2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 37, 38, 39, 40, 41
 
 Re: Максимальные интервалы между взаимно простыми числами
Сообщение10.01.2022, 22:00 


01/07/19
237
https://arxiv.org/abs/1903.11973
New computational results on a conjecture of Jacobsthal
Mario Ziller

Пример расположения модулей для обычной функции Якобсталя (для простых чисел из 89#), длина сжатой функции omega(n)=116,

и "увеличенной" функции Якобсталя, длина сжатой функции omega(k)=117
Код:
n=24, p_n=89, omega(n)=116
3 7 5 3 47 13 3 5 7 3 43 23 3 11 59 3 73 5 3 19 41 3 5 17 3 79 89 3 37 7 3 13 5 3 23 11 3 5 19 3 17 53 3 7 13 3 11 5 3 61 7 3 5 43 3 31 71 3 83 29 3 41 5 3 7 37 3 5 11 3 13 7 3 59 17 3 19 5 3 11 23 3 5 13 3 7 31 3 29 73 3 17 5 3 53 19 3 5 47 3 67 11 3 23 79 3 7 5 3 13 61 3 5 7 3 89

k=24, p_k=89, Omega(k)=117
101 3 7 5 3 47 13 3 5 7 3 43 23 3 11 59 3 73 5 3 19 41 3 5 17 3 79 89 3 37 7 3 13 5 3 23 11 3 5 19 3 17 53 3 7 13 3 11 5 3 61 7 3 5 43 3 31 71 3 83 29 3 41 5 3 7 37 3 5 11 3 13 7 3 59 17 3 19 5 3 11 23 3 5 13 3 7 31 3 29 73 3 17 5 3 53 19 3 5 47 3 101 11 3 23 79 3 7 5 3 13 61 3 5 7 3 89

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальные интервалы между взаимно простыми числами
Сообщение30.01.2022, 22:48 


23/02/12
2775
Давайте вернемся к гипотезе Лежандра, к интервалу: $p^2_r,p^2_{r+1}$. Есть идеи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальные интервалы между взаимно простыми числами
Сообщение02.02.2022, 20:00 


23/02/12
2775
Yury_rsn
Когда мы говорим об интервале $p^2_r,p^2_{r+1}$, то мы теряем расстояние, которое образуется после удаления вычета $p^2_r$. Поэтому можем потерять максимальное расстояние. Например, при удалении вычета $p^2_r=121$ при $p_r=11$ у нас теряется максимальное расстояние $d=127-113=14$. Может быть правильнее, с точки зрения гипотезы Лежандра рассматривать интервал $1,p^2_{r+1}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальные интервалы между взаимно простыми числами
Сообщение05.02.2022, 18:44 


23/02/12
2775
Если мы говорим о расстоянии между соседними простыми числами, то наверно правильнее будет рассматривать интервал $p_{r+1},p^2_{r+1}$.

Обозначим максимальное расстояние между соседними простыми числами на интервале $p_{r+1},p^2_{r+1}$ в ПСВ$p_r$#- $d_r$.

Тогда справедливо следующее утверждение: $d_{k+1} \leq d_k+d_{k-1}$ при $k \geq 2$.

Доказательство

Если $d_{k+1}=d_k$, то так как $d_{k-1} \geq 2$, то получаем $d_{k+1} < d_k+d_{k-1}$.

Если $d_{k+1} > d_k$, то оно не превосходит максимальную разность на предыдущем шаге $d_k$ плюс шаг до этого $d_{k-1}$, т.е. получаем $d_{k+1} \leq d_k+d_{k-1}$.


Например, $d_4=8 < d_3+d_2=6+4=10$, $d_5=14=d_4+d_3=8+6=14$.

