Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.

[Батороев]

waxtep в сообщении #1568019 писал(а):

скорее, не корень, а что-то вроде $\ln^4p$ (логарифм в четвёртой степени).

Если Вы имели в виду заменить в (3) $p_{t}+2$ на $ \ln^4p$, то неравенство сразу приобретает обратный знак.
А вот в неравенстве (4) в случае предлагаемой мной замены:

$$\dfrac {P_{2}}{P_{1}}>\dfrac {S_{2}}{S_{1}}\cdot \sqrt{p_{t}+2}\eqno {(4)}$$

все вроде бы соблюдается (в пределах достигаемости моих расчетов), но правая часть растет очень медленно. Может быть, она имеет предел или перелом в дальнейшем, не знаю.

-- 29 окт 2022 13:46 --

waxtep в сообщении #1568065 писал(а):

Тогда, в (2) $p_t+2$ попадет в $S_0$, а в (1) - вовсе нет.

Условно это $S_{0}$ считаем за крайнее $S_{1}$. Разницы с моей точки зрения, никакой нет.

-- 29 окт 2022 14:01 --

Указанное $S_{0}$ не сокращаемое число, в отличие от всех предыдущих подобных.

[waxtep]

Батороев в сообщении #1568107 писал(а):

Условно это $S_{0}$ считаем за крайнее $S_{1}$. Разницы с моей точки зрения, никакой нет.

Предлагаете "спрятать" $p_t+2$ в $S_1$? Можно, но Вы уверены, что при таком, новом определении $S_1$ дробь $\frac{S_2}{S_1}$ будет хотя бы больше единицы для достаточно больших $p_t$? Теперь оно начнет убывать к нулю потихоньку, чем дальше направо мы пойдем

[Батороев]

waxtep
Дробь $\frac {S_{2}}{S_{1}}$ несомненно будет меньше единицы для любых $t$, т.к. рассматривает совокупность отношений составных, примыкающих к простому числу (или паре близнецов) снизу ($S_{2}$), к составным, примыкающим к этому же простому сверху ($S_{1}$).
Дробь $\frac {S_{2}}{S_{1}}\cdot\sqrt{p_{t}+2}$ имеет отличие, заключающееся в том, что последнее число $s_{1t}=p_{t}+2$ берется не полным, а частичным (корень из него). Это приводит к тому, что неравенство:

Батороев в сообщении #1568107 писал(а):

$$\dfrac {P_{2}}{P_{1}}>\dfrac {S_{2}}{S_{1}}\cdot \sqrt{p_{t}+2}\eqno {(4)}$$

во-первых, соблюдается, а во-вторых, и в левой, и правой частях имеются возрастающие функции, по крайней мере, об этом говорят мои скромные расчеты.
Вопрос заключается в том, будет ли правая часть, продвигаясь вверх относительно моих расчетов, расти неограниченно или же имеет предел (или "перегиб", т.е. экстремум)?

-- 31 окт 2022 14:09 --

Наверное, можно ответ получить и теоретически, определив предел выражения:

$$\prod\limit_{i=m}^t\dfrac {s_{1i}-4}{s_{1i}}\cdot \sqrt {s_{1t}}\eqno {(5)}$$

при $t$, стремящемся к бесконечности, имея в виду, что при некотором $m$ простые числа-близнецы "закончились" и разность в каждой паре составных: $s_{1i}-s_{2i}=4$

[waxtep]

Батороев в сообщении #1568390 писал(а):

Дробь $\frac {S_{2}}{S_{1}}$ несомненно будет меньше единицы для любых $t$, т.к. рассматривает совокупность отношений составных, примыкающих к простому числу (или паре близнецов) снизу ($S_{2}$), к составным, примыкающим к этому же простому сверху ($S_{1}$).

Да? Тогда, видимо, я не совсем правильно понимаю Вашу систему обозначений, давайте попробуем разобраться. Например, для $p_t=53$ я считал, что $S_1=25\cdot33\cdot49,S_2=27\cdot35\cdot51$ - произведения соответствующих чисел, не превышающих $53$; и тогда, конечно, $S_2>S_1$, как в этом примере, так и в любом другом. При этом в формуле $(2)$ надо еще отдельно учесть множитель $55$; он не входит ни в какое $S_j$ или $P_j$ просто потому что великоват.

