Простые основы утверждения Пьера Ферма.

[VladStro]

Предположительно прямоугольный треугольник большего размера выраженный уравнением $A^n + B^n = C^n$ со сторонами $\sqrt{A^n}; \sqrt{B^n}; \sqrt{C^n}$ приводится к меньшему подобному прямоугольному треугольнику, путем деления этого уравнения $(\frac {A^f} {C^f}) A^2 + (\frac {B^f} {C^f})B^2 = (\frac {C^f} {C^f})C^2$; на коэффициент кратности $C^f$ квадрата диаметра окружности описанной вокруг этого предположительно прямоугольного треугольника.
Если уравнение отражает прямоугольный треугольник, то приводится к уравнению в целых квадратах, а если не приводится, то отвечать равенству это уравнение не может.

[mihaild]

mihaild в сообщении #1568177 писал(а):

Определение треугольника приведите, пожалуйста

[VladStro]

Треуго́льник — геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой.

-- Сб окт 29, 2022 19:50:59 --

Уважаемый mihaild, хотелось бы понять, вы против того, чтобы треугольники выражались в виде равенства как их записывал, допустим, Пифагор $A^2 + B^2 = C^2$; или неравенства аналогичного вида?

[mihaild]

VladStro в сообщении #1568183 писал(а):

Треуго́льник — геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой

Правильно. Вопрос: является ли уравнение $A^n + B^n = C^n$ геометрической фигурой?

VladStro в сообщении #1568183 писал(а):

хотелось бы понять, вы против того, чтобы треугольники выражались в виде равенства как их записывал, допустим, Пифагор $A^2 + B^2 = C^2$; или неравенства аналогичного вида?

Ну разве что вы строго определите, что это значит, но я сомневаюсь, что у вас получится.
Я совершенно не возражаю против алгебраических выражений, в которых что-то говорится про, например, длины сторон треугольника. Но нужно предварительно сказать, о каком треугольнике речь.
Теорема Пифагора полностью формулируется так: пусть у некоторого прямоугольного треугольника длины катетов равны $A$ и $B$, а длина гипотенузы $C$. Тогда $A^2 + B^2 = C^2$.
Есть и обратная: пусть $A^2 + B^2 = C^2$. Тогда существует прямоугольный треугольник, длины катетов которого равны $A$ и $B$, а длина гипотенузы $C$.
Но нельзя говорить "$A^2 + B^2 = C^2$ - треугольник". Это категориальная ошибка.

(Оффтоп)

Сильно сомневаюсь, что Пифагор использовал подобные обозначения

[VladStro]

Хорошо, (спасибо за совет) пусть у некоторого (предположительно) прямоугольного треугольника длины катетов равны $\sqrt{A^n}; \sqrt{B^n}$, а длина гипотенузы $\sqrt{C^n}$. Тогда $A^n + B^n = C^n$. И далее переходим к доказательству, правильно?

Я писал ранее: Предположительно прямоугольный треугольник большего размера выраженный уравнением $A^n + B^n = C^n$ со сторонами $\sqrt{A^n}; \sqrt{B^n}; \sqrt{C^n}$ - эта фраза, непонятна, так? Необходимо было правильно ставить слова в предложении.

А надо было: Предположительно прямоугольный треугольник большего размера со сторонами $\sqrt{A^n}; \sqrt{B^n}; \sqrt{C^n}$ выраженный уравнением $A^n + B^n = C^n$ - вот так то ведь, не ошибка же уже?

[mihaild]

Это всё еще ошибка, потому что не сказано, что значит "треугольник выражен уравнением".
Видимо, так. Пусть $A$, $B$, $C$ - целочисленное решение уравнения $A^n + B^n = C^n$. Рассмотрим треугольник со сторонами $\sqrt{A^n}$, $\sqrt{B^n}$, $\sqrt{C^n}$ (его стороны уже не обязательно целочисленные). Он прямоугольный. Что дальше?

[VladStro]

Хорошо, но я ведь нигде в расчетах и не использую (эти, не обязательно целочисленные) значения сторон $\sqrt{A^n}$, $\sqrt{B^n}$, $\sqrt{C^n}$; их я привожу только для информирования аудитории о том, что я хочу рассмотреть это уравнение как квадратное. Поэтому деление на коэффициент кратности квадрата гипотенузы производится для извлечения из выражения квадратных степеней всех членов уравнения (т.е., именно целочисленных значений).

[mihaild]

В итоге, мы начинаем с треугольника со сторонами $\sqrt{A^n}$, $\sqrt{B^n}$ и $\sqrt{C^n}$, или с какого-то другого?
Что мы с ним делаем дальше?

[VladStro]

Огромное спасибо за советы. На своём сайте https://teorema.ucoz.net/ я убрал (благодаря вашим рекомендациям) из доказательства все упоминания о треугольниках, теперь там речь идёт только об уравнениях. Ещё раз спасибо.

