Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.

[Dmitriy40]

Батороев
Для насколько больших чисел?
Для них коэффициент $p_{0r}/(p_{0r}-2)$ приближается к единице и тем более не влияет.
А остальная дробь $\frac{P_1 P_2 P_0^2}{S_1 S_2 S_0^2}$ растёт с $2520$ для $p_{0r}=37$ до $65933$ для $p_{0r}=997$ и очевидно так и будет расти дальше (для $p_{0r}=9973$ уже $658652$). Как видно даже для $37$ коэффициент $35/37\approx0.946$ уже не меняет картину (5% никак не пересилят две с половиной тысячи), и чем дальше, тем меньше.

[Батороев]

Dmitriy40 в сообщении #1565191 писал(а):

Для них коэффициент $p_{0r}/(p_{0r}-2)$ приближается к единице и тем более не влияет.

Ну, и ладно!

[waxtep]

Батороев в сообщении #1565137 писал(а):

В итоге получил, что в натуральном ряду в пределах чисел, не превышающих отдельно расположенное простое число $p_{0r}>100$, выполняется неравенство:

$$P_{1}\cdot P_{2}> \dfrac {S_{1}\cdot S_{2}\cdot S_{0}^2\cdot p_{0r}}{P_{0}^2\cdot (p_{0r}-2)}$$

По-моему, интересная идея; огрубляя, ее можно так сформулировать: в указанном диапазоне произведение всех простых чисел больше произведения аккуратно подобранных примерно в том же количестве нечетных составных (с учетом степени вхождения). А точнее так (Батороев, не взыщите, если искажаю Ваш замысел):

1. Введем упорядоченную по возрастанию последовательность пурпурных (purple) вещественных чисел $p\geqslant7$, таких что:

• $p$ - изолированное простое число ($p\pm2$ - составные) или
• $p=\sqrt{g_{-}\cdot g_{+}}$, где $g_{-}< g_{+}$ - (соседние) простые числа-близнецы;

2. И аналогичную последовательность кобальтовых (cobalt) вещественных чисел $c\geqslant9$, таких что:

• $c$ - изолированное составное нечетное число ($c\pm2$ - простые) или
• $c=\sqrt{m_{-}\cdot m_{+}}$, где $m_{-}< m_{+}$ - составные нечетные числа, такие, что все нечетные числа между ними также являются составными, а $m_{-}\!-2, m_{+}\!+2$ - простые;

3. Гипотеза:

$$\forall i\; p_i\in\mathbb{N}\Rightarrow\! \prod\limits_{p_j\leqslant p_i}p_j>\prod\limits_{c_j\leqslant p_i}c_j$$

Dmitriy40 в сообщении #1565191 писал(а):

А остальная дробь $\frac{P_1 P_2 P_0^2}{S_1 S_2 S_0^2}$ растёт с $2520$ для $p_{0r}=37$ до $65933$ для $p_{0r}=997$ и очевидно так и будет расти дальше

Интересно, можно ли (и сложно ли) это доказать? Я пока не пытался особо, прямо с налету не вышло.

Батороев в сообщении #1565137 писал(а):

Нашел удивитель необычный способ доказательства бесконечности простых чисел-близнецов.

Скажите, а как это следует из гипотезы, в Вашей или моей формулировке? Пусть они доказаны, но вдруг в какой-то момент близнецы закончатся, и произведение пурпурных чисел будет прирастать исключительно за счет изолированных простых.

-- 22.09.2022, 01:25 --

waxtep в сообщении #1565212 писал(а):

Интересно, можно ли (и сложно ли) это доказать?

А, ну кажется это вполне очевидно: члены последовательностей $p=(7,\sqrt{11\cdot13},\sqrt{17\cdot19},23,\ldots)$ и $c=(9,15,21,\sqrt{25\cdot27},\ldots)$ будут перемежаться, т.е. $p_1<c_1<p_2<c_2\ldots<c_{i-1}<p_i$, ну и конечно произведение $p$-шек будет больше произведения $c$-шек, коль скоро наибольшее число тут $p_i$: каждая из дробей $p_k/c_{k-1}>1$, ну и еще $p_1$ у нас в запасе. Видимо, доказано.

[Батороев]

Мое доказательство опирается на неравенство, которое выполняется, начиная с $s_{r}=111$:

$$\dfrac{\prod\limits_{s_{r}} (s)^2}{\prod\limits_{s_{r}}(s-2)(s+2)}<\dfrac {1}{s_{r}}\eqno{(1)}$$

где $s_{r}$ - нечетные составные числа до $(p_{0r}-2)$ (все!).
После всех сокращений и преобразований можно получить соотношение $P_{1}\cdot P_{2}>X$ (расписывать нет времени, убегаю по делам... но думаю многим будет интересно проделать это самостоятельно).
Если предположить, что простые числа-близнецы конечны, но при этом $X$ будет продолжать расти, это делает предположение ложным.

