Недоказуемое

[Anton_Peplov]

EminentVictorians в сообщении #1567339 писал(а):

Я тоже, как и Skipper, считаю, что уж как минимум по отношению к утверждениям о натуральных числах абсолютная истина есть.

А чем, по-Вашему, натуральные числа лучше геометрии? Тем, что считать Вы научились в детском саду, а про Евклида узнали в седьмом классе?

[EminentVictorians]

Anton_Peplov в сообщении #1567341 писал(а):

А чем, по-Вашему, натуральные числа лучше геометрии?

Пример с геометриями - это из той оперы, когда возникает путаница "базовых аксиом" и "аксиом - определений". Аксиомы, например, группы или категории - это "аксиомы - определения". Мы фиксируем некоторый список требований, который определяет класс математических объектов, ему удовлетворяющих. Конечно, можно сказать, что аксиомы $\operatorname{ZFC}$ - это тоже аксиомы, которые определяют класс математических объектов под названием "универсум множеств $\operatorname{ZFC}$" и поэтому они ничем не отличаются от "аксиом-определений". Кстати, можно даже усилить этот аргумент моим же примером с категориями и сказать, что аксиомы категории - это ETAC (элементарная теория абстрактной категории), и на основе этой ETAC можно строить математику так же, как и на основе $\operatorname{ZFC}$ (не знаю, насколько это правда, сам никогда так строить не пробовал). И, мол, мои же "аксиомы - определения" категории превратились в "базовые аксиомы" ETAC.

Я понимаю эти возражения, но несмотря на них все равно считаю содержательным разграничивать "базовые аксиомы" и "аксиомы определения". Я провожу черту между ними следующим образом. "Аксиомы - определения", в отличие от "базовых аксиом", не пытаются выдернуть меня за пределы обычной человеческой логики в область формальных теорий. Можно не знать ни одну формальную теорию, и это никак не помешает изучать те же группы (да и категории). [кстати именно поэтому мне не нравится тезис о том, что теория категорий находится где-то на уровне теории множеств или матлогики; для меня теория категорий по духу - это примерно как алгебра (и кстати по всей видимости пытаться понять алгебру без теории категорий похоже практически нереально, но это уже совсем оффтоп)]

"Базовые аксиомы" напротив не просто определяют класс математических объектов, а еще и начинают меня учить, что значит доказательство, какие методы рассуждений мне доступны, что значит "существует" и все в таком духе.

Так вот. На геометрические аксиомы я смотрю, как на "аксиомы определения". Есть требования для объектов из геометрии Лобачевского, есть модель для этих объектов. Все как с группами: есть определение группы, есть модели групп.

Но с натуральными числами ситуация видится мне иной. Да, есть аксиомы Пеано, про которые говорят, что они якобы определяют натуральные числа. Я отношу аксиомы Пеано к "базовым аксиомам", потому что они не просто определяют математический объект, а еще и говорят мне, какие допустимые методы рассуждений у меня есть. Определяют ли они натуральные числа? На мой взгляд нет. Они определяют "формальные натуральные числа" (неделимые три слова), про которые можно сказать, что в какой-то мере эти "формальные натуральные числа" являются моделью обычных натуральных чисел. Здесь напрашивается аналогия с множествами: можно сказать, что $ZFC$ определяет "формальные множества", которые являются моделью обычных множеств.

Но здесь есть существенное отличие от натуральных чисел. Я действительно могу согласиться, что мы не знаем, что такое "обычные множества". Я могу согласиться, что, возможно, существуют разные универсумы множеств. Но я не могу поверить в то, что мы не знаем, что такое "обычные натуральные числа".

Когда Вы говорите, что для натуральных чисел нужна такая же аксиоматизация, как и для множеств, и/или что аксиомы Пеано определяют натуральные числа, это становится эквивалентным тому, что Вы признаете, что не существует единой, общей для всех людей интуиции натуральных чисел. Я не представляю, как такое может быть. И мне было бы очень интересно послушать аргументы на этот счет.

[Skipper]

EminentVictorians, спасибо, подробно расписали. Я бы так не мог написать, но по сути, я то же самое имею в виду.

В случае с геометриями, евклидовой и неевклидовой, мы бы запрограммировали для каких-то целей ДВА компьютера, и один считал бы какие то задачи в евклидовой геометрии,
а второй компьютер считал бы какие то задачи в неевклидовой геометрии.

Но в случае с проверкой натуральных чисел на простоту, и выяснением простое ли каждое число - может быть только ОДИН такой компьютер, да и код программы - элементарный в несколько строк.

А значит гипотетический такой компьютер, который вычислил бы бесконечно большое количество операций, выдал бы единый результат, не зависящий от того, какие мы приняли бы аксиомы, для того принять эту гипотезу или нет.