Но возможно Вы по-другому делаете, типа в $(1)$ - числа не превышающие $p_t$, а в $(2)$ - не превышающие $p_t+2$, тогда в этом примере $S_1=25\cdot33\cdot49\cdot55,S_2=27\cdot35\cdot51$ и $S_2<S_1$, и надо аккуратно следить, что с чем можно сокращать. В таких обозначениях бывает как $S_2<S_1$ (если $p_t+2$ - "неизолированное составное, примыкающее к простому сверху"), так и $S_2>S_1$ (если $p_t+2$ - изолированное составное или простое).

Понятно, что на результат вычислений выбор обозначений не влияет, вопрос личных предпочтений и привычек. Мне больше первый из двух способов выше нравится, в нем всегда $S_2>S_1$, это удобно.

Еще мелкий вопрос, у Вас $p_1=3$ или $5$? Я так понял, что $5$. На самом деле, раз мы пытаемся доказать бесконечность близнецов, можно откинуть сколь угодно длинное (конечное) начало ряда, важно только как эти величины ведут себя "на бесконечности" (при достаточно больших $p_t$). Поэтому вот это совершенно нестрашно:

Батороев в сообщении #1568107 писал(а):

Если Вы имели в виду заменить в (3) $p_{t}+2$ на $ \ln^4p$, то неравенство сразу приобретает обратный знак.

[Батороев]

waxtep
У нас есть полная свобода, что-за что принимать... в зависимости от подхода.

(Оффтоп)

и пока учебники по этой теме не написаны

Чтобы получить доказательство, есть два варианта:
1. Получить неравенство, в котором отношение произведения бОльших близнецов к произведению меньших больше бесконечно возрастающей функции (это мой вариант с использованием корня из крайнего числа, но с сомнением бесконечности возрастания такой функции). Под функцией я подразумеваю правую часть неравенств.
2. Получить неравенство, в котором отношение произведения меньших близнецов к произведению бОльших меньше бесконечно убывающей функции.

Остальные варианты не подходят, т.е. показать, что отношение произведения бОльших близнецов к произведению меньших меньше постоянно возрастающей функции, не ведет к противоречию (что и происходит в Вашем случае с использованием четвертой степени логарифма). Также не будет продуктивным и неравенство, в котором отношение произведения меньших близнецов к бОльшим больше бесконечно убывающей функции.

[waxtep]

Раз свобода, предлагаю первого способа придерживаться, то есть:
а) пусть $p,s$ - упорядоченные естественным образом последовательности простых чисел больших $3$ и нечетных составных чисел соответственно, т.е. $p_1=5,p_2=7,\ldots,s_1=9,s_2=15,\ldots$;
б) определим зависящие от натурального индекса $t$ произведения

$$\begin{cases} P_0(t)=\!\!\prod\limits_{\substack{i\leqslant t\\p_i\pm2\not\in\mathbb{P}}}\!\!\!p_i,\;S_0(t)=\!\!\prod\limits_{\substack{s_i<p_t\\s_i\pm2\in\mathbb{P}}}\!\!\!s_i\\ \\ P_1(t)=\!\!\prod\limits_{\substack{i\leqslant t\\p_i+2\in\mathbb{P}}}\!\!\!p_i,\;S_1(t)=\!\!\prod\limits_{\substack{s_i<p_t\\s_i-2\in\mathbb{P}\\s_i+2\not\in\mathbb{P}}}\!\!\!s_i\\\\ P_2(t)=\!\!\prod\limits_{\substack{2\leqslant i\leqslant t\\p_i-2\in\mathbb{P}}}\!\!\!p_i,\;S_2(t)=\!\!\prod\limits_{\substack{s_i<p_t\\s_i-2\not\in\mathbb{P}\\s_i+2\in\mathbb{P}}}\!\!\!s_i\\ \end{cases}$$

