Еще один вариант для кубов

[dick]

mihaild в сообщении #1571320 писал(а):

Меня смущает, что вы не говорите, какой это будет общий множитель в случае $z - y > 1$, и тем более не доказываете, что он действительно будет.

Я представляю это приблизительно так:
1. $(x_1x_2)^3=(z-y)((z-y)^2+3zy)$ - общая форма;
2. $(x_21)^3=(1)(1+3zy)$ - форма для взаимно простых членов тройки;
3. $(x_21b)^3=b^31(1+3zy)$- форма с общим множителем для тройки;
Мы говорили о переходе от 3. к 2., а общий множитель - $x_1$
.

dick в сообщении #1571286 писал(а):

Тогда если бы ваше рассуждение доказывало, что $z - y = 1$ для кубов, она доказывало бы это и для квадратов, а для квадратов это неверно.

Мне кажется, взаимная простота помогает урезонивать авторов. У Ферма, говорят, ее не было.

[mihaild]

Не знаю, что такое "форма" в данном контексте.
У нас $x_1 = \sqrt[3]{z - y}$, $x_2 = x / x_1 = \sqrt[3]{(z - y)^2 + 3zy}$. Как и что вы хотите сокращать на $x_1$?

dick в сообщении #1571341 писал(а):

Мне кажется, взаимная простота помогает урезонивать авторов.

Так в моем примере с квадратами числа тоже попарно взаимно просты.

[dick]

mihaild в сообщении #1571347 писал(а):

Не знаю, что такое "форма" в данном контексте.
У нас $x_1 = \sqrt[3]{z - y}$, $x_2 = x / x_1 = \sqrt[3]{(z - y)^2 + 3zy}$. Как и что вы хотите сокращать на $x_1$?

Ошибся, общий множитель конечно $b$.

[mihaild]

dick в сообщении #1571364 писал(а):

Ошибся, общий множитель конечно $b$.

Определение $b$ напишите, пожалуйста (я пока знаю, что такое $x,y,z,x_1,x_2$, и вроде больше ничего).

[gris]

А вот от меня небольшой рисунок

Для интервала от 1 до 320 отмечены пары чисел, для которых сумма кубов находится на расстоянии 1,2,3,6,7 от куба некоторого натурального числа. Как будто летящий НЛО

[dick]

b это произвольное нечетное натуральное число, больше 1.
gris
Спасибо. Очень красиво.

[mihaild]

dick в сообщении #1571376 писал(а):

b это произвольное нечетное натуральное число, больше 1.

Я совсем ничего не понимаю. Вы говорите, что можно взять произвольное нечетное натуральное число, и обязательно окажется, что $x, y, z$ на него делятся?

[venco]

Ладно. Давайте рассуждать по вашему.

dick в сообщении #1571112 писал(а):

Предположим, что выполняется равенство: $x^3+y^3=z^3$ (1); где $x,y,z$ – взаимно простые натуральные числа, $z,y$- числа разной четности, а $x$- нечетное.
Требуется доказать, что при указанных условиях $z$ и $y$ это соседние числа.
Начнем с простого, перепишем (1) в виде: $x^3=z^3-y^3=(z-y)((z-y)^2+3zy)$ (1.1);
Предположим, что $x$ не делится на 3, тогда обе скобки правой части (1.1) являются кубами, так что $(z-y)=x_1^3$ и $((z-y)^2+3zy)=x_2^3$.
Если бы $x,y,z$ не были бы взаимно простыми числами, то (1.1) можно было бы сократить на $x_1^3$ и получить новое равенство (1):$x_2^3+y_2^3=z_2^3$ (1.2);
Но $x,y,z$ по условию не имеют общего множителя, значит сократить (1), без потери натуральности наших чисел, мы не можем, несмотря на то что (1.1) предоставляет такую возможность.

Можем. Получится:
$x_2^3=((z-y)^2+3zy)$
где $x_2={x\over{x_1}}$
Как вы из этого пришли к $x_2^3+y_2^3=z_2^3$ - я не знаю.
Точнее, так можно, конечно, написать, только $y_2$ и $z_2$ получатся нецелыми.