Может быть у человеческой цивилизации нету такого гипотетического компьютера, а в будущем, у какой нибудь сверхцивилизации во Вселенной, он может быть?
Просто не могу найти слов, как донести своё понимание "абсолютной истины".
Вот "я существую" - это же абсолютная истина - для каждого из нас?

[Anton_Peplov]

EminentVictorians в сообщении #1567344 писал(а):

Вы признаете, что не существует единой, общей для всех людей интуиции натуральных чисел. Я не представляю, как такое может быть.

Можете ли Вы представить себе, что не существует единой, общей для всех людей интуиции о разрезании шара на конечное число частей?

-- 22.10.2022, 15:29 --

Skipper в сообщении #1567347 писал(а):

вычислил бы бесконечно большое количество операций

Взаимно исключающие параграфы. Бесконечное множество потому и бесконечное, что до конца дойти невозможно. Все равно, десять чисел вы будете перебирать за секунду, $10^{10}$ или $10^{100000}$. Перебор никогда не закончится, и компьютер никогда не выдаст результат.

[EminentVictorians]

Anton_Peplov в сообщении #1567350 писал(а):

Можете ли Вы представить себе, что не существует единой, общей для всех людей интуиции о разрезании шара на конечное число частей?

Я уже писал об этом в другой теме, поэтому лучше процитирую.

EminentVictorians в сообщении #1540763 писал(а):

Тут надо различать. Например, для меня "парадокс" Банаха-Тарского никакой не парадокс и вполне естественная вещь. Манипуляции с неизмеримыми множествами привели к неинтуитивному результату - что здесь удивительного? Можно так же удивляться существованию функций с несколькими пределами в какой-нибудь нехаусдорфовой топологии, но по сути это не более, чем артефакт определений. Вполне естественная ситуация.

Нету общей интуиции о разрезании шара потому что понятие "разрез" само нуждается в строгом определении (строгое - не значит формальное! парадокс Банаха-Тарского никуда за пределы обычной человеческой логики не уводит). В нем скорее речь идет о соотношении между моделями и реальностью, о строгости определений или о каких-то подобных сюжетах. С натуральными числами затрагиваются не эти темы, поэтому пример не очень релевантен.

[Anton_Peplov]

Боюсь, не могу вполне понять различений, которые Вы делаете.

И вообще, все эти разговоры о том, какая интуиция у людей есть, а какой нет, и какие натуральные числа "настоящие", отдают любительской философией. Такое было очень популярно в начале XX века, а потом математики устали разговоры разговаривать. Кому было интересно - пошел в логику и метаматематику доказывать конкретные теоремы. Остальные занялись другими делами.

[EminentVictorians]

Anton_Peplov в сообщении #1567354 писал(а):

Боюсь, не могу вполне понять различений, которые Вы делаете.

Все просто. Есть проблема простых близнецов. Я утверждаю, что у нее есть однозначный ответ: "да" или "нет". Вы утверждаете, что это не факт, что так. Вы, насколько я могу понять, стоите на той точке зрения, что проблема простых близнецов может иметь такой же статус, как, например, континуум гипотеза.

Я предлагаю посмотреть на всю эту историю комплексно. Если взять континуум-гипотезу, то на нее дан ответ "недоказуемо средствами $ZFC$". Удовлетворительный ли это ответ? Зависит от человека. Если человек отождествляет математические утверждения и доказательства со строками формальной $ZFC$, то для него этот ответ удовлетворительный. $ZFC$ (сначала неформальная, а потом и формальная) была создана как попытка ограничить ничем не ограниченные средства построения множеств, которые допускает "наивная" теория множеств. Потому что понятие множества сложное и у людей нету общей интуиции относительно того, как можно и нельзя оперировать множествами. И хоть для меня эта точка зрения довольно дикая, я готов на время с ней согласиться и принять ее.

Но дальше мы начинаем рассматривать объект, гораздо более простой, чем универсум множеств - натуральные числа. Могут ли у разных людей быть различные представления о натуральных числах? Я не понимаю, как такое может быть. Мне кажется, что все мы мыслим натуральные числа одинаковым образом. Собственно, в этом и заключается один из моих аргументов против аксиом Пеано: они не определяют натуральные числа категоричным образом: существуют нестандартные модели. Для меня презумпция о категоричности натуральных чисел зашита в подкорке: если формальный метод ей противоречит, то проблема в формальном методе, а не в натуральных числах.

Я уже говорил, что аксиоматизация натуральных чисел эквивалентна отрицанию презумпции об их категоричности. Вот я и хочу услышать аргументы, как может случиться так, что разные люди могут по-разному мыслить натуральные числа и их противоречия будут настолько непреодолимыми, что придется вводить аксиоматизацию натуральных чисел.

