Два одинаковых ряда

[Euler-Maskerony]

Здравствуйте. Пусть $p_n\# = p_1 \cdot p_2 \cdot ... \cdot p_n$ - праймориал, где $p_i$-$i$-ое простое число. Также пусть$p_n\#^{(2)} = (p_2-2)(p_3-2)...(p_n-2)$
Я выяснил, что:
$1-\frac{p_n\#^{(2)}}{p_n\#} \equiv \frac{1}{2} + \sum_{i=2}^{n} \frac{2}{p_i}\frac{p_{i-1}\#^{(2)}}{p_{i-1}\#}$
Проблема в том, что выражение слева сходится к $1$ как $\frac{1}{(\ln{n})^2}$.
Скорость сходимости суммы справа же это $\Theta(\frac{1}{\ln{n}})$, т.к. по интегральному признаку Коши интеграл $\int_{a}^{n} \frac{1}{x(\ln{x})^2} = \frac{1}{\ln{a}} - \frac{1}{\ln{n}}$. Если они тождественны, то почему скорости разные? Или я что-то не так понимаю и признак нельзя так использовать?

[RIP]

Справа тоже $O\left(\frac{1}{(\ln n)^2}\right)$, потому что $p_n\sim n\ln n$, так что слагаемые справа имеют порядок $\frac{1}{i(\ln i)^3}$.

[Euler-Maskerony]

RIP в сообщении #1569740 писал(а):

Справа тоже $O\left(\frac{1}{(\ln n)^2}\right)$, потому что $p_n\sim n\ln n$, так что слагаемые справа имеют порядок $\frac{1}{i(\ln i)^3}$.

Не знал о таком свойстве. Я опечатался. Ряд слева сходится со скоростью $\frac{1}{(\ln{p_n})^2}$. А справа со скоростью $\frac{1}{\ln{p_n}}$. В таком случае как рассуждать?

[RIP]

$\ln p_n\sim \ln n$

[Euler-Maskerony]

RIP в сообщении #1569743 писал(а):

$\ln p_n\sim \ln n$

Тогда вроде бы получается. Спасибо.

[Euler-Maskerony]

RIP в сообщении #1569743 писал(а):

$\ln p_n\sim \ln n$

Так а в левом случае, если $p_n=x$, то в правом $i=\frac{x}{\ln{x}}$. Это же влияет на рассчеты, если я ничего не путаю.

[RIP]

При логарифмировании разница пропадает. Погрешность слева имеет порядок $\frac{1}{(\ln p_n)^2}$, но $p_n\sim n\ln n$, поэтому $\ln p_n=\ln n+\ln\ln n+o(1)\sim\ln n$. При не очень больших $n$ разница заметна, но в пределе при $n\to\infty$ разницы нет.

[Euler-Maskerony]

RIP в сообщении #1569751 писал(а):

При логарифмировании разница пропадает. Погрешность слева имеет порядок $\frac{1}{(\ln p_n)^2}$, но $p_n\sim n\ln n$, поэтому $\ln p_n=\ln n+\ln\ln n+o(1)\sim\ln n$. При не очень больших $n$ разница заметна, но в пределе при $n\to\infty$ разницы нет.

А, понял. А почему эти выражения слева и справа равны, вы случайно не знаете?

[RIP]

Euler-Maskerony в сообщении #1569754 писал(а):

А почему эти выражения слева и справа равны, вы случайно не знаете?

Если обозначить $r_n=\frac{p_n\#^{(2)}}{p_n\#}$, то

$$r_n=r_{n-1}\left(1-\frac{2}{p_n}\right)=r_{n-1}-\frac{2}{p_n}\,r_{n-1}=r_{n-2}-\frac{2}{p_{n-1}}\,r_{n-2}-\frac{2}{p_n}\,r_{n-1}=\dotsb$$

[Euler-Maskerony]

RIP в сообщении #1569755 писал(а):

Euler-Maskerony в сообщении #1569754 писал(а):

А почему эти выражения слева и справа равны, вы случайно не знаете?

Если обозначить $r_n=\frac{p_n\#^{(2)}}{p_n\#}$, то

$$r_n=r_{n-1}\left(1-\frac{2}{p_n}\right)=r_{n-1}-\frac{2}{p_n}\,r_{n-1}=r_{n-2}-\frac{2}{p_{n-1}}\,r_{n-2}-\frac{2}{p_n}\,r_{n-1}=\dotsb$$

Понятно. Спасибо.