Например, для $t=10,p_t=37$ и

$$\begin{cases}P_0(10)=23\cdot37,\,S_0(10)=9\cdot15\cdot21\\ P_1(10)=5\cdot11\cdot17\cdot29,\,S_1(10)=25\cdot33\\ P_2(10)=7\cdot13\cdot19\cdot31,\,S_2(10)=27\cdot35\end{cases}$$

Далее, в этих обозначениях имеем:

$$G(t)=\prod\limits_{i=1}^{t}\frac{p_i+2}{p_i-2}=\frac{p_t+2}3\cdot\frac{P_2(t)}{P_1(t)}\cdot\frac{S_1(t)}{S_2(t)}\,\Rightarrow\,\frac{P_2(t)}{P_1(t)}=\frac{3G(t)}{p_t+2}\cdot\frac{S_2(t)}{S_1(t)}$$

Теперь, чтобы вывести противоречие из предположения, что простых близнецов лишь конечное число, достаточно доказать, что $\dfrac{S_2(t)}{S_1(t)}$ с ростом $t$ растет быстрее (или, наоборот, медленнее - это тоже годится!), чем $\dfrac{p_t}{G(t)}$; необязательно на корень, хотя бы чуть-чуть быстрее/медленнее, уже будет вполне достаточно. Получится ли? Мне кажется, к сожалению, нет: пусть $f$ - индекс последнего простого близнеца в последовательности $p$, и $t>f$, тогда

$$\frac{S_1(f)}{S_2(f)}\cdot\frac{S_2(t)}{S_1(t)}=\frac{p_{f+1}-2}{p_f+2}\cdot\frac{p_{f+2}-2}{p_{f+1}+2}\cdot\ldots\cdot\frac{p_{t-1}-2}{p_{t-2}+2}\cdot\frac{p_{t}-2}{p_{t-1}+2}=\frac{G(f)}{p_f+2}\cdot\frac{p_t-2}{G(t-1)}=\frac{G(f)}{p_f+2}\cdot\frac{p_t+2}{G(t)}$$

а это ровно скорость роста $\dfrac{p_t}{G(t)}$, - ни шага в сторону не получилось

[waxtep]

Грызет меня червячок неаккуратности, давайте концовку выпишу поточнее, выделив добавленный текст:

Теперь, чтобы вывести противоречие из предположения, что простых близнецов лишь конечное число, достаточно доказать, что в этом предположении $\dfrac{S_2(t)}{S_1(t)}$ с ростом $t$ растет быстрее (или, наоборот, медленнее - это тоже годится!), чем $\dfrac{p_t}{G(t)}$; необязательно на корень, хотя бы чуть-чуть быстрее/медленнее, уже будет вполне достаточно. Получится ли? Мне кажется, к сожалению, нет: пусть $f$ - индекс последнего простого близнеца в последовательности $p$, и $t>f$, тогда, поскольку при сделанном предположении и изолированные составные числа закончились, можно записать

$$\frac{S_1(f)}{S_2(f)}\cdot\frac{S_2(t)}{S_1(t)}=\frac{p_{f+1}-2}{p_f+2}\cdot\frac{p_{f+2}-2}{p_{f+1}+2}\cdot\ldots\cdot\frac{p_{t-1}-2}{p_{t-2}+2}\cdot\frac{p_{t}-2}{p_{t-1}+2}=\frac{G(f)}{p_f+2}\cdot\frac{p_t-2}{G(t-1)}=\frac{G(f)}{p_f+2}\cdot\frac{p_t+2}{G(t)}$$

а это ровно скорость роста $\dfrac{p_t}{G(t)}$, - ни шага в сторону не получилось, и, в полном соответствии со сделанным предположением, получаем

$$t\geqslant f\Rightarrow\frac{G(t)}{p_t+2}\cdot\frac{S_2(t)}{S_1(t)}=\operatorname{const}$$

[Батороев]

waxtep в сообщении #1568975 писал(а):

изолированные составные числа закончились

Не возьму в толк, на чем основывается данное утверждение. Или это - всего лишь предположение?

