2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Лоренцево сокращение длины и времени
Сообщение01.11.2022, 21:17 


15/09/20
198
Задача: стержень с собственной длиной $l_0=5.2\text{ m}$ движется со скоростью $V=0.866c$. На концах стержня закреплены синхронизированные, в системе отсчета связанной со стержнем, часы.
В момент времени $t_0=t^\prime_0=0$, один конец стержня пролетает через начало координат, точку $O$. Сколько времени будут показывать неподвижные часы в точке $O$, когда через нее пролетит второй конец стержня? Сколько времени будут показывать часы, закрепленные на другом конце стержня?

Решение:
Длина стержня в системе отсчета $K$:
$l=AO=l_0\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}$

Время, за которое точка $A$ долетит до дочки $O$ в системе отчета $K$:
$t=\frac{l}{V}=\frac{l_0\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}{V}=\frac{5.2\sqrt{1-0.75}}{0.866c}=10 \text{ nanosec}$

Время на часах, связанных со стержнем:
$t^\prime=\frac{l_0}{V}=20\text{ nanosec}$

Я понять не могу: или где-то в решении ошибка или в дальнейших моих рассуждениях: если в момент времени $t^\prime_0=0$ в точке $B$ родится нестабильная частица, а в момент прохождения точки $B$ через точку $O$ частица распадется, то получается, что по часам в собственной системе отсчета частица живет дольше, чем по часам в системе отсчета $K$?

Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Лоренцево сокращение длины и времени
Сообщение01.11.2022, 22:16 
Админ форума


02/02/19
2470
 i  kzv
Для обозначения единиц измерения в блоке \text можно и нужно использовать кириллицу: $5{,}2 \; \text {м}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Лоренцево сокращение длины и времени
Сообщение01.11.2022, 22:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
4656
Судя по рисунку, у Вас всё неправильно, а все (возможные) совпадения с правильными ответами случайны.
Не говоря уж о том, что обозначения надо вводить до их использования - возможно это я просто глупый, но я так и не догадался что такое точка $B$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лоренцево сокращение длины и времени
Сообщение02.11.2022, 08:12 


15/09/20
198
Geen в сообщении #1568628 писал(а):
Судя по рисунку, у Вас всё неправильно, а все (возможные) совпадения с правильными ответами случайны.
Не говоря уж о том, что обозначения надо вводить до их использования - возможно это я просто глупый, но я так и не догадался что такое точка $B$.

А как правильно рисунок к этой задаче нарисовать?
Точка $B$ - это левый конец стержня. Эта точка имеет разные координаты в разных системах отсчета. В системе отсчета $K$, точка $B$ совпадает с точкой $A$, в момент времени $t_0=0$

Я вроде бы уже сам понял где ошибка: в вычислении $t^\prime$ скорее всего. Думаю теперь, что правильный ответ $t^\prime=t=10\text{ нс}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Лоренцево сокращение длины и времени
Сообщение02.11.2022, 12:02 
Заслуженный участник


28/12/12
7911
kzv в сообщении #1568619 писал(а):
Время на часах, связанных со стержнем:
$t^\prime=\frac{l_0}{V}=20\text{ nanosec}$

На каких из часов?
Глядя на летящий стержень, мы увидим, что часы на его концах показывают разное время.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лоренцево сокращение длины и времени
Сообщение02.11.2022, 14:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7060
kzv в сообщении #1568619 писал(а):
Я понять не могу: или где-то в решении ошибка

Формулы в первом посту в принципе правильные. Только перепутаны системы отсчёта. Неподвижные часы в точке $O$ покажут $20$ наносекунд. Часы на движущемся стержне в момент встречи с точкой $O$ покажут $10$ наносекунд. Если помните парадокс близнецов, то движущийся близнец стареет медленее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лоренцево сокращение длины и времени
Сообщение02.11.2022, 14:14 
Заслуженный участник


28/12/12
7911
мат-ламер в сообщении #1568672 писал(а):
Формулы в первом посту в принципе правильные. Только перепутаны системы отсчёта. Неподвижные часы в точке $O$ покажут $20$ наносекунд. Часы на движущемся стержне в момент встречи с точкой $O$ покажут $10$ наносекунд.

А если честно посчитать?

-- 02.11.2022, 18:19 --

kzv в сообщении #1568619 писал(а):
если в момент времени $t^\prime_0=0$ в точке $B$ родится нестабильная частица, а в момент прохождения точки $B$ через точку $O$ частица распадется, то получается, что по часам в собственной системе отсчета частица живет дольше, чем по часам в системе отсчета $K$?

