Подмножества вещественных чисел

[Dicson]

А мощность - это вот это?:

zykov в сообщении #1564068 писал(а):

Далее, мощность множества всех подмножеств множества действительных чисел обозначается $\aleph_2 = 2^{\aleph_1}$ И т.д.

В общем, понятно. Множество подмножеств вещественных чисел - это не другие числа, не гиперконтинуум, не "набор объектов, количество которых больше вещественных чисел", а просто множество большей мощности - $\aleph_2$.

[EminentVictorians]

Dicson в сообщении #1564103 писал(а):

Я спрашивал в более общем смысле, только неудачно выразился. Множество подмножеств вещественных чисел - это "количество"? Чего-то, неважно чего. Так можно сказать?

Ну лично я Ваш вопрос понял. Я бы так ответил. Числовое множество отличается от просто множества наличием дополнительной структуры - как минимум каких-то операций. Но это не очень строгое предложение, т.к. нету никаких конкретных условий, которым должны удовлетворять эти операции. Короче говоря, понятие "числовое множество" само толком не определено. Действительно, не будем же мы любую алгебру или группу считать "числовым множеством". Понимать под "числовым множеством" поле - тоже плохая идея, т.к. целые числа тогда не будут "числовым множеством", а нам бы этого не хотелось. С натуральными числами (начинающимися с единицы) все еще забавнее - они даже моноид не образуют; всего лишь полугруппу.

Вы хотите "пересчитать" элементы произвольного множества. Иными словами получить биекцию между произвольным множеством и "числовым" множеством. А это довольно сложно сделать, учитывая, что у нас даже само понятие "числового множества" не определено. Мне кажется, что Вам просто интересно посмотреть на "большие числовые множества", что бы это ни значило. Ну самое большое из мне известных - сюрреальные числа. Они даже поле образуют. И любое линейно упорядоченное поле (сколь угодно большой мощности) можно вложить в них.

[Mikhail_K]

Dicson в сообщении #1564100 писал(а):

Почему мы не можем пронумеровать какими-нибудь числами

Любое множество можно (теоретически, но чаще всего не практически) пронумеровать ординалами.
Считать ли ординалы "числами" - в общем, чисто вопрос терминологии.

[upgrade]

(Оффтоп)

Aritaborian в сообщении #1564101 писал(а):

Ну так мы и множество действительных чисел уже не можем пронумеровать.

Если под «пронумеровать» понимается - сопоставить вещественным числам натуральные, то понятно, а если - пронумеровать множество собственными элементами (т.е. вещественные пронумеровать вещественными), то не очень.

[zykov]

Обычно, когда говорят "пронумеровать множество", то имеют ввиду установить соответствие с множеством натуральных чисел.
Т.е. установить счётность множества.
IMHO, ТС запутался в каких-то фантазиях, которые сам придумал - "числа", "пронумеровать".

[Mirage_Pick]

Dicson, почитайте про трансфинитные числа на Wiki. И вообще советую ознакомиться с историей вопроса, с первоисточниками Кантора и т.д. Ваша идея присвоить "числа" размерам бесконечных множеств очень естественна и, конечно же, приходила в голову отцам-основателям теории множеств. Но с тех пор теория развилась далеко вперед, и мы уже знаем такие хитрые факты, к примеру, как то, что без так называемой аксиомы выбора множество вещественных чисел можно представить в виде счетного объединения счетных множеств. Интересующие же вас сейчас вещи уже давно разложены по полочкам с соответствующей терминологией, с которой тоже имеет смысл ознакомиться по книжкам какого-нибудь Шеня, например.

[Someone]

Dicson в сообщении #1564107 писал(а):

А мощность - это вот это?:

zykov в сообщении #1564068 писал(а):

Далее, мощность множества всех подмножеств множества действительных чисел обозначается $\aleph_2 = 2^{\aleph_1}$ И т.д.

В общем, понятно. Множество подмножеств вещественных чисел - это не другие числа, не гиперконтинуум, не "набор объектов, количество которых больше вещественных чисел", а просто множество большей мощности - $\aleph_2$.

