2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Два одинаковых ряда
Сообщение11.11.2022, 17:57 
Аватара пользователя


11/10/19
101
Здравствуйте. Пусть $p_n\# = p_1 \cdot p_2 \cdot ... \cdot p_n$ - праймориал, где $p_i$-$i$-ое простое число. Также пусть$p_n\#^{(2)} = (p_2-2)(p_3-2)...(p_n-2)$
Я выяснил, что:
$1-\frac{p_n\#^{(2)}}{p_n\#} \equiv \frac{1}{2} + \sum_{i=2}^{n} \frac{2}{p_i}\frac{p_{i-1}\#^{(2)}}{p_{i-1}\#}$
Проблема в том, что выражение слева сходится к $1$ как $\frac{1}{(\ln{n})^2}$.
Скорость сходимости суммы справа же это $\Theta(\frac{1}{\ln{n}})$, т.к. по интегральному признаку Коши интеграл $\int_{a}^{n} \frac{1}{x(\ln{x})^2} = \frac{1}{\ln{a}} - \frac{1}{\ln{n}}$. Если они тождественны, то почему скорости разные? Или я что-то не так понимаю и признак нельзя так использовать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Два одинаковых ряда
Сообщение11.11.2022, 18:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Справа тоже $O\left(\frac{1}{(\ln n)^2}\right)$, потому что $p_n\sim n\ln n$, так что слагаемые справа имеют порядок $\frac{1}{i(\ln i)^3}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два одинаковых ряда
Сообщение11.11.2022, 18:25 
Аватара пользователя


11/10/19
101
RIP в сообщении #1569740 писал(а):
Справа тоже $O\left(\frac{1}{(\ln n)^2}\right)$, потому что $p_n\sim n\ln n$, так что слагаемые справа имеют порядок $\frac{1}{i(\ln i)^3}$.

Не знал о таком свойстве. Я опечатался. Ряд слева сходится со скоростью $\frac{1}{(\ln{p_n})^2}$. А справа со скоростью $\frac{1}{\ln{p_n}}$. В таком случае как рассуждать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Два одинаковых ряда
Сообщение11.11.2022, 18:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
$\ln p_n\sim \ln n$

 Профиль  
                  
 
 Re: Два одинаковых ряда
Сообщение11.11.2022, 18:32 
Аватара пользователя


11/10/19
101
RIP в сообщении #1569743 писал(а):
$\ln p_n\sim \ln n$

Тогда вроде бы получается. Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два одинаковых ряда
Сообщение11.11.2022, 19:38 
Аватара пользователя


11/10/19
101
RIP в сообщении #1569743 писал(а):
$\ln p_n\sim \ln n$

Так а в левом случае, если $p_n=x$, то в правом $i=\frac{x}{\ln{x}}$. Это же влияет на рассчеты, если я ничего не путаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два одинаковых ряда
Сообщение11.11.2022, 19:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
При логарифмировании разница пропадает. Погрешность слева имеет порядок $\frac{1}{(\ln p_n)^2}$, но $p_n\sim n\ln n$, поэтому $\ln p_n=\ln n+\ln\ln n+o(1)\sim\ln n$. При не очень больших $n$ разница заметна, но в пределе при $n\to\infty$ разницы нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два одинаковых ряда
Сообщение11.11.2022, 20:02 
Аватара пользователя


11/10/19
101
RIP в сообщении #1569751 писал(а):
При логарифмировании разница пропадает. Погрешность слева имеет порядок $\frac{1}{(\ln p_n)^2}$, но $p_n\sim n\ln n$, поэтому $\ln p_n=\ln n+\ln\ln n+o(1)\sim\ln n$. При не очень больших $n$ разница заметна, но в пределе при $n\to\infty$ разницы нет.

А, понял. А почему эти выражения слева и справа равны, вы случайно не знаете?

 Профиль  
                  
 
 Re: Два одинаковых ряда
Сообщение11.11.2022, 20:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Euler-Maskerony в сообщении #1569754 писал(а):
А почему эти выражения слева и справа равны, вы случайно не знаете?
Если обозначить $r_n=\frac{p_n\#^{(2)}}{p_n\#}$, то
$$r_n=r_{n-1}\left(1-\frac{2}{p_n}\right)=r_{n-1}-\frac{2}{p_n}\,r_{n-1}=r_{n-2}-\frac{2}{p_{n-1}}\,r_{n-2}-\frac{2}{p_n}\,r_{n-1}=\dotsb$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Два одинаковых ряда
Сообщение11.11.2022, 20:11 
Аватара пользователя


11/10/19
101
RIP в сообщении #1569755 писал(а):
Euler-Maskerony в сообщении #1569754 писал(а):
А почему эти выражения слева и справа равны, вы случайно не знаете?
Если обозначить $r_n=\frac{p_n\#^{(2)}}{p_n\#}$, то
$$r_n=r_{n-1}\left(1-\frac{2}{p_n}\right)=r_{n-1}-\frac{2}{p_n}\,r_{n-1}=r_{n-2}-\frac{2}{p_{n-1}}\,r_{n-2}-\frac{2}{p_n}\,r_{n-1}=\dotsb$$

Понятно. Спасибо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group