2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 интеграл максимума по симплексу
Сообщение15.09.2022, 21:59 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5600
Неправильный ответ в соседней теме навеял задачку: для целого положительного $n$ вычислить
$$\iint\limits_{x_1+\dots+x_n=1\atop x_1,\dots,x_n\geq 0} \max(x_1,\dots,x_n)\,{\rm d}s  $$

 Профиль  
                  
 
 Re: интеграл максимума по симплексу
Сообщение17.09.2022, 07:31 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5600
Если я не ошибся в вычислениях, то интеграл равен $q_n 2^{(n-1)/2}$, где $q_n$ - это дробь, значения которой для $n=2..9$ таковы:
Код:
3/4, 1/4, 5/54, 2827/124416, 13067243/3110400000, 196148609/311040000000, 929560841094409/11526966662400000000, 419593488764457917653/46270166340206592000000000

По крайней мере проверку на то, что значение должно быть больше $\frac{1}n \frac{\sqrt{n}}{(n-1)!\cdot 2^{(n-1)/2}}$, они проходят.

 Профиль  
                  
 
 Re: интеграл максимума по симплексу
Сообщение17.09.2022, 09:12 
Заблокирован


16/04/18

1129
Интересно есть ли явная формула в такой простой (по формулировке) задаче.

 Профиль  
                  
 
 Re: интеграл максимума по симплексу
Сообщение18.09.2022, 20:16 
Заслуженный участник


03/01/09
1559
москва
Но ведь для $n=2$ должно быть: $$\iint \max (x_1,x_2)ds<\iint 1ds=\frac 12?$$

 Профиль  
                  
 
 Re: интеграл максимума по симплексу
Сообщение19.09.2022, 01:10 
Заслуженный участник


23/07/08
9496
Crna Gora
Может, здесь интегрирование не по $n$-мерному симплексу, ограниченному гиперплоскостями
$x_1+\dots+x_n=1$ и $x_k=0\; (k=1...n)$,
а по $(n-1)$-мерному, лежащему в гиперплоскости $x_1+\dots+x_n=1$ (и тоже ограниченному $x_k=0$) ?

Что тогда такое $ds$? Если элемент $(n-1)$-мерного объёма — полезут квадратные корни.

 Профиль  
                  
 
 Re: интеграл максимума по симплексу
Сообщение19.09.2022, 14:07 


02/04/18
139
maxal в сообщении #1564801 писал(а):
Если я не ошибся в вычислениях, то значения для $n=2..9$ таковы:

Что-то у меня не сходится. В двумерном случае получаем интегрирование по прямой $x+y=1$, или, перейдя к координате вдоль линии (точнее, ее половинке, где, например, $x>y$),
$$2\int\limits_{0}^{1/\sqrt{2}}\left({1\over2}+\frac{u}{\sqrt{2}}\right)du=\frac{3}{2\sqrt{2}}$$
Отнормировав по длине отрезка, получил тоже $3/4$.

В трехмерном же случаем интегрируем по одной шестой части правильного треугольника (в каждой из частей координаты по-разному упорядочены по величине; выберем, например, $x>y>z$), или по области, ограниченной прямыми $u=0, v=0, \sqrt{2}u+\sqrt{6}v=1$. Подынтегральная функция имеет изолинии, параллельные $v+\sqrt{3}u=0$, и, после сопоставления с "реперными точками" (здесь, по-хорошему, должен быть рисунок, но я ленюсь),
$$u=v=0: x={1\over2}; u=0, v={1\over\sqrt{6}}: x={1\over3}; u={1\over\sqrt{2}}, v=0: x=1$$
выражается таким образом:
$$x={1\over2}+{u\over{\sqrt{2}}}-{v\over{\sqrt{6}}}$$
Интегрируя, получаем $11\sqrt{3}\over216$. Это надо домножить на $6$ областей и поделить для нормировки на площадь треугольника $\sqrt{3}\over2$, получится ${11\over72}>{\sqrt{3}\over12}$ (то есть проверка проходится).

 Профиль  
                  
 
 Re: интеграл максимума по симплексу
Сообщение20.09.2022, 00:56 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5600
Dendr, я уточнил, что за дроби у меня указаны - из них значение интеграла получаем умножением на $2^{(n-1)/2}$. Таким образом, для $n=3$ интеграл у меня равен $\frac12=0.5$, а вы утверждаете, что $\frac{11\sqrt{3}}{36}\approx 0.529$ (без нормирования). Интересно, кто прав?

 Профиль  
                  
 
 Re: интеграл максимума по симплексу
Сообщение20.09.2022, 03:27 
Заслуженный участник


23/07/08
9496
Crna Gora
Вот почти прямая проверка результата Dendr с помощью WolframAlpha:
Integrate[Integrate[max(x, y, 1-x-y), {y, 0, 1-x}], {x, 0, 1}]
Этот запрос соответствует интегралу $\int\limits_{x=0}^1 \int\limits_{y=0}^{1-x} \max(x,y,1-x-y)\;dy\;dx$, Вольфрам выдаёт $\frac{11}{36}$. Поскольку я здесь интегрирую не по исходному треугольнику с вершинами $(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$, а по его проекции на плоскость $Oxy$, результат надо ещё умножить на $\sqrt 3$, получается то же, что у Dendr (до нормировки).

Может, мы что-то не то вычисляем?

 Профиль  
                  
 
 Re: интеграл максимума по симплексу
Сообщение23.09.2022, 02:15 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5600
svv, да у меня ошибка в программе, но чтобы ее исправить потребуется время.

 Профиль  
                  
 
 Re: интеграл максимума по симплексу
Сообщение28.09.2022, 16:10 


18/10/21
13
maxal в сообщении #1564745 писал(а):
Неправильный ответ в соседней теме навеял задачку: для целого положительного $n$ вычислить
$$\iint\limits_{x_1+\dots+x_n=1\atop x_1,\dots,x_n\geq 0} \max(x_1,\dots,x_n)\,{\rm d}s  $$

Рассмотрим ситуацию $ds=dx_1...dx_n$, искомый интеграл обозначим $S_n$
Тогда
$V_2 = \dfrac{3}{8}$, $S_2 = 2V_2 = \dfrac{3}{4}$
https://www.wolframalpha.com/input?i=in ... 0+to+1%2F2
$V_3 = \dfrac{11}{108}$, $S_3 = 3V_3 = \dfrac{11}{36}$
https://www.wolframalpha.com/input?i=in ... 0+to+1%2F2
$V_4 = \dfrac{25}{1152}$, $S_4 = 4V_4 = \dfrac{25}{288}$
https://www.wolframalpha.com/input?i=in ... 0+to+1%2F2

Есть основания предположить, что в общем виде
$S_n=H(n)/n!$
https://ask.sagemath.org/question/44203 ... -sequence/

 Профиль  
                  
 
 Re: интеграл максимума по симплексу
Сообщение29.09.2022, 12:02 
Заслуженный участник


12/08/10
1342
Если $ds=dx_1...dx_n$ то интеграл равен 0.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group