Я уже писал, что равенство $2^{\aleph_0}=\aleph_1$ не обязано быть верным, и вполне может быть $2^{\aleph_0}>\aleph_1$.
Точно так же и равенство $2^{\aleph_1}=\aleph_2$ может быть неверным, тем более, что $2^{\aleph_1}\geqslant 2^{\aleph_0}$. В общем, не пишите, пожалуйста, таких равенств.

Dicson в сообщении #1564100 писал(а):

Почему мы не можем пронумеровать какими-нибудь числами множество подмножеств вещественных чисел?

Термин "число" имеет совершенно непонятный объём. Чаще всего, говоря "число", имеют в виду действительное число, а в других случаях добавляют указание на конкретный вид "чисел": натуральное число, рациональное число, комплексное число, $p$-адическое число, порядковое число…

Dicson в сообщении #1564092 писал(а):

Я отыскал ссылку, где видел термин гиперконтинуум. Это оказался чей-то образовательный блог. Цитата:

Цитата:

N0 < 2N0 = C = N1 < 2N1 = N2 < 2N2 = N3 < ... , где N0, N1=C, N2=2C, N3=22 (N – алеф, С – готическое «це») есть последовательная счетная мощность, континуум, гипер-континуум, гипер-гипер-континуум. Кантор поставил вопрос о существовании промежуточной мощности между счетной и континуумом и о существовании промежуточной мощности между N0 и N1 (континуум гипотезы). Гедель и Коэн показали, что обе гипотезы не могут быть доказаны (Гедель) и опровергнуты (Коэн) в аксиоматической теории множеств, то есть обе гипотезы не зависят от аксиом теории множеств.

Образовательный блог — всё для учебы. Шкала мощностей.

Насчёт этих "равенств" я уже писал. Кантор не ставил вопроса о промежуточной мощности между $\aleph_0$ и $\aleph_1$ просто потому, что он понимал, о чём пишет: промежуточной мощности между $\aleph_0$ и $\aleph_1$ нет и не может быть, потому что по определению $\aleph_1$ — наименьший кардинал, следующий за $\aleph_0$. Промежуточной мощности нет в точности по той же причине, по которой нет промежуточного целого числа между $0$ и $1$. Авторы данного "образовательного" портала, очевидно, этого не понимают.

А вот промежуточные мощности между $\aleph_0$ и $\mathfrak c=2^{\aleph_0}$ вполне могут быть, и в очень большом количестве, и равенство $\mathfrak c=\aleph_1$ называется континуум-гипотезой.

Не читайте, пожалуйста, этот "образовательный" портал, ничего, кроме путаницы и глупостей, Вы там не найдёте. Вам уже рекомендовали книгу Виленкина, вот и попробуйте её почитать.

[Dicson]

Я прочитал все сообщения. Чтобы было понятнее, в чём заключался мой вопрос из заглавного поста, ниже я его переформулирую, а в конце напишу, как я теперь понимаю ответ на него.

Первая формулировка. Любую бесконечность объектов - условных точек - мы можем занумеровать натуральными числами, недостатка в них не будет. Для любой линии, поверхности, любого сколь угодно многомерного объёма достаточно будет действительных чисел - всегда можно задать координаты на этих континуумах. Да, на уровне действительных чисел появляются такие объекты, как число $\pi$, и это объекты необычные, но всё-таки "понятные". Можно ткнуть иголкой в линейку и ожидать, что попал точно в число $\pi$. Пусть нет такой линейки, которая позволила бы это доказать, но по крайней мере есть, куда тыкать - есть что строить. Но что за объект $\aleph_2$? Куда там "тыкать", какой иголкой, как там задавать координаты? Как мы узнаем этот объект, если встретим в реальности? Мы же ничего, кроме точек и континуума, представить не можем? Или можем?

