кинематика . Отношение пути к перемещению.

[maxmatem]

Часовая стрелка имеют длину $R$. За какое время, путь пройденный концом стрелки , будет больше модуля его перемещения в $k$-раз

Я рассуждаю так .

Рассмотрим окружность радиуса $R$ и с центром $O$. Зафиксируем на этой окружности две точки $A$,$B$. $A$-начальное положение конца стрелки и $B$-конечное положение конца стрелки. Тогда меньшая дуга $\widetilde{AB}$- Это путь, а хорда $AB$ это перемещение.

Тогда $t$-это время за которое выполнено, что $\frac{\widetilde{AB}}{AB}=k$

За время $t$ $\angle AOB= \frac{t\pi}{6}$

Длина $\widetilde{AB}=\frac{\pi Rt}{60}$


по теореме косинусов перемещение $AB=R\sqrt{2(1-\cos(\frac{t\pi}{6}))}$

Тогда получим уравнение

$$\frac{\pi Rt}{60}=kR\sqrt{2(1-\cos(\frac{t\pi}{6}))}$$

Вот $t$ из него сложно получить......

Может я все усложнил ?

[Mihr]

Вроде, правильно, но сложновато. По тексту задачи составляем уравнение $\sin\alpha=\dfrac{\alpha}{k}$, где $\alpha$ - половина угла поворота стрелки. Это уравнение решаем численно для конкретного значения $k$ (кстати, решений будет несколько, вероятно, здесь подразумевается наименьшее положительное решение). А уже зная $\alpha$ и угловую скорость движения стрелки, можно ответить на вопрос задачи. По-моему, так.

[maxmatem]

Вообще это школьная задача, поэтому мне кажется должно быть совсем просто решение ….

[Mihr]

maxmatem в сообщении #1564272 писал(а):

должно быть совсем просто решение

Вот только его нет. Уравнение $\sin\alpha=\dfrac{\alpha}{k}$ является трансцендентным, и решения в обычных "школьных" функциях оно не имеет. Тут ничего не поделать.
Можно разве что ещё раз перечитать условие задачи. Вы уверены, что привели его точно?

[sergey zhukov]

maxmatem
Везде эта задача приводится для частного случая $k=\pi$. Только вроде бы логично тогда уже приводить ее для случая $k=\frac{\pi}{2}$, тогда хотя бы есть простое решение (6 часов). Для случая $k=\pi$ все равно нужно решать численно.

[maxmatem]

Я точно привёл условие .
Ну ладно . Всем спс

[EUgeneUS]

для любого $k$ есть решение $\alpha =0$

Понятно, что далеко не для каждого $k$ оно единственное.

[DimaM]

EUgeneUS в сообщении #1564282 писал(а):

Понятно, что далеко не для каждого $k$ оно единственное.

Единственное для $0\leq k\leq 1$.

[gris]

А что если эта задача чисто качественная, без всяких там ваших формул. Для начинающего школьника было бы интересно. Ну ясно, что путь всегда не болменьше перемещения, а для нашего случая равен ему только в начале движения, в нуле. На первом обороте $k$ увеличивается монотонно от $1$ до бесконечности и для любого такого коэффициента имеется единственное решение на первом обороте. А вот на втором обороте история не повторяется. Коэффициент убывает от бесконечности до некоторого числа, а потом снова возрастает к бесконечности. Но это число всё же побольше $4$. Ну старшеклассник может быть и найдёт точный минимум функции на втором и последующих оборотах. Минимумы возрастают и можно сделать вывод, что для каждого $k$ есть конечное количество решений. Нагляднее, по моему, рассуждать об обратном отношении. ВотЪ.

[DimaM]

gris в сообщении #1564292 писал(а):

А что если эта задача чисто качественная, без всяких там ваших формул. Для начинающего школьника было бы интересно. Ну ясно, что путь всегда не больше перемещения, а для нашего случая равен ему только в начале движения, в нуле. На первом обороте $k$ увеличивается монотонно от $1$ до бесконечности и для любого такого коэффициента имеется единственное решение на первом обороте. А вот на втором обороте история не повторяется. Коэффициент убывает от бесконечности до некоторого числа, а потом снова возрастает к бесконечности.

По-моему, очень полезно графики порисовать и точки пересечения поискать.

[Mihr]

(gris)

gris в сообщении #1564292 писал(а):

Ну ясно, что путь всегда не больше перемещения

Вы оговорились Наоборот.

[gris]

Дык с этого и начал. А именно с натурного эксперимента. Пустил точку по единичной окружности радиуса $1$. Прямо в эксельке. Переменная $t$ стартует от нуля.
Начальное положение точки $(1,0)$.
Текущее $(\cos x, \sin x)$.
Модуль перемещения $\sqrt {\sin^2 t+(1-\cos t)^2}$
Путь $t$
Лучше считать отношение перемещения к пути.
Можно и наоборот.
Но всё равно.
Может напутал что?
А, конечно, путь не меньше перемещения . Спасибо.
https://www.wolframalpha.com/input?i=plot++min%2820%2C+x%2Fsqrt%28sin%5E2+x%2B%281-cos+x%29%5E2%29%29+%28x+from+0+to+40%29
А, ещё добавка. Конечно, единственность понимается на интервале $(0, \infty)$. А то в нуле всё можно Это я про $k\in [0,1]$. С этим согласен. Правда, "больше в одну вторую раз" ужасно звучит.

[EUgeneUS]

gris в сообщении #1564296 писал(а):

Модуль перемещения $\sqrt {\sin^2 t+(1-\cos t)^2}$

Это легко упрощается до $|2 \sin (t/2)|$.

К вопросу о качественном анализе задачи, наличие модуля тут существенно.
Если его потерять, как произошло выше у уважаемого Mihr, то потеряются решения "больше 6 часов".