Максимальные интервалы между взаимно простыми числами

[Yury_rsn]

https://arxiv.org/abs/1903.11973
New computational results on a conjecture of Jacobsthal
Mario Ziller

Пример расположения модулей для обычной функции Якобсталя (для простых чисел из 89#), длина сжатой функции omega(n)=116,

и "увеличенной" функции Якобсталя, длина сжатой функции omega(k)=117

n=24, p_n=89, omega(n)=116
3 7 5 3 47 13 3 5 7 3 43 23 3 11 59 3 73 5 3 19 41 3 5 17 3 79 89 3 37 7 3 13 5 3 23 11 3 5 19 3 17 53 3 7 13 3 11 5 3 61 7 3 5 43 3 31 71 3 83 29 3 41 5 3 7 37 3 5 11 3 13 7 3 59 17 3 19 5 3 11 23 3 5 13 3 7 31 3 29 73 3 17 5 3 53 19 3 5 47 3 67 11 3 23 79 3 7 5 3 13 61 3 5 7 3 89

k=24, p_k=89, Omega(k)=117
101 3 7 5 3 47 13 3 5 7 3 43 23 3 11 59 3 73 5 3 19 41 3 5 17 3 79 89 3 37 7 3 13 5 3 23 11 3 5 19 3 17 53 3 7 13 3 11 5 3 61 7 3 5 43 3 31 71 3 83 29 3 41 5 3 7 37 3 5 11 3 13 7 3 59 17 3 19 5 3 11 23 3 5 13 3 7 31 3 29 73 3 17 5 3 53 19 3 5 47 3 101 11 3 23 79 3 7 5 3 13 61 3 5 7 3 89
 

[vicvolf]

Давайте вернемся к гипотезе Лежандра, к интервалу: $p^2_r,p^2_{r+1}$. Есть идеи.

[vicvolf]

Yury_rsn
Когда мы говорим об интервале $p^2_r,p^2_{r+1}$, то мы теряем расстояние, которое образуется после удаления вычета $p^2_r$. Поэтому можем потерять максимальное расстояние. Например, при удалении вычета $p^2_r=121$ при $p_r=11$ у нас теряется максимальное расстояние $d=127-113=14$. Может быть правильнее, с точки зрения гипотезы Лежандра рассматривать интервал $1,p^2_{r+1}$?

[vicvolf]

Если мы говорим о расстоянии между соседними простыми числами, то наверно правильнее будет рассматривать интервал $p_{r+1},p^2_{r+1}$.

Обозначим максимальное расстояние между соседними простыми числами на интервале $p_{r+1},p^2_{r+1}$ в ПСВ$p_r$#- $d_r$.

Тогда справедливо следующее утверждение: $d_{k+1} \leq d_k+d_{k-1}$ при $k \geq 2$.

Доказательство

Если $d_{k+1}=d_k$, то так как $d_{k-1} \geq 2$, то получаем $d_{k+1} < d_k+d_{k-1}$.

Если $d_{k+1} > d_k$, то оно не превосходит максимальную разность на предыдущем шаге $d_k$ плюс шаг до этого $d_{k-1}$, т.е. получаем $d_{k+1} \leq d_k+d_{k-1}$.


Например, $d_4=8 < d_3+d_2=6+4=10$, $d_5=14=d_4+d_3=8+6=14$.

Это одна из идей.

[vicvolf]

Dmitriy40 в сообщении #1510341 писал(а):

Вот начало таблицы для интервала от следующего простого до его же квадрата, показываю только моменты смены любого из двух чисел:

Используется синтаксис Text

5#:     6       23
7#:     8       89
11#:    14      113
23#:    18      523
29#:    20      887
31#:    34      1327
97#:    36      9551
113#:   44      15683
139#:   52      19609
173#:   72      31397
389#:   86      155921
599#:   96      360653
607#:   112     370261
701#:   114     492113
1153#:  118     1349533
1163#:  132     1357201
1409#:  148     2010733
2153#:  154     4652353
4129#:  180     17051707
4561#:  210     20831323

[/math] ...

Обратим внимание, что начиная с 1163# максимальное расстояние между соседними простыми числами на интервале $p_r,p^2_r$ меняется не на каждом шаге при переходе к большему значению $p_r$#, а между изменениями находятся значения $p_r$ с одинаковыми расстояниями.