Вторая формулировка. Натуральные числа - это интуитивно понятный объект. Знай себе, считай. Проблемы понимания есть с их бесконечностью, но она далеко. Множество их подмножеств - действительные числа - это уже совершенно другой объект. Бесконечность, как естественное основание "непонимания", проявляет себя на уровне действительных чисел гораздо более явно, она там везде. То есть действительные числа по сравнению с натуральными - это объект гораздо менее ясный, менее однозначный, "более бесконечный", то есть, обобщая, "менее финитистский". Тогда что из себя будет представлять объект $\aleph_2$? Следующие алефы? Куда стремится бесконечная последовательность $\aleph$?

Как я понял ответ. Ответ на эти вопросы в том, что на уровень $\aleph_2$ нельзя переносить идеи, которые применимы к натуральным или действительным числам, так как $\aleph_2$ - это именно другой объект. На уровне действительных чисел исчезла счётность, на уровне $\aleph_2$ исчезнет что-то ещё, но пока этот объект хотя бы приблизительно не представим, что исчезнет, какие у этого объекта конкретные свойства - неизвестно. Вероятно, пока утверждать можно только то, что это будет объект "ещё более бесконечный" и потому "ещё более непонятный", чем $\aleph_1$.

Someone в сообщении #1564131 писал(а):

Я уже писал, что равенство $2^{\aleph_0}=\aleph_1$ не обязано быть верным, и вполне может быть $2^{\aleph_0}>\aleph_1$.
Точно так же и равенство $2^{\aleph_1}=\aleph_2$ может быть неверным, тем более, что $2^{\aleph_1}\geqslant 2^{\aleph_0}$. В общем, не пишите, пожалуйста, таких равенств.

Я понимаю, что здесь "не всё ясно". И, видимо, "никогда не будет ясно". Но можно ли для простоты принять эти равенства верными, чтобы понять отношения между алефами в общем и целом, а уже после уточнить "неясностью"?

[mihaild]

[то, что выше цитаты, вообще сложно интерпретировать как осмысленные вопросы; почитайте Виленкина или еще какую-нибудь хорошую книжку]

Dicson в сообщении #1564171 писал(а):

Но можно ли для простоты принять эти равенства верными, чтобы понять отношения между алефами в общем и целом, а уже после уточнить "неясностью"?

Нет. Алефы - сложная штука.
Гораздо более простая вещь - бет-числа, которые определяются ровно так, $\beth_{n + 1} = 2^{\beth_n}$.

[Someone]

Dicson в сообщении #1564171 писал(а):

Первая формулировка. Любую бесконечность объектов - условных точек - мы можем занумеровать натуральными числами, недостатка в них не будет.

Неверно. И так не говорят: "бесконечность объектов".

Dicson в сообщении #1564171 писал(а):

Для любой линии, поверхности, любого сколь угодно многомерного объёма достаточно будет действительных чисел - всегда можно задать координаты на этих континуумах.

Для "сколь угодно многомерного объёма" количество этих "координат" может оказаться больше, чем действительных чисел. И даже не очень многомерный "объём" может оказаться устроен настолько сложно, что будет непонятно, как ввести на нём координаты. Даже одномерный.

Dicson в сообщении #1564171 писал(а):

Но что за объект $\aleph_2$? Куда там "тыкать", какой иголкой

Это связано с понятием ординала.

