Так ли уж бесполезна матлогика?

[Mihr]

В последнее время на форуме участились (по-моему) высказывания о бесполезности или малополезности матлогики. Вот, например:

пианист в сообщении #1569180 писал(а):

матлогика узкий и очень специфический раздел, практически не связанный с основной частью математики.
Заниматься ею есть смысл, только если цель стать матлогиком.

Anton_Peplov в сообщении #1570679 писал(а):

При доказательстве теорем из анализа, алгебры и т.д. математическая логика не используется! Эрго, ее можно изучать до или после любых других предметов.

mihaild в сообщении #1570701 писал(а):

Почти во всей математике из матлогики нужны только совсем базовые вещи

Что ж, может быть, и так. Но ведь и базовые вещи нужно усвоить. Сами по себе в головах читателей/слушателей они, как правило, не зарождаются. Поэтому с мыслью о том, что матлогика почти бесполезна, лично мне как-то трудно согласиться.
Я уже упоминал когда-то о трудности, испытываемой рядом первокурсников, впервые осваивающих понятие линейной зависимости и линейной независимости векторов:

Mihr в сообщении #1189776 писал(а):

1. Неумение строить отрицания. Скажем, вызубрив фразу "система векторов линейно зависима, если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная нулевому вектору" ряд первокурсников продолжает так: "а если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная НЕнулевому вектору, то данная система векторов линейно НЕзависима".

Такое продолжение, несмотря на всю его нелепость, им кажется естественным. И они искренне удивляются, услышав, что это совершенно неправильно. Однако, скорее всего, они просто не говорили бы подобной чепухи, если бы изучили начала матлогики ДО знакомства с линейной алгеброй. Или, хотя бы, если бы изучение начал матлогики и остальной математики шло параллельно.
Обратимся к анализу. Целый ряд определений и доказательства многих теорем построены на языке «эпсилон — дельта». И что же это, если не матлогика (конкретно, логика предикатов)? Конечно, употребляемая вольно, «жаргонно», но всё же употребляемая? А в матанализе студенты успешнее строят отрицания, чем в алгебре? По-моему, нет. У меня не с одним «поколением» первокурсников происходил следующий диалог: «Вы поняли, что означает утверждение: данная функциональная последовательность сходится равномерно?» — «Да, поняли». — «Хорошо. Тогда объясните мне, что означает: данная функциональная последовательность не является равномерно сходящейся». — «Э-э-э… М-м-м… Н-н-ну...»
Кстати, по поводу равномерной сходимости. Мне кажется, объяснить, чем она отличается от «просто сходимости» человеку, который уже знаком с простейшими кванторными операциями и ясно представляет себе некоммутативность кванторов разного типа, было бы существенно проще, нежели тому, кто ещё никогда хотя бы начала матлогики не изучал. Поэтому задержка знакомства с матлогикой у студентов (математиков и технарей), на мой взгляд, выглядит не просто архаично, но и вредно.
Вот совсем уж удивительный пример. В некоторых учебниках матанализа, например, в уважаемом мною учебнике А.М. Тер-Крикорова и М.И. Шабунина авторы начинают доказывать, что $\overline{B}\to\overline{A}$ … после того как они уже доказали, что $A\to B$. Делается это примерно так. Рассматривается, скажем, признак сравнения для рядов с положительными членами. Доказано, что из сходимости ряда (2) вытекает сходимость ряда (1). Далее следует примерно вот что: «Если ряд (1) расходится, то и ряд (2) должен расходиться, так как если бы, вопреки этому утверждению, ряд (2) сходился бы, то, согласно уже доказанному, сходился бы и ряд (1), а он, по нашему предположению, расходится. Значит, ряд (2) обязан расходиться». Конечно, осмыслить сказанное здесь не так уж трудно. Но после осмысления возникает ощущение… пустословия. Трудно, разумеется, заподозрить уважаемых авторов учебников матанализа в логической безграмотности. Дело совсем в другом: они просто вынуждены писать в расчёте на студента, не знающего, что формулы $A\to B$ и $\overline{B}\to\overline{A}$ совершенно равносильны.
И вот ещё о чём хотелось бы сказать. Думаю, каждый или почти каждый из посетителей этого форума когда-то в детстве решал «логические задачи». И некоторые из них решались долго и трудно, с использованием пространных рассуждений. (Ну, я лично решал и порой уставал). А уже будучи взрослым, я открыл учебник матлогики Л.М. Лихтарникова и Т.Г. Сукачевой и узнал, что ряд подобных задач решается средствами алгебры логики — весьма эффективно и даже, можно сказать, эффектно… К тому же, нет в этом решении ничего такого, в чём не смог бы разобраться и школьник.
Пожалуй, я мог бы привести и другие аргументы «в пользу» матлогики. Но, мне кажется, в этом нет необходимости. Даже то немногое, что вспомнилось вот сейчас, сходу, говорит о том, что матлогика вовсе не бесполезна.

