Зачем нужна матлогика?

[EminentVictorians]

Я хотел бы разобраться, в чем смысл матлогики, зачем она нужна. Для меня этот предмет очень сложный, в первую очередь из-за того, что я не понимаю цели основных построений. Я первоначально думал, что матлогика нужна для большей строгости в рассуждениях в любой другой области математики. Но сейчас я этот вариант откинул. В самом деле, я вполне нормально себя чувствую, рассуждая обычным человеческим образом. Почему я должен в своих рассуждениях опираться на какой-то там язык первого порядка с какими-то аксиомами? Почему, например, язык не второго порядка? Или бесконечного порядка?

Вот мне, например, нравится сюжет про булевы функции, полные булевы базисы, нормальные формы, полиномы Жегалкина. Во-первых, сами объекты очень естественные, а во-вторых приятно, когда результаты из абстрактной алгебры находят конкретное применение к этим вещам. Но логика то тут при чем? Вроде бы самые обычные объекты дискретной математики, которые могли бы быть в одной книжке наряду с какими-нибудь перестановками, производящими функциями, факториалами и т.д.

Если бы матлогика была бы только о строгости математических доказательств, я бы наверное вообще не открывал бы ее даже. Проблема в том, что у меня есть подозрение, что матлогика совсем о другом. Пример: Теорема Мальцева: Если квазиуниверсальная формула $\text{Ф}$ истинна на подсистемах $A_i$, локально покрывающих алгебраическую систему $A$, то $\text{Ф}$ истинна и на $A$. Я понимаю так, что эта теорема дает очень сильное достаточное условие истинности для огромного количества утверждений. Но здесь и речи нету ни о какой строгости математических рассуждений. Как было в обычной алгебре? Мы брали какой-то объект (например, группа), определяли для него какие-то понятия (например, подгруппа, смежный класс, нормальная подгруппа) и далее находили связи между этими понятиями (множества смежных классов по нормальной подгруппе совпадают). А здесь получается намного круче. Мы берем некоторый набор средств (формулы и термы из какой-то формальной системы), который как-то связан с нашим представлением об объектах целой предметной области (например, теории групп). Этот набор средств в некотором смысле хорош. Например, он обладает рекурсивной природой. А значит к нему можно применять индукцию по построению формул. Т.е. мы как бы работаем не в самой предметной области, а "над" ней. Получаем какие-то результаты о наших формальных конструкциях (формулах формальной теории) и интерпретируем их с точки зрения интересующей нас предметной области (теории групп). Так что ли?

Отдельно хотел бы узнать про роль матлогики в каких-нибудь обычных разделах математики типа матанализа. Я где-то здесь, на форуме видел про то, что в $ZFC$ неразрешим вопрос о мере, которая сигма аддитивна и относительно нее измеримо множество Витали. А якобы если добавить аксиому существования какого-то большого кардинала, то станет разрешим. Для меня это все какой-то нонсенс, что вещи из обычного $\mathbb{R}$ зависят от таких эфемерных сущностей как большие кардиналы. Допустим, я вообще не знаю, что такое $ZFC$ и мыслю в рамках канторовской теории множеств. Получается, что я могу наткнуться на какие-то обычные вещи из матанализа, которые без матлогики никак не решаются?

В общем, помогите разобраться, о чем матлогика и что от нее стоит ожидать?

[Mikhail_K]

EminentVictorians в сообщении #1540753 писал(а):

Допустим, я вообще не знаю, что такое $ZFC$ и мыслю в рамках канторовской теории множеств. Получается, что я могу наткнуться на

противоречия (например, парадокс Рассела).
Хотя, конечно, при минимальной осторожности - не наткнётесь, но ведь вопрос о том, какая именно осторожность требуется, интересен сам по себе.
Вполне можно работать в различных областях математики, не зная матлогики и не обращаясь к ней.
Но и вопрос оснований тоже интересен, поэтому его тоже развивают.

-- 27.11.2021, 14:50 --

EminentVictorians в сообщении #1540753 писал(а):

Я где-то здесь, на форуме видел про то, что в $ZFC$ неразрешим вопрос о мере, которая сигма аддитивна и относительно нее измеримо множество Витали. А якобы если добавить аксиому существования какого-то большого кардинала, то станет разрешим. Для меня это все какой-то нонсенс, что вещи из обычного $\mathbb{R}$ зависят от таких эфемерных сущностей как большие кардиналы.

Но и вопрос о существовании сверхзапутанных мер, которые никогда никто не сможет вычислить, столь же эфемерен.

[EminentVictorians]

Mikhail_K в сообщении #1540754 писал(а):

противоречия (например, парадокс Рассела).

Вот кстати, я о них знал, но даже забыл написать - настолько они меня не волнуют. А вот запутанные меры и классы Бэра волнуют...