-- 05 ноя 2022 14:42 --

Изолированные составные числа яляются показателем наличия двоюродных простых чисел (простых, отличающихся друг от друга на $4$), но не простых чисел-близнецов. Т.е. для отсутствия изолированных чисел вкупе со сделанным предположением надо, как минимум, доказывать, что двоюродные простые заканчиваются одновременно (или раньше) простых чисел-близнецов. Боюсь, что эта задача такая же не тривиальная, как и рассматриваемая нами.

[waxtep]

Батороев в сообщении #1568983 писал(а):

Изолированные составные числа яляются показателем наличия двоюродных простых чисел (простых, отличающихся друг от друга на $4$), но не простых чисел-близнецов.

Да, Вы правы, ерунду написал, имеет смысл дальше поразмышлять

-- 05.11.2022, 14:31 --

Вот так будет аккуратно:

Теперь, чтобы вывести противоречие из предположения, что простых близнецов лишь конечное число, достаточно доказать, что в этом предположении $\dfrac{S_2(t)}{S_1(t)}$ с ростом $t$ растет быстрее (или, наоборот, медленнее - это тоже годится!), чем $\dfrac{p_t}{G(t)}$; необязательно на корень, хотя бы чуть-чуть быстрее/медленнее, уже будет вполне достаточно. Получится ли? Мне кажется, к сожалению, нет: пусть $f$ - индекс последнего простого близнеца в последовательности $p$, и $t>f$, тогда, поскольку при сделанном предположении и изолированные составные числа закончились, можно записать

$$\frac{S_1(f)}{S_2(f)}\cdot\frac{S_2(t)}{S_1(t)}=\frac{p_{f+1}-2}{p_f+2}\cdot\frac{p_{f+2}-2}{p_{f+1}+2}\cdot\ldots\cdot\frac{p_{t-1}-2}{p_{t-2}+2}\cdot\frac{p_{t}-2}{p_{t-1}+2}=\frac{G(f)}{p_f+2}\cdot\frac{p_t-2}{G(t-1)}=\frac{G(f)}{p_f+2}\cdot\frac{p_t+2}{G(t)}$$

(поскольку для изолированных составных чисел $p_i+2=p_{i+1}-2$, и соответствующие изолированным составным дроби - это единицы), а это ровно скорость роста $\dfrac{p_t}{G(t)}$, - ни шага в сторону не получилось, и, в полном соответствии со сделанным предположением, получаем

$$t\geqslant f\Rightarrow\frac{G(t)}{p_t+2}\cdot\frac{S_2(t)}{S_1(t)}=\operatorname{const}$$

[waxtep]

...говоря человеческим языком, возможность сплошной записи

$$\frac{S_2(t)}{S_1(t)}=\frac{S_2(f)}{S_1(f)}\cdot\prod\limits_{i=f}^{t-1}\frac{p_{i+1}-2}{p_i+2}$$

с использованием всех пар простых $(p_i,p_{i+1}),f\leqslant i\leqslant t-1$, без пропусков, опирается на два соображения:

а) наше предположение, что $f$ - индекс последнего близнеца в последовательности $p$, и для $i\geqslant f$ невозможно $p_i+2>p_{i+1}-2$ (что характерно именно для близнецов);
б) определение изолированного составного, для которого выполняется $p_i+2=p_{i+1}-2$; но раз так, в этом случае $\dfrac{p_{i+1}-2}{p_i+2}=1$ и таких дробей в произведение можно добавлять сколько угодно по вкусу.

Ну а все остальные пары, где $p_i+2<p_{i+1}-2$, входят в произведение по праву: $p_i+2$ в $S_1(t)$, а $p_{i+1}-2$ в $S_2(t)$, откуда и выводится в итоге

$$t\geqslant f\Rightarrow\frac{G(t)}{p_t+2}\cdot\frac{S_2(t)}{S_1(t)}=\frac{G(f)}{p_f+2}\cdot\frac{S_2(f)}{S_1(f)}=\operatorname{const}$$