[Aritaborian]

Оч. круто. А теперь было бы неплохо сделать то же самое и для стартового сообщения этого топика.

[VladStro]

Рассмотрим уравнение $A^n + B^n = C^n$; → $A^n + B^n = C^fC^2$; (2 + f = n; целое число) как квадратное с коэффициентами при переменных. Здесь $C^f$ - коэффициент кратности квадрата переменной правой части уравнения. Делим все члены выражения на этот коэффициент.
$(\frac{A^n}{C^f}) + (\frac{B^n}{C^f}) = (\frac{C^n}{C^f})$; →
$(\frac {A^f} {C^f}) A^2 + (\frac {B^f} {C^f})B^2 = (\frac {C^f} {C^f})C^2$; →
$(\frac {A^f} {C^f}) A^2 < A^2$; $(\frac {B^f}{C^f})B^2 < B^2$; →
Предполагаемое тождество не приводится к формуле Пифагора $A^2 + B^2 = C^2$ в целых квадратах переменных, следовательно:
$(\frac {A^f} {C^f}) A^2 + (\frac {B^f}{C^f})B^2 \ne C^2$; →
$A^n + B^n \ne C^n$

Предполагаемое тождество $A^n + B^n = C^n$ не является выполняемым равенством $A^n + B^n \ne C^n$ в натуральных числах при любых целых показателях степеней n > 2.

[Mikhail_K]

VladStro в сообщении #1568267 писал(а):

Предполагаемое тождество не приводится к формуле Пифагора А2 + В2 = С2 в целых квадратах сторон

Ошибка в том, что для Ваших $A,B,C$ и не должна выполняться формула Пифагора $A^2+B^2=C^2$. Ниоткуда не следует, что Ваши $A,B,C$ должны быть длинами сторон прямоугольного треугольника, поэтому Вы не можете пользоваться формулой Пифагора.

Ну смотрите, если взять $A=1$, $B=2$, $C=3$, то для этих $A,B,C$ формула Пифагора не выполняется: $A^2+B^2=1^2+2^2=5$, а $C^2=9$, так что $A^2+B^2\neq C^2$. И никакого противоречия нет, это просто значит, что $A=1$, $B=2$, $C=3$ не являются сторонами прямоугольного треугольника.

Так же и у Вас: если $A^n+B^n=C^n$, то ниоткуда не следует, что $A,B,C$ должны быть сторонами прямоугольного треугольника. Так что доказав $A^2+B^2\neq C^2$, Вы не получаете никакого противоречия: формула Пифагора и не должна выполняться.

Ещё Вы представляли равенство $A^n+B^n=C^n$ в виде $(\sqrt{A^n})^2+(\sqrt{B^n})^2=(\sqrt{C^n})^2$. Это значит, что $\sqrt{A^n}$, $\sqrt{B^n}$, $\sqrt{C^n}$ являются длинами сторон прямоугольного треугольника (если равенство $A^n+B^n=C^n$ справедливо). Но $A,B,C$ не являются и не должны являться.

VladStro в сообщении #1568262 писал(а):

я убрал (благодаря вашим рекомендациям) из доказательства все упоминания о треугольниках, теперь там речь идёт только об уравнениях.

Суть в том, что если убрать все упоминания о треугольниках, то Вы не сможете использовать формулу Пифагора - она только для длин сторон прямоугольных треугольников справедлива.

[VladStro]

Уважаемый Mikhail_K большое спасибо за комментарий. Вы привели вариант чисел, при возведении в степень которых, равенство невозможно в принципе, т.к., одна из переменных не способна возводится в степень вообще (и да, именно потому что не треугольник, все три точки принадлежат одной прямой), видимо поэтому Ферма и сделал свою запись в разделе прямоугольных треугольников «Арифметика» Диофанта (исторические данные). Хорошо, я подумаю, и попробую внести некоторые изменения. Позднее напишу что получилось.

[Mikhail_K]

VladStro в сообщении #1568309 писал(а):

одна из переменных не способна возводится в степень вообще

Это какая именно неспособна?

-- 30.10.2022, 19:18 --

VladStro
Подумайте ещё вот о чём: где в Вашем доказательстве используется, что числа $A,B,C$ целые?
Как Вы думаете: подойдёт ли Ваше рассуждение для того, чтобы доказать невозможность равенства $A^n+B^n=C^n$ при $n>2$ для любых, в том числе дробных, чисел $A,B,C>0$?
Если не подойдёт, то какой именно шаг Вашего доказательства не работает при дробных $A,B,C$?

[VladStro]

На первый вопрос: Я имел ввиду единицу.
Для того чтобы не указывать треугольники в пояснениях, думаю можно указать условие $(\frac{A + B}{C}) > 1$ для рассматриваемых уравнений, иначе уравнения уже заведомо не имеют решений.