[waxtep]

Батороев в сообщении #1565223 писал(а):

Мое доказательство опирается на неравенство, которое выполняется, начиная с $s_{r}=111$:

$$\dfrac{\prod\limits_{s_{r}} (s)^2}{\prod\limits_{s_{r}}(s-2)(s+2)}<\dfrac {1}{s_{r}}\eqno{(1)}$$

где $s_{r}$ - нечетные составные числа до $(p_{0r}-2)$ (все!).

Здесь, видимо, опечатка, левая часть строго больше единицы всегда.

А мой предыдущий многословный пост можно заменить простой картинкой:

$$\color{purple}7^2\color{blue}<9^2\color{purple}<11\cdot13\color{blue}<15^2\color{purple}<17\cdot19\color{blue}<21^2\color{purple}<23^2\ldots$$

Но отсюда к бесконечности простых-близнецов не прийти; это просто разбиение последовательности нечетных чисел на перемежающиеся кусочки с одинаковым признаком простоты. И выбор в соответствующие произведения либо элемента кусочка, если он там единственный, либо среднего геометрического между минимальным и максимальным элементами кусочка

[Батороев]

Dmitriy40 в сообщении #1565191 писал(а):

дробь $\frac{P_1 P_2 P_0^2}{S_1 S_2 S_0^2}$ растёт с $2520$ для $p_{0r}=37$

У меня дробь равна $33,5941$

waxtep в сообщении #1565230 писал(а):

Здесь, видимо, опечатка, левая часть строго больше единицы всегда.

Действительно, опечатка.
Но не в этом суть. Важнее то, чтобы понять структуру левой части неравенства.
И Вам это удалось!

waxtep в сообщении #1565212 писал(а):

По-моему, интересная идея; огрубляя, ее можно так сформулировать: в указанном диапазоне произведение всех простых чисел больше произведения аккуратно подобранных примерно в том же количестве нечетных составных (с учетом степени вхождения).

Подчеркнуто мной.
ТЕЗИСНО:
Предположим, простые числа-близнецы конечны.
Берем число, примерно в два раза превосходящее $p_{0r}$. Во второй части выражения простые числа исчезли и указанное Вами соотношение "в том же количестве" ложится на отдельно расположенные простые числа. Но этого не может быть, т.к. на каждое отдельно расположенное составное число должно приходиться пара простых чисел. При этом на пару меньших и бОльших составных чисел-близнецов должно приходиться одно простое число.
Предположить исчезновение меньших и бОльших составных чисел мы не можем (т.к. число всех составных чисел увеличивается). Остается предположить исчезновение отдельно расположенных составных чисел (2).
Каждое отдельно расположенное число является характеристикой двоюродных простых чисел (отличающихся друг от друга на $4$). Т.е. исчезновение простых чисел-близнецов ведет к исчезновению двоюродных простых чисел.
.....

[Батороев]

Батороев в сообщении #1565368 писал(а):

ТЕЗИСНО:
Предположим, простые числа-близнецы конечны.
Берем число, примерно в два раза превосходящее $p_{0r}$. Во второй части выражения простые числа исчезли и указанное Вами соотношение "в том же количестве" ложится на отдельно расположенные простые числа. Но этого не может быть, т.к. на каждое отдельно расположенное составное число должно приходиться пара простых чисел. При этом на пару меньших и бОльших составных чисел-близнецов должно приходиться одно простое число.
Предположить исчезновение меньших и бОльших составных чисел мы не можем (т.к. число всех составных чисел увеличивается). Остается предположить исчезновение отдельно расположенных составных чисел (2).
Каждое отдельно расположенное число является характеристикой двоюродных простых чисел (отличающихся друг от друга на $4$). Т.е. исчезновение простых чисел-близнецов ведет к исчезновению двоюродных простых чисел.
.....

Что-то в этой части я сам засомневался.

[Dmitriy40]

Батороев в сообщении #1565368 писал(а):

Dmitriy40 в сообщении #1565191 писал(а):

дробь $\frac{P_1 P_2 P_0^2}{S_1 S_2 S_0^2}$ растёт с $2520$ для $p_{0r}=37$

У меня дробь равна $33,5941$

Непонятно.
$p_{0r}=37$ вполне себе одиночное простое, значит до него считать можно. У меня для него коэффициенты в дроби следующие: $P_1=3\cdot5\cdot11\cdot17\cdot29=81345$, $P_2=5\cdot7\cdot13\cdot19\cdot31=267995$, $P_0=23\cdot37=851$, $S_1=25\cdot33=825$, $S_2=27\cdot35=945$, $S_0=9\cdot15\cdot21=2835$, у Вас они другие? Приведите пожалуйста как они считаются у Вас.

[waxtep]

Батороев в сообщении #1565368 писал(а):

Т.е. исчезновение простых чисел-близнецов ведет к исчезновению двоюродных простых чисел.

Тут, видимо, такое дело: вообще с ростом величины чисел простых среди них становится все меньше, их же всего логарифм так сказать, - начинают доминировать составные. Вы это их преобладание ловко устраняете, беря только одного "представителя" для всей подпоследовательности идущих подряд нечетных составных чисел. Но сама эта подпоследовательность может быть сколь угодно длинной: для любого $n$ составными будут все подряд идущие нечетные числа $(2n+1)!+3,(2n+1)!+5,\ldots(2n+1)!+2n+1$ в количестве $n$ штук

[Батороев]

Dmitriy40
Вы наверное, не заметили:

Батороев в сообщении #1565137 писал(а):

(без учета чисел $3;5$)

-- 26 сен 2022 13:39 --

waxtep в сообщении #1565404 писал(а):

Вы это их преобладание ловко устраняете, беря только одного "представителя" для всей подпоследовательности идущих подряд нечетных составных чисел.

