2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 кинематика . Отношение пути к перемещению.
Сообщение06.09.2022, 19:51 
Аватара пользователя


15/08/09
1458
МГУ
Часовая стрелка имеют длину $R$. За какое время, путь пройденный концом стрелки , будет больше модуля его перемещения в $k$-раз

Я рассуждаю так .

Рассмотрим окружность радиуса $R$ и с центром $O$. Зафиксируем на этой окружности две точки $A$,$B$. $A$-начальное положение конца стрелки и $B$-конечное положение конца стрелки. Тогда меньшая дуга $\widetilde{AB}$- Это путь, а хорда $AB$ это перемещение.

Тогда $t$-это время за которое выполнено, что $\frac{\widetilde{AB}}{AB}=k$

За время $t$ $\angle AOB= \frac{t\pi}{6}$

Длина $\widetilde{AB}=\frac{\pi Rt}{60}$


по теореме косинусов перемещение $AB=R\sqrt{2(1-\cos(\frac{t\pi}{6}))}$

Тогда получим уравнение

$$\frac{\pi Rt}{60}=kR\sqrt{2(1-\cos(\frac{t\pi}{6}))}$$

Вот $t$ из него сложно получить......

Может я все усложнил ?

 Профиль  
                  
 
 Re: кинематика . Отношение пути к перемещению.
Сообщение06.09.2022, 22:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
4266
Вроде, правильно, но сложновато. По тексту задачи составляем уравнение $\sin\alpha=\dfrac{\alpha}{k}$, где $\alpha$ - половина угла поворота стрелки. Это уравнение решаем численно для конкретного значения $k$ (кстати, решений будет несколько, вероятно, здесь подразумевается наименьшее положительное решение). А уже зная $\alpha$ и угловую скорость движения стрелки, можно ответить на вопрос задачи. По-моему, так.

 Профиль  
                  
 
 Re: кинематика . Отношение пути к перемещению.
Сообщение07.09.2022, 06:18 
Аватара пользователя


15/08/09
1458
МГУ
Вообще это школьная задача, поэтому мне кажется должно быть совсем просто решение ….

 Профиль  
                  
 
 Re: кинематика . Отношение пути к перемещению.
Сообщение07.09.2022, 08:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
4266
maxmatem в сообщении #1564272 писал(а):
должно быть совсем просто решение

Вот только его нет. Уравнение $\sin\alpha=\dfrac{\alpha}{k}$ является трансцендентным, и решения в обычных "школьных" функциях оно не имеет. Тут ничего не поделать.
Можно разве что ещё раз перечитать условие задачи. Вы уверены, что привели его точно?

 Профиль  
                  
 
 Re: кинематика . Отношение пути к перемещению.
Сообщение07.09.2022, 09:05 


17/10/16
3894
maxmatem
Везде эта задача приводится для частного случая $k=\pi$. Только вроде бы логично тогда уже приводить ее для случая $k=\frac{\pi}{2}$, тогда хотя бы есть простое решение (6 часов). Для случая $k=\pi$ все равно нужно решать численно.

 Профиль  
                  
 
 Re: кинематика . Отношение пути к перемещению.
Сообщение07.09.2022, 09:47 
Аватара пользователя


15/08/09
1458
МГУ
Я точно привёл условие .
Ну ладно . Всем спс

 Профиль  
                  
 
 Re: кинематика . Отношение пути к перемещению.
Сообщение07.09.2022, 11:14 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
для любого $k$ есть решение $\alpha =0$ :mrgreen:

Понятно, что далеко не для каждого $k$ оно единственное.

 Профиль  
                  
 
 Re: кинематика . Отношение пути к перемещению.
Сообщение07.09.2022, 11:53 
Заслуженный участник


28/12/12
7740
EUgeneUS в сообщении #1564282 писал(а):
Понятно, что далеко не для каждого $k$ оно единственное.

Единственное для $0\leq k\leq 1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: кинематика . Отношение пути к перемещению.
Сообщение07.09.2022, 12:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
А что если эта задача чисто качественная, без всяких там ваших формул. Для начинающего школьника было бы интересно. Ну ясно, что путь всегда не болменьше перемещения, а для нашего случая равен ему только в начале движения, в нуле. На первом обороте $k$ увеличивается монотонно от $1$ до бесконечности и для любого такого коэффициента имеется единственное решение на первом обороте. А вот на втором обороте история не повторяется. Коэффициент убывает от бесконечности до некоторого числа, а потом снова возрастает к бесконечности. Но это число всё же побольше $4$. Ну старшеклассник может быть и найдёт точный минимум функции на втором и последующих оборотах. Минимумы возрастают и можно сделать вывод, что для каждого $k$ есть конечное количество решений. Нагляднее, по моему, рассуждать об обратном отношении. ВотЪ.

 Профиль  
                  
 
 Re: кинематика . Отношение пути к перемещению.
Сообщение07.09.2022, 12:50 
Заслуженный участник


28/12/12
7740
gris в сообщении #1564292 писал(а):
А что если эта задача чисто качественная, без всяких там ваших формул. Для начинающего школьника было бы интересно. Ну ясно, что путь всегда не больше перемещения, а для нашего случая равен ему только в начале движения, в нуле. На первом обороте $k$ увеличивается монотонно от $1$ до бесконечности и для любого такого коэффициента имеется единственное решение на первом обороте. А вот на втором обороте история не повторяется. Коэффициент убывает от бесконечности до некоторого числа, а потом снова возрастает к бесконечности.
По-моему, очень полезно графики порисовать и точки пересечения поискать.

 Профиль  
                  
 
 Re: кинематика . Отношение пути к перемещению.
Сообщение07.09.2022, 12:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
4266

(gris)

gris в сообщении #1564292 писал(а):
Ну ясно, что путь всегда не больше перемещения

Вы оговорились :-) Наоборот.

 Профиль  
                  
 
 Re: кинематика . Отношение пути к перемещению.
Сообщение07.09.2022, 13:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Дык с этого и начал. А именно с натурного эксперимента. Пустил точку по единичной окружности радиуса $1$. Прямо в эксельке. Переменная $t$ стартует от нуля.
Начальное положение точки $(1,0)$.
Текущее $(\cos x, \sin x)$.
Модуль перемещения $\sqrt {\sin^2 t+(1-\cos t)^2}$
Путь $t$
Лучше считать отношение перемещения к пути.
Можно и наоборот.
Но всё равно.
Может напутал что?
А, конечно, путь не меньше перемещения :oops: . Спасибо.
https://www.wolframalpha.com/input?i=plot++min%2820%2C+x%2Fsqrt%28sin%5E2+x%2B%281-cos+x%29%5E2%29%29+%28x+from+0+to+40%29
А, ещё добавка. Конечно, единственность понимается на интервале $(0, \infty)$. А то в нуле всё можно :-) Это я про $k\in [0,1]$. С этим согласен. Правда, "больше в одну вторую раз" ужасно звучит.

 Профиль  
                  
 
 Re: кинематика . Отношение пути к перемещению.
Сообщение07.09.2022, 14:54 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
gris в сообщении #1564296 писал(а):
Модуль перемещения $\sqrt {\sin^2 t+(1-\cos t)^2}$


Это легко упрощается до $|2 \sin (t/2)|$.

К вопросу о качественном анализе задачи, наличие модуля тут существенно.
Если его потерять, как произошло выше у уважаемого Mihr, то потеряются решения "больше 6 часов".

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group