Возражения принимаются.

[Aritaborian]

Думаю, что уважаемые участники сообщества, пиная матлогику как какой-то выспренний предмет, имеют в виду всё же не банальное неумение строить примитивные логические построения, каковому умению стоит учить не то что в университетах, а гораздо раньше. А вы имеете в виду именно такое вот, простое. Имеющее отношение вообще к житейскому, общему мышлению. Из-за отсутствия которого получаем такие перлы, как, например, когда народные избранники считают, что нет необходимости изучать в школе английский, потому что мало кто из выпускников школ поедет в Лондон и будет спрашивать там дорогу на Трафальгар-сквер.

[vpb]

Mihr в сообщении #1570798 писал(а):

Однако, скорее всего, они просто не говорили бы подобной чепухи, если бы

1) Порешали простые задачки на сообразительность из книжки Спивака (1001 задача по математике), и притом
2) Имели бы достаточные врожденные способности, и к тому же не были бы оглуплены гаджетами в раннем возрасте.

Матлогика, считаю, тут ну ни при чем ! Лично мои способности к математическим рассуждениям с матлогикой никак не связаны --- мамой клянусь ! Не возможность что-то рассуждать о математике вытекает из того, что человек может правильно занести отрицание под квантор, а ровно наоборот !

-- 22.11.2022, 00:22 --

Aritaborian в сообщении #1570800 писал(а):

народные избранники считают, что нет необходимости изучать в школе английский, потому что мало кто из выпускников школ поедет в Лондон и будет спрашивать там дорогу на Трафальгар-сквер.

Довольно правильно считают, между прочим. Однако, давайте оставим депутатов в покое. К математике этот вопрос не относится.

[mihaild]

Я согласен, что какие-то основы исчислений высказываний и предикатов нужны. На первом курсе на семинарах по матанализу меня очень сильно огорчали записи $\exists \delta = \delta(\varepsilon)$ и вопросы "от чего зависит $x$ в этом определении" (и возможно из-за этих непонятно как и куда таскаемых зависимостей я так и не понял дифференциальное исчисление функций многих переменных).
Но это материал на одну-две лекции максимум, небольшой кусок базовых определений матлогики. А чуть более продвинутые вещи - теоремы о компактности, полноте, повышении и понижении мощности, элиминация кванторов и т.д. - это уже никакой не фундамент, а просто отдельный раздел математики, мало кому нужный.

[Mikhail_K]

mihaild в сообщении #1570806 писал(а):

На первом курсе на семинарах по матанализу меня очень сильно огорчали записи $\exists \delta = \delta(\varepsilon)$ и вопросы "от чего зависит $x$ в этом определении"

Кстати, а почему? Понятно, что часто можно просто написать $\exists\delta$. Но так же часто бывает нужно в эту зависимость что-нибудь подставить, например для каждого $\varepsilon$ рассмотреть величину $\delta(\varepsilon/2)$ - и как здесь обойтись без подчёркивания этой зависимости скобками?

Что касается вопросов "что от чего зависит" - а как без них вообще пояснять и понимать некоммутативность кванторов?

[Aritaborian]

vpb в сообщении #1570802 писал(а):

Довольно правильно считают, между прочим.

В каком смысле «правильно считают»? Я привёл это как пример того, когда люди, имеющие отношение к принятию важных решений, не в ладах с элементарной логикой, и чтобы подчеркнуть, как владение ею важно не только лишь для изученя математики. Вы не согласны?

[Sender]

mihaild в сообщении #1570806 писал(а):

Но это материал на одну-две лекции максимум, небольшой кусок базовых определений матлогики.

