Лоренцево сокращение длины и времени

[kzv]

Задача: стержень с собственной длиной $l_0=5.2\text{ m}$ движется со скоростью $V=0.866c$. На концах стержня закреплены синхронизированные, в системе отсчета связанной со стержнем, часы.
В момент времени $t_0=t^\prime_0=0$, один конец стержня пролетает через начало координат, точку $O$. Сколько времени будут показывать неподвижные часы в точке $O$, когда через нее пролетит второй конец стержня? Сколько времени будут показывать часы, закрепленные на другом конце стержня?

Решение:
Длина стержня в системе отсчета $K$:
$l=AO=l_0\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}$

Время, за которое точка $A$ долетит до дочки $O$ в системе отчета $K$:
$t=\frac{l}{V}=\frac{l_0\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}{V}=\frac{5.2\sqrt{1-0.75}}{0.866c}=10 \text{ nanosec}$

Время на часах, связанных со стержнем:
$t^\prime=\frac{l_0}{V}=20\text{ nanosec}$

Я понять не могу: или где-то в решении ошибка или в дальнейших моих рассуждениях: если в момент времени $t^\prime_0=0$ в точке $B$ родится нестабильная частица, а в момент прохождения точки $B$ через точку $O$ частица распадется, то получается, что по часам в собственной системе отсчета частица живет дольше, чем по часам в системе отсчета $K$?

[Ende]

kzv
Для обозначения единиц измерения в блоке \text можно и нужно использовать кириллицу: $5{,}2 \; \text {м}$

[Geen]

Судя по рисунку, у Вас всё неправильно, а все (возможные) совпадения с правильными ответами случайны.
Не говоря уж о том, что обозначения надо вводить до их использования - возможно это я просто глупый, но я так и не догадался что такое точка $B$.

[kzv]

Geen в сообщении #1568628 писал(а):

Судя по рисунку, у Вас всё неправильно, а все (возможные) совпадения с правильными ответами случайны.
Не говоря уж о том, что обозначения надо вводить до их использования - возможно это я просто глупый, но я так и не догадался что такое точка $B$.

А как правильно рисунок к этой задаче нарисовать?
Точка $B$ - это левый конец стержня. Эта точка имеет разные координаты в разных системах отсчета. В системе отсчета $K$, точка $B$ совпадает с точкой $A$, в момент времени $t_0=0$

Я вроде бы уже сам понял где ошибка: в вычислении $t^\prime$ скорее всего. Думаю теперь, что правильный ответ $t^\prime=t=10\text{ нс}$

[DimaM]

kzv в сообщении #1568619 писал(а):

Время на часах, связанных со стержнем:
$t^\prime=\frac{l_0}{V}=20\text{ nanosec}$

На каких из часов?
Глядя на летящий стержень, мы увидим, что часы на его концах показывают разное время.

[мат-ламер]

kzv в сообщении #1568619 писал(а):

Я понять не могу: или где-то в решении ошибка

Формулы в первом посту в принципе правильные. Только перепутаны системы отсчёта. Неподвижные часы в точке $O$ покажут $20$ наносекунд. Часы на движущемся стержне в момент встречи с точкой $O$ покажут $10$ наносекунд. Если помните парадокс близнецов, то движущийся близнец стареет медленее.

[DimaM]

мат-ламер в сообщении #1568672 писал(а):

Формулы в первом посту в принципе правильные. Только перепутаны системы отсчёта. Неподвижные часы в точке $O$ покажут $20$ наносекунд. Часы на движущемся стержне в момент встречи с точкой $O$ покажут $10$ наносекунд.

А если честно посчитать?

-- 02.11.2022, 18:19 --

kzv в сообщении #1568619 писал(а):

если в момент времени $t^\prime_0=0$ в точке $B$ родится нестабильная частица, а в момент прохождения точки $B$ через точку $O$ частица распадется, то получается, что по часам в собственной системе отсчета частица живет дольше, чем по часам в системе отсчета $K$?

В момент прохождения начала стержня через точку $O$ задние часы показывают 15 нс. Когда точка $B$ поравняется с точкой $O$, эти часы покажут 20 нс. Разница показаний часов будет меньше, чем в системе $K$.

[мат-ламер]

DimaM в сообщении #1568674 писал(а):

А если честно посчитать?

После того, как стал разбираться, я уже перестал понимать, что такое точка $A$ , а что такое точка $B$ . И какой конец стержня называется "другим", а какой "вторым"? Окончательно моё понимание смутила фраза:

DimaM в сообщении #1568674 писал(а):

В момент прохождения начала стержня через точку $O$ задние часы показывают 15 нс.

После чего сделал вывод, что видимо я неправильно понял условие.

[DimaM]

мат-ламер в сообщении #1568677 писал(а):

После чего сделал вывод, что видимо я неправильно понял условие.

Батыгин, Топтыгин, Сборник задач по электродинамике, задача № 549.

[kzv]

Я все таки думаю, что в момент встречи точки $B$ и точки $O$, часы на стержне и в точке $O$ будут показывать одинаковое время, вот почему:
Наблюдатель в точке $B$ видит летящую на него точку $O$, поэтому в момент времени $t^\prime_0=0$, расстояние $BO$ для наблюдателя на стержне меньше собственной длины стержня
$BO=AO=l_0\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}$

Более правильным будет наверное такой рисунок:


Где $K^\prime$ - это система отсчета с точки зрения наблюдателя в точке $B$

[DimaM]

kzv в сообщении #1568683 писал(а):

Я все таки думаю, что в момент встречи точки $B$ и точки $O$, часы на стержне и в точке $O$ будут показывать одинаковое время

Вместо последующих рукомахательных рассуждений следует записать преобразования Лоренца и увидеть, что время будет разным.

[svv]

kzv, на Вашей последней картинке в системе $K$ в момент $t=0$ через $x=0$ проходит задний конец стержня (потому что передний уже прошёл), а по условию должен передний.

[kzv]

DimaM в сообщении #1568674 писал(а):

В момент прохождения начала стержня через точку $O$ задние часы показывают 15 нс

По условию задачи, в этот момент задние часы показывают то же самое, что и передние. То есть ноль в системе отсчета стержня.
Задние часы будут показывать 15 только если они будут синхронизированы в системе отсчета $K$, но по условию задачи они синхронизированы в системе отсчета, связанной со стержнем.

[zykov]

kzv в сообщении #1568683 писал(а):

Наблюдатель в точке $B$ видит летящую на него точку $O$, поэтому в момент времени $t^\prime_0=0$, расстояние $BO$ для наблюдателя на стержне меньше собственной длины стержня

Классическая ошибка, когда забывают про относительность одновременности.
Точка B будет линией в 4-мерном пространстве времени.
Для двух СО одновременными с точкой O в данный момент будут две разные 4-точки на линии B.

[DimaM]

kzv в сообщении #1568688 писал(а):

По условию задачи, в этот момент задние часы показывают то же самое, что и передние. То есть ноль в системе отсчета стержня.

Так это в системе стержня. А мы говорим про систему $K$.
В системе стержня в момент совмещения передних часов стержня с точкой $O$ часы системы $K$, находящиеся напротив задних, будут показывать меньше нуля.

kzv в сообщении #1568688 писал(а):

Задние часы будут показывать 15 только если они будут синхронизированы в системе отсчета $K$, но по условию задачи они синхронизированы в системе отсчета, связанной со стержнем.

Все правильно, только наоборот.
Нужно вначале обговорить, какую СО считаем неподвижной.

Посмотрите Батыгина-Топтыгина, там есть краткий разбор.