[ivanovbp]

Мне не под силу сказать что-либо по существу. Причина тривиальна: слишком много у dick всяких "поскольку..., то...",
"предположим....", " так как..., то....". Возможно, так оно и принято, но "мы гимназиев не кончали...", мы в основном по арифметике.
По поводу комментариев: хотелось бы видеть фразу "вот здесь ошибка"

[dick]

mihaild в сообщении #1571380 писал(а):

Я совсем ничего не понимаю. Вы говорите, что можно взять произвольное нечетное натуральное число, и обязательно окажется, что $x, y, z$ на него делятся?

Вы правы, произвольного там нет. Общий множитель $b$ должен иметь форму числа $x$, а именно $6n+1$, потому что кроме этой формы, для нечетного остаются только $6n+3$ и $6n+5$, первая отпадает по условию неделимости на 3, вторая- поскольку 5 не может быть кубом.

venco
Я уже писал, но попробую написать получше. Вот три формы равенства (1.1):
1. $(x_1x_2)^3=(z-y)((z-y)^2+3zy)$ - общая форма, где $x_1^3=(z-y)$;
2. $x_2^31^3=(1)(1+3zy)$ - форма для взаимно простых членов тройки;
3. $x_2^31^3b^3=b^3(1)(1+3zy)$- форма с общим множителем для тройки;
Допустим, тройка чисел решения имеет общий множитель больше 1. Пусть этот множитель $x_1$.
Не вызывает сомнений, что можно сократить тройку на $x_1$ и получить новое равенство (1) с меньшими кубами.
Однако, при попытке сократить общую форму на $x_1^3$, возникает противоречие: следуя правилу, скобка $(z-y)$ делится на $x_1$, а скобка $((z-y)^2+3zy)$ делится на $x_1^2$, но при этом мы игнорируем то, что $(z-y)$ делится не на $x_1$, а на $x_1^3$. Если же мы принимаем сокращение лишь первой скобки, справа остается несократившийся $x_1^2$. Переходя от формы 1. к формам 2. и 3., мы снимаем это противоречие. И принимаем, что для примитивного решения $(z-y)=1$.

[mihaild]

dick, что такое "форма равенства"? Что такое "общая форма"?

dick в сообщении #1571585 писал(а):

Допустим, тройка чисел решения имеет общий множитель больше 1.

Ну если общий множитель у $x, y, z$ есть, то на него конечно можно сократить. Вы дальше рассуждаете в предположении, что он есть (это не очень интересно), или доказываете, что он есть?

[ivanovbp]

По последнему варианту:
А если x, y, z имеют другие варианты чётности (например, z и y чётные)?
Но главное: как всё это привязать к ВТФ?

[dick]

mihaild в сообщении #1571586 писал(а):

dick, что такое "форма равенства"? Что такое "общая форма"?

Под "формой равенства" я понимаю здесь вариант его записи. Например, равенство (1) можно представить в форме (1.1). Если не ошибаюсь, такие равенства называют эквивалентными. Аналогично этому, последние два из трех приведенных в предыдущем сообщении равенств, являются формами первого равенства, но в данном случае формами, которые возникают при выполнении неких условий. Что касается термина "общая форма" для (1.1), то я использовал его по соображениям эквивалентности с (1).

mihaild в сообщении #1571586 писал(а):

Ну если общий множитель у $x, y, z$ есть, то на него конечно можно сократить. Вы дальше рассуждаете в предположении, что он есть (это не очень интересно), или доказываете, что он есть?

Рассуждаю в предположении, что есть общий множитель больше 1.

[mihaild]

Рассуждения про форму непонятны. Если хотите рассмотреть, что происходит при дополнительных условиях - так и надо писать. "Пусть $y = 42$. Тогда из равенства (1) следует $x^3 + 74088 = z^3$". Рассматривать отдельные случаи можно, но теорема будет доказана только когда они в объединении дадут все варианты.

dick в сообщении #1571793 писал(а):

Рассуждаю в предположении, что есть общий множитель больше 1.

Хорошо, если общий множитель есть, то на него можно сократить. Таким образом, для доказательства ВТФ достаточно рассмотреть второй случай - когда общего множителя нет.

[dick]

Кроме слов

dick в сообщении #1571585 писал(а):

Допустим, тройка чисел решения имеет общий множитель больше 1. Пусть этот множитель $x_1$.

там есть кое что еще. Почему бы Вам не высказаться?