Покажем, что пока повторяется данная ситуация, то для максимального расстояния между соседними простыми числами выполняется:

$d_r \leq 2p_{r-1}$ (1)

на интервале $p_r,p^2_r$.

Доказательство

Проверим условие (1) для $p_r=1163$ - $d_r=132 \leq 2p_{r-1}=2 \cdot 1153=2306$.

Допустим далее для некоторого $p_k$ значение $d_k$ не меняется, поэтому выполняется $d_k \leq 2p_{k-1}$.

Пусть далее не меняется максимальное расстояние для $p_k,p_{k+1},...,p_{n-1}$, т.е. выполняется неравенство (1).

Допустим для некоторого значения $p_n$ максимальное расстояние $d_n$ возросло, т.е. $d_n > d_{n-1}$, а также, что выполняется $d_{n-1}<d_{n-2}+d_{n-3}<2p_{n-2}$.

Тогда, так как $p_{n-1}>p_{n-2}$, учитывая утверждение, доказанное в прошлом сообщении $d_n \leq d_{n-1}+d_{n-2}$, получаем $d_n \leq d_{n-1}+d_{n-2}<2p_{n-1}$. ч.т.д.

Пример.

Для $p_6=13$ значение $d_6=14$. Для $p_7=17$ значение $d_7=14$. Для $p_8=19$ значение $d_8=14$, т.е. максимальные расстояния повторяются.

Для $p_8=19$ выполняется $d_8=14<d_7+d_6=14+14=28<2p_7=34$.

Для $p_9=23$ изменяется максимальное расстояние $d_9=18$ и выполняется $d_9=18<d_8+d_7=14+14=28<2p_8=38$.

Это вторая идея.

[Yury_rsn]

vicvolf в сообщении #1548086 писал(а):

Если мы говорим о расстоянии между соседними простыми числами, то наверно правильнее будет рассматривать интервал $p_{r+1},p^2_{r+1}$.

Обозначим максимальное расстояние между соседними простыми числами на интервале $p_{r+1},p^2_{r+1}$ в ПСВ$p_r$#- $d_r$.

Можно уточнить - максимальное расстояние между соседними простыми числами, или между соседними взаимно простыми числами в ПСВ для $p_r$#

[vicvolf]

Yury_rsn в сообщении #1549369 писал(а):

Можно уточнить - максимальное расстояние между соседними простыми числами, или между соседними взаимно простыми числами в ПСВ для $p_r$#

На интервале $p_{r+1},p^2_{r+1}$ все взаимно простые числа являются простыми, поэтому рассматривается максимальное расстояние между соседними простыми числами. Это относится к гипотезе Лежандра, о которой вы писали.

[Yury_rsn]

Может быть, глупый вопрос по итогу, поэтому не хочу открывать новую тему. Спрошу здесь.

Есть ли какая-то связь между проблемами бесконечности близнецов, и например, проблемами бесконечности чисел Мерсенна, или бесконечности чисел Ферма?

Может быть, есть какие-то общие методы, которыми пытаются доказать все эти бесконечности. Или, какая-то внутренняя логика связывает эти вроде бы разные проблемы?

(Оффтоп)

Только, плиз, не спрашивайте, чем вызван это вопрос.
Не важно

[vicvolf]

С моей точки зрения, связывает бесконечность количества простых чисел. Отсюда вытекает, что плотность простых чисел на любом конечном интервале натурального ряда не равна 0.

Для того, чтобы доказать бесконечность указанных Вами подмножеств простых чисел, достаточно доказать, что плотность данных подмножеств на любом конечном интервале натурального ряда не равна 0.

[Dmitriy40]

vicvolf в сообщении #1561349 писал(а):

Отсюда вытекает, что плотность простых чисел на любом конечном интервале натурального ряда не равна 0.

Чушь, на интервале 114..126 плотность простых равна нулю. Как и на куче других конечных интервалов. И можно прямо построить интервал любой конечной длины из гарантированно составных чисел. Это первое.
Второе, даже если плотность элементов (простых чисел) больше нуля, то плотность структур из них или простых каких-то специальных типов вполне может быть нулевой, никакого фундаментального запрета на это нет, в каждом конкретном случае структуры или типа это надо доказывать.

-- 29.07.2022, 11:04 --

Например плотность простых типа $p\equiv3\pmod6$ вполне себе нулевая везде кроме $p=3$ (а типа $p\equiv5\pmod{10}$ нулевая везде кроме $p=5$). Ровно так же может быть и с какими то другими подмножествами простых чисел.

