Еще один вариант для кубов

[dick]

mihaild
Если $x$ не делится на 3, две скобки правой части это взаимно простые числа, а если их произведение это куб, то каждая скобка - куб.

-- 03.11.2022, 09:44 --

venco
Верно. Но что же получается? Видим, что делить можно, но знаем, что делит нельзя, потому что $z$ и $y$ станут дробями.
А может $(z-y)=1$? Тогда и делим и не делим одновременно.

[dick]

Дело в том, что согласно (1.1) $(z-y)$ это куб, но из того же (1.1) следует, что $x$ делится на основание этого куба. При делении $x$ на это основание, в той же пропорции сократились бы $z$ и $y$, а вместе с ними и $(z-y)$. Выходит, что число $(z-y)$ является и кубом, и основанием этого куба. Значит это единица.

[venco]

Нет

[dick]

Почему?

[venco]

$z^3-y^3$ делится на $z-y$ для любых различных целых $z$ и $y$, что вы собственно и обнаружили. При этом делимость $z$ и $y$ на $z-y$ может быть любая. И то, что вы не можете поделить отдельно $z^3$ и $y^3$ не говорит ни о чём.

Пример, чтобы понятнее было:
$7^3-4^3=279=31\cdot 3^2$, но отдельно ни $7^3$ ни $4^3$ на 3 поделить нельзя.

[dick]

Я высказал некие соображения по поводу равенства (1.1), с учетом известных условий.
Вы не согласились с этими соображениями. Очевидно, вы видите в них ошибку.
Так укажите эту ошибку.

[venco]

Бесполезно

[dick]

Вернемся к началу темы.

dick в сообщении #1566133 писал(а):

После сокращения (1.1) на $x$ и несложных преобразований получим:
$x^2-b=3(k_2-k_1)(x+k_2+k_1)$ (1.2);
Поскольку правая часть (1.2) всегда делится на 6, то левая также всегда делится на 6. Следовательно, если $x$ не делится на 3, то $b=1$ или $x=k_2^3-k_1^3$.

gris

gris в сообщении #1566136 писал(а):

Вот тут немножко непонятно: почему бы бэ не быть семёркой или двумястами девяноста пятью? Чего сразу единичка?

$5^2-1=6\cdot 4;\quad 5^2-7=6\cdot 3;\quad 49^2-295=6\cdot 351$

Чего не догоняю?

mihaild

mihaild в сообщении #1566153 писал(а):

Меня не устраивает, что утверждение dick в сообщении #1566133
писал(а):
$b=1$ не доказано.

Докажем, что $b=1$.
Поскольку $bx=bx_1x_2=(z-y)((z-y)^2+3k_1k_2)$ и $(z-y)=x_1^3$ (3), должно быть
$b=(z-y)^{2/3}$ (4), или
$x^2=3(k_2-k_1)(x+k_2+k_1)+(z-y)^{2/3} $ (5.1).
С другой стороны, если возвести $x=a+(z-y)$ (2);, в квадрат, получим:
$x^2=(a^2+2a(z-y))+(z-y)^2$ (5.2).
То есть, часть числа $x^2$, не кратная 6, является квадратом основания куба $(z-y)$, и ,в тоже время, является квадратом самого куба $(z-y)$.

[mihaild]

Соберите всё в один пост, пожалуйста. Не хочется по всей теме выискивать, что как определяется, что доказано, а что нет.

[dick]

Предположим, что выполняется равенство: $x^3+y^3=z^3$ (1); где $x,y,z$ – взаимно простые натуральные числа, $z,y$- числа разной четности, а $x$- нечетное.
Требуется доказать, что при указанных условиях $z$ и $y$ это соседние числа.
Начнем с простого, перепишем (1) в виде: $x^3=z^3-y^3=(z-y)((z-y)^2+3zy)$ (1.1);
Предположим, что $x$ не делится на 3, тогда обе скобки правой части (1.1) являются кубами, так что $(z-y)=x_1^3$ и $((z-y)^2+3zy)=x_2^3$.
Если бы $x,y,z$ не были бы взаимно простыми числами, то (1.1) можно было бы сократить на $x_1^3$ и получить новое равенство (1):$x_2^3+y_2^3=z_2^3$ (1.2);
Но $x,y,z$ по условию не имеют общего множителя, значит сократить (1), без потери натуральности наших чисел, мы не можем, несмотря на то что (1.1) предоставляет такую возможность. Единственным выходом остается признать, что общим множителем в данном случае является единица, то есть $(z-y)=1$.

[mihaild]

dick в сообщении #1571112 писал(а):

несмотря на то что (1.1) предоставляет такую возможность

Что это значит?

dick в сообщении #1571112 писал(а):

Единственным выходом остается признать, что общим множителем в данном случае является единица

Общим множителем между чем и чем?

И давайте аналогично на квадратах: $x = 35$, $y = 12$, $z = 37$, $x^2 = (z - y)\cdot (z + y) = 5^2 \cdot 7^2$, что вы сокращать хотите?

[dick]

mihaild в сообщении #1571128 писал(а):

Что это значит?

Это значит, что ясно выделены кубы слева и справа. И младшие кубы не содержат ничего лишнего, только $x,y,z$.

mihaild в сообщении #1571128 писал(а):

Общим множителем между чем и чем?

Между $x,y,z$.

mihaild в сообщении #1571128 писал(а):

И давайте аналогично на квадратах: $x = 35$, $y = 12$, $z = 37$, $x^2 = (z - y)\cdot (z + y) = 5^2 \cdot 7^2$, что вы сокращать хотите?

У Ваших чисел нет общих множителей, кроме 1 конечно. А если Вы имели ввиду, что 37-12 это не единица, то ведь квадраты не имеют отношения к теореме.

[mihaild]

dick в сообщении #1571155 писал(а):

Это значит, что ясно выделены кубы слева и справа. И младшие кубы не содержат ничего лишнего, только $x,y,z$.

Что значит "равенство предоставляет возможность сокращения"?

В общем, откуда вы взяли, что на $z - y$ можно сократить и получить сумму двух кубов?

dick в сообщении #1571155 писал(а):

то ведь квадраты не имеют отношения к теореме

А каким свойством кубов, не выполненным для квадратов, вы пользовались?

[dick]

mihaild в сообщении #1571161 писал(а):

Что значит "равенство предоставляет возможность сокращения"?

В общем, откуда вы взяли, что на $z - y$ можно сократить и получить сумму двух кубов?

Не пойму, что Вас смущает. Если у тройки $x,y,z$ есть общий множитель больше 1, можно сократить тройку и получить новое равенство $x_2^3+y_2^3=z_2^3$.

mihaild в сообщении #1571161 писал(а):

А каким свойством кубов, не выполненным для квадратов, вы пользовались?

В текущем раунде никаким. Разве что не приводил числовых примеров с кубами.

[mihaild]

dick в сообщении #1571286 писал(а):

Не пойму, что Вас смущает. Если у тройки $x,y,z$ есть общий множитель больше 1, можно сократить тройку и получить новое равенство $x_2^3+y_2^3=z_2^3$.

Меня смущает, что вы не говорите, какой это будет общий множитель в случае $z - y > 1$, и тем более не доказываете, что он действительно будет.

dick в сообщении #1571286 писал(а):

В текущем раунде никаким

Тогда если бы ваше рассуждение доказывало, что $z - y = 1$ для кубов, она доказывало бы это и для квадратов, а для квадратов это неверно.