более мэйнстримных направлений, чем достижение максимальной абстрактности, к дифурам, например, -то да.

[пианист]

EminentVictorians
Ясно.
Сожалею, но такого курса, скорее всего, нет..
Придется Вам пользоваться тем, что есть.

[Joyce]

EminentVictorians в сообщении #1571851 писал(а):

И теория категорий будет играть в этом ключевую роль. Конечно, вот прям взять и написать учебник алгебры, который я посчитал бы правильным, я на данный момент не смогу, но эта задача по крайней мере а) обозрима, б) реалистична, в) понятна.

Здесь на форме кто-то упоминал P. Aluffi Algebra: Chapter 0. Не оно?

[EminentVictorians]

Joyce в сообщении #1572512 писал(а):

Здесь на форме кто-то упоминал P. Aluffi Algebra: Chapter 0. Не оно?

Я ее не читал, но оглавление выглядит интересно.

(Оффтоп)

Вообще, я считаю, что математику можно учить по любым книгам - итоговое понимание все равно не будет укладываться ни в одну из структур этих книг.