Максимальные интервалы между взаимно простыми числами

[Yury_rsn]

Интересно.
На странице A048670 приведены разные границы для функции Якобсталя.
В том числе и такие:
$a(n) >> n \log^2 n \log \log \log n / \log \log n$
$a(n) << n^2(\log n)^2$

Но если сопоставить ф-ию Якобсталя с формулой $n(\log n)^2$, то получим почти идеальное совпадение:

n   |   ф.Якобсталя |   по формуле |  разность
          (табл)      

1      2      0,00      2,00
2      4      0,96      3,04
3      6      3,62      2,38
4      10      7,69      2,31
5      14      12,95      1,05
6      22      19,26      2,74
7      26      26,51      -0,51
8      34      34,59      -0,59
9      40      43,45      -3,45
10      46      53,02      -7,02
11      58      63,25      -5,25
12      66      74,10      -8,10
13      74      85,53      -11,53
14      90      97,50      -7,50
15      100      110,00      -10,00
16      106      123,00      -17,00
17      118      136,46      -18,46
18      132      150,38      -18,38
19      152      164,72      -12,72
20      174      179,49      -5,49
21      190      194,65      -4,65
22      200      210,20      -10,20
23      216      226,12      -10,12
24      234      242,40      -8,40
25      258      259,03      -1,03
26      264      276,00      -12,00
27      282      293,29      -11,29
28      300      310,90      -10,90
29      312      328,82      -16,82
30      330      347,04      -17,04
31      354      365,56      -11,56
32      378      384,36      -6,36
33      388      403,44      -15,44
34      414      422,80      -8,80
35      432      442,42      -10,42
36      450      462,30      -12,30
37      476      482,43      -6,43
38      492      502,82      -10,82
39      510      523,45      -13,45
40      538      544,31      -6,31
41      550      565,42      -15,42
42      574      586,75      -12,75
43      600      608,30      -8,30
44      616      630,08      -14,08
45      642      652,08      -10,08
46      660      674,29      -14,29
47      686      696,71      -10,71
48      718      719,34      -1,34
49      742      742,17      -0,17
50      762      765,20      -3,20
51      798      788,42      9,58
52      810      811,84      -1,84
53      834      835,45      -1,45
54      858      859,25      -1,25
55      876      883,23      -7,23
56      908      907,39      0,61
57      926      931,74      -5,74
58      954      956,26      -2,26
59      978      980,95      -2,95
60      1002      1005,82      -3,82
61      1030      1030,86      -0,86
62      1058      1056,06      1,94
63      1098      1081,43      16,57
64      1110      1106,96      3,04

Можно обратить внимание на строки 7, 8, 56, 61...

[Dmitriy40]

Yury_rsn в сообщении #1565822 писал(а):

Но если сопоставить ф-ию Якобсталя

Вообще-то оценки приводятся для бесконечности (если прямо не указано иное), а не для начала числового ряда.

[Yury_rsn]

Dmitriy40 в сообщении #1565824 писал(а):

Yury_rsn в сообщении #1565822 писал(а):

Но если сопоставить ф-ию Якобсталя

Вообще-то оценки приводятся для бесконечности (если прямо не указано иное), а не для начала числового ряда.

ну это понятно
Просто заинтересовало почти точное совпадение на доступном для сравнения интервале.
Если построить графики двух кривых, то линии вьются вокруг друг друга, почти совпадая.

[Yury_rsn]

Чтобы закончить мысль.
Можно предположить что-то вроде неравенств Чебышева:
$ An(\log n)^2 <a(n)< Bn(\log n)^2$
Где A и B - константы.
$ A<1< B$

[Dmitriy40]

Yury_rsn в сообщении #1565924 писал(а):

$ An(\log n)^2 <a(n)$

Это Вы доказать не сможете так как $\frac{\log x}{x}$ начиная с некоторого $x$ гарантированно меньше любого наперёд заданного $A$, т.е. Вы существенно усиливаете доказанную границу.

Yury_rsn в сообщении #1565924 писал(а):

$ a(n) < Bn(\log n)^2$

И это доказать не сможете, так как оно очень сильнее доказанного $a(n)<n^2 \log^2 n$.

А приближённые формулы для первой сотни элементов мало кого волнуют, всем интересна граница на бесконечности.

[vicvolf]

Yury_rsn в сообщении #1565822 писал(а):

Интересно.
На странице A048670 приведены разные границы для функции Якобсталя.
В том числе и такие:
$a(n) >> n \log^2 n \log \log \log n / \log \log n$
$a(n) << n^2(\log n)^2$

Я не нашел статьи, где приведены указанные в A048670 оценки. Пожалуйста, дайте ссылки.

[Yury_rsn]

vicvolf в сообщении #1566750 писал(а):

Yury_rsn в сообщении #1565822 писал(а):

Интересно.
На странице A048670 приведены разные границы для функции Якобсталя.
В том числе и такие:
$a(n) >> n \log^2 n \log \log \log n / \log \log n$
$a(n) << n^2(\log n)^2$

Я не нашел статьи, где приведены указанные в A048670 оценки. Пожалуйста, дайте ссылки.

Ford, Green, Konyagin, Maynard, & Tao show that $j(x#) >> x \log x \log \log \log x / \log \log x$
and hence $a(n) >> n \log^2n \log \log \log n / \log \log n$

Судя по составу авторов к этой оценке имеет отношение вот эта статья
https://arxiv.org/pdf/1412.5029.pdf
---
$a(n) << n^2(\log n)^2$, see Iwaniec.
Аналогично, по автору, http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa19/aa1911.pdf

[vicvolf]

Yury_rsn в сообщении #1566936 писал(а):

$a(n) << n^2(\log n)^2$, see Iwaniec. Аналогично, по автору, http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa19/aa1911.pdf

Спасибо за ссылку.

Yury_rsn в сообщении #1566936 писал(а):

Ford, Green, Konyagin, Maynard, & Tao show that $j(x#) >> x \log x \log \log \log x / \log \log x$
and hence $a(n) >> n \log^2n \log \log \log n / \log \log n$ Судя по составу авторов к этой оценке имеет отношение вот эта статья https://arxiv.org/pdf/1412.5029.pdf

Посмотрел эту статью. В ней нет этой формулы.

[vicvolf]

Прочитал интересную статью https://arxiv.org/abs/2007.01808

В частности на стр. 3 там доказано утверждение 1.6 по поводу функции Якобсталя $h(k) \geq 2p_{k-1}$.

Кроме того, там доказано, что расстояние $2p_{k-1}$ имеется в любом ПСВ_$p_k$#, хотя не обязательно является максимальным.