В момент прохождения начала стержня через точку $O$ задние часы показывают 15 нс. Когда точка $B$ поравняется с точкой $O$, эти часы покажут 20 нс. Разница показаний часов будет меньше, чем в системе $K$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лоренцево сокращение длины и времени
Сообщение02.11.2022, 15:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7060
DimaM в сообщении #1568674 писал(а):
А если честно посчитать?

После того, как стал разбираться, я уже перестал понимать, что такое точка $A$ , а что такое точка $B$ . И какой конец стержня называется "другим", а какой "вторым"? Окончательно моё понимание смутила фраза:
DimaM в сообщении #1568674 писал(а):
В момент прохождения начала стержня через точку $O$ задние часы показывают 15 нс.

После чего сделал вывод, что видимо я неправильно понял условие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лоренцево сокращение длины и времени
Сообщение02.11.2022, 15:09 
Заслуженный участник


28/12/12
7911
мат-ламер в сообщении #1568677 писал(а):
После чего сделал вывод, что видимо я неправильно понял условие.

Батыгин, Топтыгин, Сборник задач по электродинамике, задача № 549.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лоренцево сокращение длины и времени
Сообщение02.11.2022, 15:14 


15/09/20
198
Я все таки думаю, что в момент встречи точки $B$ и точки $O$, часы на стержне и в точке $O$ будут показывать одинаковое время, вот почему:
Наблюдатель в точке $B$ видит летящую на него точку $O$, поэтому в момент времени $t^\prime_0=0$, расстояние $BO$ для наблюдателя на стержне меньше собственной длины стержня
$BO=AO=l_0\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}$

Более правильным будет наверное такой рисунок:
Изображение

Где $K^\prime$ - это система отсчета с точки зрения наблюдателя в точке $B$

 Профиль  
                  
 
 Re: Лоренцево сокращение длины и времени
Сообщение02.11.2022, 15:17 
Заслуженный участник


28/12/12
7911
kzv в сообщении #1568683 писал(а):
Я все таки думаю, что в момент встречи точки $B$ и точки $O$, часы на стержне и в точке $O$ будут показывать одинаковое время

Вместо последующих рукомахательных рассуждений следует записать преобразования Лоренца и увидеть, что время будет разным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лоренцево сокращение длины и времени
Сообщение02.11.2022, 15:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10887
Crna Gora
kzv, на Вашей последней картинке в системе $K$ в момент $t=0$ через $x=0$ проходит задний конец стержня (потому что передний уже прошёл), а по условию должен передний.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лоренцево сокращение длины и времени
Сообщение02.11.2022, 15:35 


15/09/20
198
DimaM в сообщении #1568674 писал(а):
В момент прохождения начала стержня через точку $O$ задние часы показывают 15 нс

По условию задачи, в этот момент задние часы показывают то же самое, что и передние. То есть ноль в системе отсчета стержня.
Задние часы будут показывать 15 только если они будут синхронизированы в системе отсчета $K$, но по условию задачи они синхронизированы в системе отсчета, связанной со стержнем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лоренцево сокращение длины и времени
Сообщение02.11.2022, 15:42 
Заслуженный участник


18/09/21
1756
kzv в сообщении #1568683 писал(а):
Наблюдатель в точке $B$ видит летящую на него точку $O$, поэтому в момент времени $t^\prime_0=0$, расстояние $BO$ для наблюдателя на стержне меньше собственной длины стержня
Классическая ошибка, когда забывают про относительность одновременности.
Точка B будет линией в 4-мерном пространстве времени.
Для двух СО одновременными с точкой O в данный момент будут две разные 4-точки на линии B.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лоренцево сокращение длины и времени
Сообщение02.11.2022, 15:44 
Заслуженный участник


28/12/12
7911
kzv в сообщении #1568688 писал(а):
По условию задачи, в этот момент задние часы показывают то же самое, что и передние. То есть ноль в системе отсчета стержня.

Так это в системе стержня. А мы говорим про систему $K$.
В системе стержня в момент совмещения передних часов стержня с точкой $O$ часы системы $K$, находящиеся напротив задних, будут показывать меньше нуля.

kzv в сообщении #1568688 писал(а):
Задние часы будут показывать 15 только если они будут синхронизированы в системе отсчета $K$, но по условию задачи они синхронизированы в системе отсчета, связанной со стержнем.

Все правильно, только наоборот.
Нужно вначале обговорить, какую СО считаем неподвижной.

Посмотрите Батыгина-Топтыгина, там есть краткий разбор.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 31 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group