интеграл максимума по симплексу

[maxal]

Неправильный ответ в соседней теме навеял задачку: для целого положительного $n$ вычислить

$$\iint\limits_{x_1+\dots+x_n=1\atop x_1,\dots,x_n\geq 0} \max(x_1,\dots,x_n)\,{\rm d}s $$

[maxal]

Если я не ошибся в вычислениях, то интеграл равен $q_n 2^{(n-1)/2}$, где $q_n$ - это дробь, значения которой для $n=2..9$ таковы:

3/4, 1/4, 5/54, 2827/124416, 13067243/3110400000, 196148609/311040000000, 929560841094409/11526966662400000000, 419593488764457917653/46270166340206592000000000

По крайней мере проверку на то, что значение должно быть больше $\frac{1}n \frac{\sqrt{n}}{(n-1)!\cdot 2^{(n-1)/2}}$, они проходят.

[novichok2018]

Интересно есть ли явная формула в такой простой (по формулировке) задаче.

[mihiv]

Но ведь для $n=2$ должно быть:

$$\iint \max (x_1,x_2)ds<\iint 1ds=\frac 12?$$

[svv]

Может, здесь интегрирование не по $n$-мерному симплексу, ограниченному гиперплоскостями
$x_1+\dots+x_n=1$ и $x_k=0\; (k=1...n)$,
а по $(n-1)$-мерному, лежащему в гиперплоскости $x_1+\dots+x_n=1$ (и тоже ограниченному $x_k=0$) ?

Что тогда такое $ds$? Если элемент $(n-1)$-мерного объёма — полезут квадратные корни.

[Dendr]

maxal в сообщении #1564801 писал(а):

Если я не ошибся в вычислениях, то значения для $n=2..9$ таковы:

Что-то у меня не сходится. В двумерном случае получаем интегрирование по прямой $x+y=1$, или, перейдя к координате вдоль линии (точнее, ее половинке, где, например, $x>y$),

$$2\int\limits_{0}^{1/\sqrt{2}}\left({1\over2}+\frac{u}{\sqrt{2}}\right)du=\frac{3}{2\sqrt{2}}$$

Отнормировав по длине отрезка, получил тоже $3/4$.

В трехмерном же случаем интегрируем по одной шестой части правильного треугольника (в каждой из частей координаты по-разному упорядочены по величине; выберем, например, $x>y>z$), или по области, ограниченной прямыми $u=0, v=0, \sqrt{2}u+\sqrt{6}v=1$. Подынтегральная функция имеет изолинии, параллельные $v+\sqrt{3}u=0$, и, после сопоставления с "реперными точками" (здесь, по-хорошему, должен быть рисунок, но я ленюсь),

$$u=v=0: x={1\over2}; u=0, v={1\over\sqrt{6}}: x={1\over3}; u={1\over\sqrt{2}}, v=0: x=1$$

выражается таким образом:

$$x={1\over2}+{u\over{\sqrt{2}}}-{v\over{\sqrt{6}}}$$

Интегрируя, получаем $11\sqrt{3}\over216$. Это надо домножить на $6$ областей и поделить для нормировки на площадь треугольника $\sqrt{3}\over2$, получится ${11\over72}>{\sqrt{3}\over12}$ (то есть проверка проходится).

[maxal]

Dendr, я уточнил, что за дроби у меня указаны - из них значение интеграла получаем умножением на $2^{(n-1)/2}$. Таким образом, для $n=3$ интеграл у меня равен $\frac12=0.5$, а вы утверждаете, что $\frac{11\sqrt{3}}{36}\approx 0.529$ (без нормирования). Интересно, кто прав?

[svv]

Вот почти прямая проверка результата Dendr с помощью WolframAlpha:
Integrate[Integrate[max(x, y, 1-x-y), {y, 0, 1-x}], {x, 0, 1}]
Этот запрос соответствует интегралу $\int\limits_{x=0}^1 \int\limits_{y=0}^{1-x} \max(x,y,1-x-y)\;dy\;dx$, Вольфрам выдаёт $\frac{11}{36}$. Поскольку я здесь интегрирую не по исходному треугольнику с вершинами $(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$, а по его проекции на плоскость $Oxy$, результат надо ещё умножить на $\sqrt 3$, получается то же, что у Dendr (до нормировки).

Может, мы что-то не то вычисляем?

[maxal]

svv, да у меня ошибка в программе, но чтобы ее исправить потребуется время.

[makxsiq]

maxal в сообщении #1564745 писал(а):

Неправильный ответ в соседней теме навеял задачку: для целого положительного $n$ вычислить

$$\iint\limits_{x_1+\dots+x_n=1\atop x_1,\dots,x_n\geq 0} \max(x_1,\dots,x_n)\,{\rm d}s $$

Рассмотрим ситуацию $ds=dx_1...dx_n$, искомый интеграл обозначим $S_n$
Тогда
$V_2 = \dfrac{3}{8}$, $S_2 = 2V_2 = \dfrac{3}{4}$
https://www.wolframalpha.com/input?i=in ... 0+to+1%2F2
$V_3 = \dfrac{11}{108}$, $S_3 = 3V_3 = \dfrac{11}{36}$
https://www.wolframalpha.com/input?i=in ... 0+to+1%2F2
$V_4 = \dfrac{25}{1152}$, $S_4 = 4V_4 = \dfrac{25}{288}$
https://www.wolframalpha.com/input?i=in ... 0+to+1%2F2

Есть основания предположить, что в общем виде
$S_n=H(n)/n!$
https://ask.sagemath.org/question/44203 ... -sequence/

[Null]

Если $ds=dx_1...dx_n$ то интеграл равен 0.