Кратко опишу своё знакомство с матлогикой. Когда-то поступил в довольно-таки неплохой физмат-лицей. И вот где-то на третий год обучения, классе в десятом, наш математик, что-то объясняя классу, походя поинтересовался: "Ну у вас же была матлогика?" Видимо, придя к правильному заключению при виде ужаса в глазах аудитории, он тут же начал излагать нам основы исчисления высказываний: множество $\{\text{И},\text{Л}\}$, на котором действуют булевы функции, конъюнкция, дизъюнкция, отрицание, импликация вместе со своими таблицами истинности. На последней остановился чуть подробнее, заметив, что из истины следует только истина, а из лжи следует всё, что угодно, поведал, как в средние века искажение этого правила позволяло с лёгкостью "доказать", что произвольно взятая женщина - ведьма. Законы де Моргана, доказательство от противного, кванторы и правила построения отрицаний выражений с ними... Весь курс молодого бойца уложился не то в одно, не то в два занятия, и в принципе этого оказалось более чем достаточно, чтобы вполне сносно управляться с произвольными доказательствами. Пока сам немного не заинтересовался автоматическими доказательствами, и слыхом не слыхивал ни о какой полноте пропозициональной резолюции, да даже о самом существовании Modus Ponens не подозревал, не говоря уж о большем.
Но да, к тому времени у меня, конечно, был некоторый опыт решения логических задач.

[EminentVictorians]

Mihr в сообщении #1570798 писал(а):

В последнее время на форуме участились (по-моему) высказывания о бесполезности или малополезности матлогики.

Тут важен контекст. Высказывания были вокруг темы  План изучения математики, где ТС предложил план:

musyakaKolbasyaka в сообщении #1570666 писал(а):

Вот мой план:
1.Общая логика
2.Математическая логика
3.Теория множеств и теория категорий
4.Абстрактная алгебра
5.Линейная алгебра
6.Математический анализ
7.Топология
8.Дифференциальная геометрия

А это более менее стандартная ситуация, когда перфекционизм берет верх над здравым смыслом и хочется максимально возможной строгости. У меня было примерно то же самое и я лечился кстати именно путем чтения книжки по матлогике. И мне даже помогло

Мне кажется, что проблема даже не в самой матлогике, а в мифе о том, что она является "основанием" математики. Если отбросить эту мысль и воспринимать матлогику как обычный раздел математики о текстах и формальных системах, то она внезапно становится довольно интересной наукой. Которая к тому же небесполезна для обычных разделов математики типа алгебры и анализа.

А вообще, надо будет как-нибудь создать "Тему о планах изучения математики", в которой можно будет попроверять на прочность разные подходы к изучению математики.

[пианист]

EminentVictorians в сообщении #1570855 писал(а):

Мне кажется, что проблема даже не в самой матлогике, а в мифе о том, что она является "основанием" математики. Если отбросить эту мысль и воспринимать матлогику как обычный раздел математики о текстах и формальных системах, то она внезапно становится довольно интересной наукой. Которая к тому же небесполезна для обычных разделов математики типа алгебры и анализа.

+1
Я, собс-но, только лишь попытался уберечь автора того топика от бессмысленных действий (впрочем, скорее всего безуспешно). Чтобы он, натурально, не имея элементарных математических знаний, не начал бы "строить себе добротную аксиомическую базу" путем изучения Мендельсона. Уверен, что из такого подхода к образованию ничего хорошего не получится.

[mihaild]

Mikhail_K в сообщении #1570811 писал(а):

например для каждого $\varepsilon$ рассмотреть величину $\delta(\varepsilon/2)$

Если нам потом важен характер этой зависимости, то его надо вынести в формулировку теоремы явно. $\forall \varepsilon P(\varepsilon / 2)$ и $\forall \varepsilon \exists \delta P(\delta)$ - это сильно разные утверждения.

Mikhail_K в сообщении #1570811 писал(а):

Что касается вопросов "что от чего зависит" - а как без них вообще пояснять и понимать некоммутативность кванторов?

Вот так и понимать. Порядок кванторов - уже строгий инструмент, никакие "зависимости" поверх него не нужны.

[Anton_Peplov]

Навыки использования кванторов можно и нужно формировать прямо в курсе анализа. Именно формировать, а не считать, что они у студентов уже есть. То есть проговаривать человеческим языком все эти $\forall \varepsilon>0 \, \exists \delta(\varepsilon)$, пока студенты не усвоят этот язык. Зубрить ради такого целую логику предикатов избыточно.