[zykov]

EminentVictorians в сообщении #1540753 писал(а):

Для меня это все какой-то нонсенс, что вещи из обычного $\mathbb{R}$ зависят от таких эфемерных сущностей как большие кардиналы.

Это только кажется, что $\mathbb{R}$ такой простой.
Вообще вопрос бесконечностей в математике - тонкий вопрос (например переход от конечномреных опреторов к бесконечномерным).
Пожалуй, только счётная бесконечность довольно безопасна. Маловероятно, что там что-то странное может вылезти.
А вот несчётные бесконечности (в частности $\mathbb{R}$) уже вполне могут приводить к странным фокусам.

[Markus228]

zykov в сообщении #1540756 писал(а):

Пожалуй, только счётная бесконечность довольно безопасна. Маловероятно, что там что-то странное может вылезти.
А вот несчётные бесконечности (в частности $\mathbb{R}$) уже вполне могут приводить к странным фокусам.

Да ладно, парадокс бесконечного отеля и урны в полдень с вами не согласны
А если они нам не кажутся странными, непонятно что не так с парадоксом Банаха-Тарского. Т.е. неясно, где проводить границу между странностями и нет

[EminentVictorians]

zykov в сообщении #1540756 писал(а):

А вот несчётные бесконечности (в частности $\mathbb{R}$) уже вполне могут приводить к странным фокусам.

Тут надо различать. Например, для меня "парадокс" Банаха-Тарского никакой не парадокс и вполне естественная вещь. Манипуляции с неизмеримыми множествами привели к неинтуитивному результату - что здесь удивительного? Можно так же удивляться существованию функций с несколькими пределами в какой-нибудь нехаусдорфовой топологии, но по сути это не более, чем артефакт определений. Вполне естественная ситуация. А вот ситуация, когда некоторые вещи из матанализа совсем не поддаются никакому анализу без знаний матлогики и конкретных формальных теорий - вот это действительно странно.

[zykov]

Markus228 в сообщении #1540762 писал(а):

Да ладно, парадокс бесконечного отеля и урны в полдень с вами не согласны

Я не про пародоксы (которые легко разрешаются), и не про "странности", а про действительно проблемы.

-- 27.11.2021, 15:43 --

EminentVictorians в сообщении #1540763 писал(а):

А вот ситуация, когда некоторые вещи из матанализа совсем не поддаются никакому анализу без знаний матлогики

Это как раз и показывает, что наивный подход к матанализу таит ловушки. И что нужен строгий подход на основе логики.

[EminentVictorians]

zykov, мне кажется мы о разных вещах говорим. Вот есть просто факты из матанализа, которые неинтуитивные (типа парадокса Банаха-Тарского). Для кого-то может быть правило дифференцирования композиции функций является неинтуитивным. Но это не означает, что с этими утверждениями что-то не так. Они полностью корректные и для их понимания ничего кроме здравого смысла не нужно. С другой стороны, есть точно такие же на первый взгляд утверждения, но для того, чтобы провести какой-то их анализ, нужно строить специальную формальную систему и задействовать аппарат матлогики. Я так понимаю, что вопрос существования той сигма аддитивной меры сродни вопросу существования множества промежуточной мощности между алеф ноль и алеф 1. Стандартный ответ здесь, что континуум гипотеза независима от аксиом $ZFC$. Т.е. я так понимаю, что мы не сможем построить такое множество средствами $ZFC$. Но почему нам так важно быть в рамках какой-то формальной теории (типа $ZFC$) и пользоваться только ее средствами? Кстати, было бы интересно узнать, существуют ли множества промежуточной мощности в рамках каких-нибудь других аксиоматизаций?

[Mikhail_K]

EminentVictorians в сообщении #1540773 писал(а):

Я так понимаю, что вопрос существования той сигма аддитивной меры сродни вопросу существования множества промежуточной мощности между алеф ноль и алеф 1. Стандартный ответ здесь, что континуум гипотеза независима от аксиом $ZFC$. Т.е. я так понимаю, что мы не сможем построить такое множество средствами $ZFC$. Но почему нам так важно быть в рамках какой-то формальной теории (типа $ZFC$) и пользоваться только ее средствами?

Ну, это просто значит, что никакими имеющимися в современной математике средствами такое множество построить нельзя.

EminentVictorians в сообщении #1540773 писал(а):

Кстати, было бы интересно узнать, существуют ли множества промежуточной мощности в рамках каких-нибудь других аксиоматизаций?

Видимо, только в тех, где существование таких множеств постулируется.

EminentVictorians в сообщении #1540773 писал(а):

Они полностью корректные и для их понимания ничего кроме здравого смысла не нужно. С другой стороны, есть точно такие же на первый взгляд утверждения, но для того, чтобы провести какой-то их анализ, нужно строить специальную формальную систему и задействовать аппарат матлогики.