Это не я устраняю, а дробь в левой части неравенства, в котором я допустил очепятку, сокращает все промежуточные числа в группах составных чисел, длины которых больше двух.

-- 26 сен 2022 14:13 --

А если Вас смущает указанная дробь, то можно заменить ее на обратную (с коэффициентом $\dfrac {p_{0r}}{(p_{0r}+2)}$) :

$$\dfrac{\prod\limits_{p_{0r}}(p-2)(p+2)}{\prod\limits_{p_{0r}} (p)^2}$$

[Dmitriy40]

Батороев в сообщении #1565424 писал(а):

Dmitriy40
Вы наверное, не заметили:

Батороев в сообщении #1565137 писал(а):

(без учета чисел $3;5$)

Хорошо, из $P_1$ уйдёт $3$, из $P_2$ уйдёт $5$, остальное останется, коэффициент уменьшится в $3\cdot5=15$ раз, до $2520/15=168$, и $33$ всё равно не получаются, откуда ещё из числителя $5$ забрать или добавить в знаменатель? Ведь разумеется я проверил такой вариант прежде чем спрашивать.

[Батороев]

Dmitriy40 в сообщении #1565434 писал(а):

$P_1$ уйдёт $3$,

И $5$ уйдет.

[Dmitriy40]

Батороев в сообщении #1565437 писал(а):

Dmitriy40 в сообщении #1565434 писал(а):

$P_1$ уйдёт $3$,

И $5$ уйдет.

Поясните, почему $5$ из $P_1$ уйдёт, а $7$ из $P_2$ нет? Это ведь одна и та же пара простых близнецов.
Как то Вы очень уж "по левому" считаете ...
Впрочем на факт роста дроби с увеличением чисел это всё равно никак не влияет, другим будет только постоянный коэффициент.

[Батороев]

ТЕЗИСНО:
Для всех нечетных составных чисел до $s_{i}$ соблюдается неравенство:

$$\dfrac{\prod\limits_{s_{i}} (s)^2}{\prod\limits_{s_{i}}(s-2)(s+2)}<s_{i}+2\eqno{(1)}$$

где $s$ - нечетные составные числа.
После сокращений получаем (на том же интервале):

$$\dfrac {S_{1}\cdot S_{2}\cdot S_{0}^2}{P_{1}\cdot P_{2}\cdot P_{0}^2}<s_{i}+2\eqno{(2)}$$

где
$S_{1}; S_{2};S_{0}$ - произведения не отдельно расположенных составных чисел, примыкающих к простым числам, соответственно, сверху, снизу, а также произведение отдельно расположенных составных чисел;
$P_{1};P_{2}$ - произведения простых чисел-близнецов без учета простых $3; 5$;
$P_{0}$ - произведение отдельно расположенных простых чисел.

Преобразовав неравенство (2), получаем:

$$P_{1}\cdot P_{2} > \dfrac {S_{1}\cdot S_{2}\cdot S_{0}^2}{ P_{0}^2}\cdot \dfrac {1}{(s_{i}+2)}\eqno {(3)}$$

Предположим, что простые числа конечны.
Запишем неравенство (3) для чисел, стремящимся к бесконечности, выделив участок, на котором простые числа-близнецы закончились и их произведение не должно расти (4):

$$P_{1}\cdot P_{2} > \dfrac {S_{1}\cdot S_{2}\cdot S_{0}^2}{ P_{0}^2}\cdot \dfrac {1}{p_{0r}}\cdot \dfrac {S'_{1}\cdot S'_{2}\cdot S'_{0}^2}{ P'_{0}^2}\cdot \dfrac {1}{p'_{i}}\eqno {(5)}$$

где
$p_{0r}$ - простое число, следующее за последним простым числом-близнецом.
Числа со штрихом, аналогичны вышеуказанным, но превосходят $p_{0r}$.
Участок дроби, включающий $\dfrac {1}{p_{0r}}$ , и есть тот участок, который мы хотели выделить.
Остальная часть дроби $>1$ (6), что говорит о том, что произведение простых чисел-близнецов будет увеличиваться.
Противоречие с (4).

-- 27 сен 2022 00:39 --

Dmitriy40 в сообщении #1565458 писал(а):

Как то Вы очень уж "по левому" считаете ...

Я считаю то, что выдает левая часть неравенства (1) из текущего сообщения.

[Dmitriy40]

Батороев в сообщении #1565473 писал(а):

Я считаю то, что выдает левая часть неравенства (1) из текущего сообщения.

Повторю вопрос:

Dmitriy40 в сообщении #1565458 писал(а):

Поясните, почему $5$ из $P_1$ уйдёт, а $7$ из $P_2$ нет? Это ведь одна и та же пара простых близнецов.