Это одна из идей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальные интервалы между взаимно простыми числами
Сообщение12.02.2022, 21:01 


23/02/12
2775
Dmitriy40 в сообщении #1510341 писал(а):
Вот начало таблицы для интервала от следующего простого до его же квадрата, показываю только моменты смены любого из двух чисел:
код: [ скачать ] [ спрятать ]
Используется синтаксис Text
5#:     6       23
7#:     8       89
11#:    14      113
23#:    18      523
29#:    20      887
31#:    34      1327
97#:    36      9551
113#:   44      15683
139#:   52      19609
173#:   72      31397
389#:   86      155921
599#:   96      360653
607#:   112     370261
701#:   114     492113
1153#:  118     1349533
1163#:  132     1357201
1409#:  148     2010733
2153#:  154     4652353
4129#:  180     17051707
4561#:  210     20831323
[/math] ...

Обратим внимание, что начиная с 1163# максимальное расстояние между соседними простыми числами на интервале $p_r,p^2_r$ меняется не на каждом шаге при переходе к большему значению $p_r$#, а между изменениями находятся значения $p_r$ с одинаковыми расстояниями.

Покажем, что пока повторяется данная ситуация, то для максимального расстояния между соседними простыми числами выполняется:

$d_r \leq 2p_{r-1}$ (1)

на интервале $p_r,p^2_r$.

Доказательство

Проверим условие (1) для $p_r=1163$ - $d_r=132 \leq 2p_{r-1}=2 \cdot 1153=2306$.

Допустим далее для некоторого $p_k$ значение $d_k$ не меняется, поэтому выполняется $d_k \leq 2p_{k-1}$.

Пусть далее не меняется максимальное расстояние для $p_k,p_{k+1},...,p_{n-1}$, т.е. выполняется неравенство (1).

Допустим для некоторого значения $p_n$ максимальное расстояние $d_n$ возросло, т.е. $d_n > d_{n-1}$, а также, что выполняется $d_{n-1}<d_{n-2}+d_{n-3}<2p_{n-2}$.

Тогда, так как $p_{n-1}>p_{n-2}$, учитывая утверждение, доказанное в прошлом сообщении $d_n \leq d_{n-1}+d_{n-2}$, получаем $d_n \leq d_{n-1}+d_{n-2}<2p_{n-1}$. ч.т.д.

Пример.

Для $p_6=13$ значение $d_6=14$. Для $p_7=17$ значение $d_7=14$. Для $p_8=19$ значение $d_8=14$, т.е. максимальные расстояния повторяются.

Для $p_8=19$ выполняется $d_8=14<d_7+d_6=14+14=28<2p_7=34$.

Для $p_9=23$ изменяется максимальное расстояние $d_9=18$ и выполняется $d_9=18<d_8+d_7=14+14=28<2p_8=38$.

Это вторая идея.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальные интервалы между взаимно простыми числами
Сообщение22.02.2022, 15:10 


01/07/19
237
vicvolf в сообщении #1548086 писал(а):
Если мы говорим о расстоянии между соседними простыми числами, то наверно правильнее будет рассматривать интервал $p_{r+1},p^2_{r+1}$.

Обозначим максимальное расстояние между соседними простыми числами на интервале $p_{r+1},p^2_{r+1}$ в ПСВ$p_r$#- $d_r$.

Можно уточнить - максимальное расстояние между соседними простыми числами, или между соседними взаимно простыми числами в ПСВ для $p_r$#

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальные интервалы между взаимно простыми числами
Сообщение22.02.2022, 21:58 


23/02/12
2775
Yury_rsn в сообщении #1549369 писал(а):
Можно уточнить - максимальное расстояние между соседними простыми числами, или между соседними взаимно простыми числами в ПСВ для $p_r$#
На интервале $p_{r+1},p^2_{r+1}$ все взаимно простые числа являются простыми, поэтому рассматривается максимальное расстояние между соседними простыми числами. Это относится к гипотезе Лежандра, о которой вы писали.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 607 ]  На страницу Пред.  1 ... 37, 38, 39, 40, 41

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group