Основные операции логики высказываний - это в точности основные операции над множествами, так что о них можно рассказать на вводной лекции в тот же анализ. И потом, любой студент, пытавшийся программировать (а программировать сейчас многие начинают еще в школе) должен был сталкиваться с проверкой условий, связанных операциями "или" и "и".

[Mihr]

vpb в сообщении #1570802 писал(а):

1) Порешали простые задачки на сообразительность из книжки Спивака (1001 задача по математике), и притом
2) Имели бы достаточные врожденные способности, и к тому же не были бы оглуплены гаджетами в раннем возрасте.

1) Лично мне кажется, что освоить простой базовый курс матлогики (например, проработать уже упомянутый учебник Лихтарникова - Сукачевой) для большинства студентов было бы более простой, конкретной и достижимой целью, чем решение задач "на сообразительность" ради общего развития интеллекта - с плохо прогнозируемым результатом. Кто-то действительно почерпнет из Спивака очень много, а кто-то - почти ничего. И, в любом случае, учебник есть учебник. Его освоение адекватнее конечной цели, нежели просто общее развитие интеллекта.
2) А как же быть тем, у кого врожденные способности поскромнее, но по какой-то причине тоже требуется изучать математику? Насчёт гаджетов согласиться трудно. Гаджеты появились лишь в последние десятилетия. Ну, а трудности с усвоением математики студентами имеют куда более почтенный возраст.

EminentVictorians в сообщении #1570855 писал(а):

Тут важен контекст.

Но, по-моему, там были сделаны общие утверждения. Вне указанного контекста. Хотя, возможно, я неверно понял.

Anton_Peplov в сообщении #1570871 писал(а):

Навыки использования кванторов можно и нужно формировать прямо в курсе анализа.

Насчёт "можно" - согласен, насчёт нужно - нет. Можно (точнее, приходится) много чего попутно рассказывать (или напоминать) на матанализе: и элементы комбинаторики, и элементы алгебры, и метод математической индукции, и приёмы устного счёта... Матанализ здесь не исключение. Бывает, что на физике приходится напоминать, как решать дифференциальные уравнения... Это всё терпимо, но не более того. Если есть возможность изучать на матанализе именно матанализ, а знакомству с логикой посвятить отдельный цикл занятий, то лучше всего так и поступить. Имхо.

Anton_Peplov в сообщении #1570871 писал(а):

Зубрить ради такого целую логику предикатов избыточно.

Что значит "зубрить"? Зубрить вообще не полезно. Лучше логику предикатов выучить, а не зазубрить. Количество сил, которое на это тратится, ничтожно по сравнению с тем количеством сил, которое уходит на собственно матанализ. А окупается потом эта работа с лихвой.

[mihaild]

Mihr в сообщении #1570948 писал(а):

Лучше логику предикатов выучить, а не зазубрить. Количество сил, которое на это тратится ничтожно по сравнению с тем количеством сил, которое уходит на собственно матанализ.

А докуда у вас идет логика предикатов? Исчисление секвенций в неё входит? Теорема о понижении мощности?

[Mihr]

mihaild в сообщении #1570951 писал(а):

А докуда у вас идет логика предикатов?

Не доходит даже до исчисления предикатов. Понятие предиката, логические операции над предикатами, кванторные операции, раносильные формулы логики предикатов, предваренная нормальная форма, общезначимость и выполнимость формул. Всё! Для вузовского курса матанализа, алгебры этого вполне достаточно. И разобраться во всём этом можно за один-два вечера, мне кажется. Зато потом гораздо меньше путаницы в основных курсах математики.

mihaild в сообщении #1570951 писал(а):

Исчисление секвенций в неё входит? Теорема о понижении мощности?

Нет, конечно, лично я без этого вполне обойдусь.

[Anton_Peplov]

Mihr в сообщении #1570953 писал(а):

Не доходит даже до исчисления предикатов. Понятие предиката, логические операции над предикатами, кванторные операции, раносильные формулы логики предикатов, предваренная нормальная форма, общезначимость и выполнимость формул. Всё! Для вузовского курса матанализа, алгебры этого вполне достаточно. И разобраться во всём этом можно за один-два вечера, мне кажется.

Ну тогда вообще не понимаю, о чем мы тут спорим. Устроить ликбез на две лекции - это не то же, что прочитать курс логики предикатов.