Конечные ординалы — это натуральные числа, включая $0$:
$0,1,2,3,4,\ldots$.
Ординал удобно представлять как множество всех меньших ординалов. Например, $0=\varnothing$ (пустое множество, так как нет ординалов $<0$), $1=\{0\}$, $2=\{0,1\}$, $3=\{0,1,2\}$, и так далее. Переход к следующему ординалу (прибавление $1$) можно определить как $\alpha+1=\alpha\cup\{\alpha\}$.
Представим себе, что все конечные ординалы мы уже прошли. Мощность множества всех конечных ординалов обозначается $\aleph_0$.
Первый бесконечный ординал обозначается $\omega=\{0,1,2,3,\ldots\}$ (вообще-то, он $\omega_0$, но индекс ему обычно писать ленятся). Счёт продолжается дальше:
$\omega,\omega+1,\omega+2,\omega+3,\omega+4,\ldots,\omega+\omega=\omega\cdot 2,\omega\cdot 2+1,\omega\cdot 2+2,\omega\cdot 2+4,\ldots,$
$\omega\cdot 2+\omega=\omega\cdot 3,\omega\cdot 3+1,\omega\cdot 3+2,\omega\cdot 3+3,\ldots,\omega\cdot 3+\omega=\omega\cdot 4,\ldots$
При продолжении счёта нам будут встречаться
$\omega\cdot 5,\ldots,\omega\cdot 6,\ldots,\omega\cdot 7,\ldots\omega\cdot 8,\ldots$
В конце концов мы дойдём до $\omega\cdot\omega=\omega^2$, далее пойдут $\omega^3$, $\omega^4$, $\omega^5$,…, $\omega^{\omega}$, $\omega^{\omega+1}$, и так далее. Все ординалы, которые мы здесь упомянули, являются счётными множествами.
Однако "когда-нибудь" множество счётных ординалов станет столь большим, что его уже нельзя будет занумеровать натуральными числами. Вот мощность множества всех конечных и счётных ординалов и обозначается $\aleph_1$.
За счётными ординалами идёт первый несчётный ординал, который обозначается $\omega_1$. Он имеет мощность $\aleph_1$. Мы можем продолжать прибавлять единицу, получая $\omega_1+1$, $\omega_1+2$, $\omega_1+3$, и так далее. "Когда-нибудь" множество построенных ординалов будет иметь мощность больше $\aleph_1$. Наименьший ординал мощности, большей $\aleph_1$, обозначается $\omega_2$, и его мощность обозначается $\aleph_2$. Ну и так далее: далее будут $\aleph_3$, $\aleph_4$, $\aleph_5$,…, $\aleph_{\omega}$, $\aleph_{\omega+1}$,…

Однако у нас нет никаких оснований предполагать, что переход к множеству подмножеств даёт всегда непосредственно следующий кардинал, то есть, что всегда $2^{\aleph_{\alpha}}=\aleph_{\alpha+1}$ (такое предположение называется обобщённой континуум-гипотезой), или что хотя бы $2^{\aleph_0}=\aleph_1$. Способ образования $\aleph_1$ настолько сильно отличается от способа образования $2^{\aleph_0}$, что их равенство выглядит как какое-то невероятное совпадение.

Dicson в сообщении #1564171 писал(а):

Я понимаю, что здесь "не всё ясно". И, видимо, "никогда не будет ясно".

Почему же? Наоборот, здесь, в некотором смысле, всё ясно: может быт равенство, и может быть неравенство. Принятые аксиомы теории множеств не предопределяют соотношения между $2^{\aleph_0}$ и $\aleph_1$. Никто не запрещает предполагать, что они равны, и никто не запрещает предполагать, что они не равны. Однако надо понимать, что теорема, доказанная с использованием одного из этих предположений, будет иметь ограниченную область применимости.

Dicson в сообщении #1564171 писал(а):

Но можно ли для простоты принять эти равенства верными, чтобы понять отношения между алефами в общем и целом

Вот как раз для этой цели категорически противопоказано принимать эти равенства верными. У Вас получатся отношения не "в общем и целом", а как раз в одном весьма специальном случае. Кстати, академик П. С. Александров называл использование континуум-гипотезы "паразитом счётности".

Dicson в сообщении #1564171 писал(а):

на уровень $\aleph_2$ нельзя переносить идеи, которые применимы к натуральным или действительным числам, так как $\aleph_2$ - это именно другой объект. На уровне действительных чисел исчезла счётность, на уровне $\aleph_2$ исчезнет что-то ещё, но пока этот объект хотя бы приблизительно не представим, что исчезнет, какие у этого объекта конкретные свойства - неизвестно.