[mihaild]

EminentVictorians, вот давайте я скажу, что на самом деле есть натуральное число $x$, кодирующее доказательство противоречивости арифметики. Оно большое, записать его ни в какой нотации, о которой есть возможность договориться, мы не сможем. Но я готов вам объявлять разные его свойства: оно чётное, имеет $y$ (тоже больше чем можно записать) простых делителей, 17я с начала цифра в десятичной системе равна 3 и т.д. Как вы собираетесь ловить меня на лжи?
(Точнее меня поймать сможете, потому что у PA нет вычислимых нестандартных моделей, но если бы у меня был доступ к нужному оракулу, то не смогли бы)

[Skipper]

Anton_Peplov в сообщении #1567350 писал(а):

Бесконечное множество потому и бесконечное, что до конца дойти невозможно. Все равно, десять чисел вы будете перебирать за секунду, $10^{10}$ или $10^{100000}$. Перебор никогда не закончится, и компьютер никогда не выдаст результат.

Есть гипотеза о бесконечном количестве простых чисел близнецов.
Вы утверждаете, что если докажут недоказуемость нынешними средствами, то на вопрос о том, истинна она или нет, может оказаться так - что нет абсолютного ответа?

И он будет зависеть от того, какую следующую аксиому я приму, что эквивалентно, приму саму эту гипотезу как аксиому.
Вот так -
1) захотел я, и гипотеза стала для меня истинной.
2) ну а если не захотел, и принял отрицание как аксиому, то гипотеза стала ложной.

Т.е. я своим субъективным усилием воли, могу сделать эту гипотезу истинной или ложной, и буду прав. Верно я понимаю?
(в самом деле, если нет абсолютной истины..)

[EminentVictorians]

mihaild в сообщении #1567362 писал(а):

Как вы собираетесь ловить меня на лжи?

Я не очень въехал в конструкцию. Т.е. Вы как бы просто вбрасываете твиттер-подобные утверждения об этом числе $x$ без заявки на их истинность и предлагаете мне их доказать? Или утверждаете, что они истинны? Просто если утверждаете, я не очень понимаю о чем речь. Ну покажете мне доказательство, я его прочитаю. И если пойму и соглашусь, то стану по итогу немного умнее))

[mihaild]

Я утверждаю, что у меня тут дома лежит модель натуральных чисел, в которой есть доказательство противоречивости арифметики. Сама модель в сообщение не уместится, но я готов отвечать вам на вопросы про неё.
Если бы я сказал, что у меня есть модель, в которой есть самое большое простое число, то вы бы меня смогли поймать (стандартно попросив перемножить все простые числа, прибавить единицу и назвать простой делитель). А вот с числом, кодирующим противоречивость арифметики, вы меня поймать не сможете, потому что у PA правда есть модель, в которой есть такое число.

[EminentVictorians]

mihaild, я не могу понять, где это все противоречит моей философии. Ну есть у $PA$ такая модель, в ней есть какое-то большое число. Это число обладает какими-то свойствами (как и любое другое число). Почему я должен как-то особенно переживать по этому поводу?

[mihaild]

EminentVictorians в сообщении #1567369 писал(а):

Почему я должен как-то особенно переживать по этому поводу?

Потому что это число кодирует доказательство противоречивости PA.

[Padawan]

EminentVictorians в сообщении #1567360 писал(а):

Собственно, в этом и заключается один из моих аргументов против аксиом Пеано: они не определяют натуральные числа категоричным образом: существуют нестандартные модели.

Я совершенно согласен с Вашими доводами об общей для всех математиков интуиции натуральных чисел. Я уже на форуме высказывался об этом (https://dxdy.ru/topic116500.html). Типа того, что если мы не знаем, что такое натуральные числа, что мы вообще можем знать? Какая может быть теорема Гёделя? Какие могут быть формальные системы? Это всё стоит на прочном фундаменте натуральных чисел, которые "создал Бог", по выражению Кронекера.
Насчёт аксиом Пеано - они категоричны, если аксиому индукции сформулировать в логике второго порядка: для любого множества $A\subset \mathbb N$ из того, что $1\in A$ и $\forall n\in A\Rightarrow n+1\in A$ следует $A=\mathbb N$.

mihaild в сообщении #1567370 писал(а):

Потому что это число кодирует доказательство противоречивости PA.

Доказательства противоречивости PA быть не может, т. к. у неё есть модель -- обычные натуральные числа. Так что числа, кодирующего такое доказательство, не существует.

[mihaild]

Padawan в сообщении #1567395 писал(а):

Доказательства противоречивости PA быть не может, т. к. у неё есть модель -- обычные натуральные числа.

В этой модели такого доказательства нет. Но у арифметики есть модель, в которой есть (естественно нестандартное) число, кодирующее доказательство противоречивости арифметики. Потому что если бы такой модели не было, то отсутствие такого доказательства доказывалось бы в арифметике, что противоречит второй теорема о неполное.