Ну, если утверждение долго не удаётся ни доказать, ни опровергнуть (средствами "обычной математики"), можно попытаться доказать, что его и нельзя ни доказать, ни опровергнуть в рамках тех или иных аксиоматических систем (и здесь требуется аппарат матлогики).

[zykov]

EminentVictorians в сообщении #1540773 писал(а):

Но почему нам так важно быть в рамках какой-то формальной теории (типа $ZFC$) и пользоваться только ее средствами?

Можно и другими средствами строить. А это просто общепринятый путь, который работает на практике (в физике или в инженерных приложениях).
Смотри например p-adic analysis.

Цитата:

For example, the field of p-adic analysis essentially provides an alternative form of calculus.

[Mikhail_K]

zykov в сообщении #1540777 писал(а):

Смотри например p-adic analysis.

При чём тут $p$-адический анализ? Насколько я понимаю, он в точно такой же мере базируется на ZFC (и точно в такой же мере относительно самостоятелен), что и классический анализ.

[EminentVictorians]

Mikhail_K в сообщении #1540775 писал(а):

Ну, это просто значит, что никакими имеющимися в современной математике средствами такое множество построить нельзя.

А можно ли поставить знак равенства между "средства, имеющиеся в современной математике" = "средства, имеющиеся в $ZFC$"? Просто я бы не удивился, если бы какие-нибудь построения из высших категорий (Джейкоб Лурье) не вписывались бы в $ZFC$. Ну и что с того? Это бы говорило имхо как раз таки в пользу высших категорий и против $ZFC$. Но об этом я ничего не знаю, просто недавно наткнулся случайно.

Mikhail_K в сообщении #1540775 писал(а):

Ну, если утверждение долго не удаётся ни доказать, ни опровергнуть (средствами "обычной математики"), можно попытаться доказать, что его и нельзя ни доказать, ни опровергнуть в рамках тех или иных аксиоматических систем (и здесь требуется аппарат матлогики).

Вот это кстати очень интересно. Мы же для одних и тех же объектов можем строить разные формальные системы. Например, натуральные числа могут быть формализованы в $PA$, а могут быть в $ZFC$. И есть теорема Гудстейна. В $PA$ она недоказуема, а в $ZFC$, если я все правильно помню, она истинна. Для меня это означает лишь, что формальная система - это некоторая тень тех объектов, которые мы изучаем. Эта тень может наследовать, а может и не наследовать какие-то свойства изучаемого объекта. Это перекликается с вот этим фрагментом из стартового сообщения:

EminentVictorians в сообщении #1540753 писал(а):

Получаем какие-то результаты о наших формальных конструкциях (формулах формальной теории) и интерпретируем их с точки зрения интересующей нас предметной области (теории групп).

Я к тому, что интерпретация результатов, полученных из формальных систем - это вероятно тоже нетривиальный процесс. Получается, что натуральные числа - это объект из наивной теории множеств. А все его аксиоматизации, будь то $PA$ или $ZFC$ или что-то еще - это уже другие объекты, которые с натуральными числами связаны, но не тождественны. И мне кстати эта точка зрения очень ипонирует.

[zykov]

Mikhail_K в сообщении #1540778 писал(а):

При чём тут $p$-адический анализ? Насколько я понимаю, он в точно такой же мере базируется на ZFC

Для примера, что анализ может и по-другому строиться, не только как классический анализ.
А у ZFC тоже есть альтернативы: Аксиоматические теории множеств.

Цитата:

Существует ряд прочих аксиоматизаций, среди них система Морса — Келли, система Крипке — Платека, система Тарского — Гротендика.

Так что классический анализ на ZFC - это не что-то выбитое в камне, а один из возможных вариантов. Но самый распространённый.

[Markus228]

zykov в сообщении #1540765 писал(а):

Я не про пародоксы (которые легко разрешаются), и не про "странности", а про действительно проблемы.

И какие же например?

[zykov]

EminentVictorians в сообщении #1540779 писал(а):

Я к тому, что интерпретация результатов, полученных из формальных систем - это вероятно тоже нетривиальный процесс. Получается, что натуральные числа - это объект из наивной теории множеств. А все его аксиоматизации, будь то $PA$ или $ZFC$ или что-то еще - это уже другие объекты, которые с натуральными числами связаны, но не тождественны.

Верно.
Только по сути этих натуральных чисел и нет, пока их формально не определили. По крайней мере нет в математике.
Есть объект/сущность из реального мира (те же яблоки в корзине или камушки в кучке) и есть интуитивные свойства этого объекта (полученные из опыта).
Чтобы это стало математикой, нужно хотя бы свойства формализовать.

-- 27.11.2021, 17:53 --

Markus228 в сообщении #1540787 писал(а):

И какие же например?

Например переход от конечномерных операторов к бесконечномерным. Наивно переносить свойства первых на вторые неверно. И в отличии от парадоксов тут не отделаться коротким объяснением. Нужно строить целую теорию.