-- 29.07.2022, 11:08 --

Вот в обратную сторону это можно связать: если доказать бесконечность каких-то подмножеств, то автоматически будет доказана и бесконечность обрамляющего множества.
Но бесконечность простых чисел и так доказана, гораздо легче.

[vicvolf]

Dmitriy40 в сообщении #1561356 писал(а):

Чушь, на интервале 114..126 плотность простых равна нулю

Имеется в виду достаточно большой конечный интервал. По крайней мере больше максимального расстояния между простыми числами. Например больше $n^{2/3}$.

Цитата:

Второе, даже если плотность элементов (простых чисел) больше нуля, то плотность структур из них или простых каких-то специальных типов вполне может быть нулевой

А я это и не говорил. Читайте внимательнее.

Цитата:

Например плотность простых типа $p\equiv3\pmod6$ вполне себе нулевая везде кроме $p=3$ (а типа $p\equiv5\pmod{10}$ нулевая везде кроме $p=5$). Ровно так же может быть и с какими то другими подмножествами простых чисел.

Вы не знаете, что такое подмножество. Подмножество включает только элементы данного множества, в данном случае только простые числа. А у вас в примере включаются и составные числа.

[Dmitriy40]

vicvolf в сообщении #1561371 писал(а):

Имеется в виду достаточно большой конечный интервал.

Тогда так сразу и говорите, что "на любом конечном достаточно большом интервале", уточняя что считать достаточным. Заодно придётся доказывать что интервалы не перекрываются, а то может получиться что ненулевая плотность обеспечивается в точках перекрытия интервалов, которые могут оказаться все в начале числового ряда (как например для интервалов размера $n$ ) и соответственно количество искомых чисел таки конечно при везде ненулевой плотности.

vicvolf в сообщении #1561371 писал(а):

Вы не знаете, что такое подмножество. Подмножество включает только элементы данного множества, в данном случае только простые числа. А у вас в примере включаются и составные числа.

Имелось в виду что среди множества указанных чисел (не обязательно простых) плотность простых нулевая везде кроме выделенного интервала (в частности единственной точки). В этом смысле всё корректно.

-- 29.07.2022, 14:00 --

Собственно это вообще контрпример к Вашему утверждению что ненулевой плотности достаточно для доказательства бесконечности количества: среди натуральных чисел $n\equiv5\pmod{10}$ на любом интервале длиной $n$ плотность простых ненулевая, однако количество таких простых вполне себе конечно и всего лишь одно. Так что нет, одной лишь ненулевой плотности для доказательства недостаточно.

[Yury_rsn]

vicvolf в сообщении #1561349 писал(а):

С моей точки зрения, связывает бесконечность количества простых чисел... .

к примеру, все четыре проблемы Ландау (близнецы, гипотеза Лежандра, и пр.) связаны между собой темой о расстоянии между соседними простыми числами.

А есть ли какая-то подобная связь между проблемой близнецов, и закономерностями появления чисел Мерсенна и Ферма?

[vicvolf]

Yury_rsn в сообщении #1561417 писал(а):

А есть ли какая-то подобная связь между проблемой близнецов, и закономерностями появления чисел Мерсенна и Ферма?

vicvolf в сообщении #1561349 писал(а):

С моей точки зрения, связывает бесконечность количества простых чисел... .

Поясню. Мы говорим о пересечении этих последовательностей (чисел Мерсенна и Ферма) с последовательностью простых чисел, поэтому если последовательность простых была бы конечна, то было бы конечно пересечение этих последовательностей с последовательностью простых чисел. Поэтому бесконечность последовательности простых чисел необходима для бесконечности простых в данных последовательностях.

[Yury_rsn]

vicvolf в сообщении #1561454 писал(а):

Yury_rsn в сообщении #1561417 писал(а):

А есть ли какая-то подобная связь между проблемой близнецов, и закономерностями появления чисел Мерсенна и Ферма?

vicvolf в сообщении #1561349 писал(а):

С моей точки зрения, связывает бесконечность количества простых чисел... .

Поясню. Мы говорим о пересечении этих последовательностей (чисел Мерсенна и Ферма) с последовательностью простых чисел, поэтому если последовательность простых была бы конечна, то было бы конечно пересечение этих последовательностей с последовательностью простых чисел. Поэтому бесконечность последовательности простых чисел необходима для бесконечности простых в данных последовательностях.

Да, безусловно.