Если хотите во всём этом разобраться — читайте соответствующую литературу.

[Dicson]

Прочитал Виленкина - Рассказы о множествах. Вроде бы ничего особенно нового для себя не обнаружил, кроме некоторых доказательств и формальных определений. Но в конечном итоге (в том числе благодаря вашему посту и Википедии) ответ на половину моего вопроса стал понятен. В том смысле, который я имел в виду, "больше" действительных чисел числа порядковые. Им предела уже нет, то есть "существует бесконечное множество порядковых чисел, но не существует множества всех порядковых чисел" (цитата из Википедии). А только половина вопроса это потому, что из порядковых чисел самих по себе никаких свойств $\aleph_2$, $\aleph_3$, $\aleph_4$... вывести нельзя, а именно это меня интересовало прежде всего.

Что касается второй половины вопроса, то попробую ещё раз пояснить. Если я правильно понимаю, в математике континуум имеет, условно говоря, два воплощения. С одной стороны, это такое же множество объектов, как и бесконечное счётное множество, просто объектов в континууме больше. Например, как в множестве бесконечных последовательностей $0, 1$, которое несчётно, то есть имеет мощность континуума. В этом воплощении континуум - это объект исключительно математический, так как в реальном мире, сколько бы объектов ни было, их множество счётно. С другой стороны, континуум - это ещё и нечто сплошное. В этом случае континуум - это, наоборот, объект непосредственно взятый математикой из реальности, то есть такой, в котором связь с реальностью прослеживается явным образом, абстрагирование минимально. Другими словами, если континуум как просто несчётное множество выведен искусственно и поэтому уже по своей природе формальный, то континуум как линия/поверхность/объём - это объект формализованный.

Если всё сказанное верно, то на самом деле ответ на вторую часть моего вопроса тоже получен. Свойства именно реального объекта, который "бесконечнее континуума" (то есть $\aleph_2$), одними только математическими средствами невыводимы. Чтобы эти свойства узнать, надо прежде обнаружить такой объект где-то в природе.

Но по аналогии некоторые свойства $\aleph_2$, вероятно, предположить можно. Или нельзя? Например, если в действительных числах массово возникают такие объекты, координаты которых можно указать только приблизительно, то в "более бесконечном, чем континуум" объекте, вероятно, массово будут возникать такие объекты, про которые можно только сказать, что они есть (то есть только назвать их, обозначить), потому что как-либо формально "задать" их координаты будет уже невозможно. Из чего, в свою очередь, следует, что если такой объект и существует, то это явно будет что-то очень необычное.

[mihaild]

Dicson в сообщении #1565024 писал(а):

А только половина вопроса это потому, что из порядковых чисел самих по себе никаких свойств $\aleph_2$, $\aleph_3$, $\aleph_4$... вывести нельзя

А какие свойства вам нужны? Алефы полностью определяются через ординалы, соответственно всё, что о них вообще можно сказать, получается из свойств ординалов.

Dicson в сообщении #1565024 писал(а):

С другой стороны, континуум - это ещё и нечто сплошное

С другой стороны, континуум это не "нечто", а компактное связное метрическое пространство.
И то, что два разных объекта называются одним словом, не означает, что между ними есть какая-то связь.

Dicson в сообщении #1565024 писал(а):

В этом случае континуум - это, наоборот, объект непосредственно взятый математикой из реальности

Вот я ни разу не видел в реальности метрического пространства. Если у вас в ящиках завалялась парочка, можете прислать?

Dicson в сообщении #1565024 писал(а):

Свойства именно реального объекта, который "бесконечнее континуума" (то есть $\aleph_2$)

И такого реального объекта я тоже не видел. Да черт с ним с континуумом, можете хотя бы "реальный объект" $2$ показать?

[Dicson]

mihaild в сообщении #1565027 писал(а):

Да черт с ним с континуумом, можете хотя бы "реальный объект" $2$ показать?

Нет, не могу. Только что в моём посте натолкнуло вас на этот вопрос? Вроде бы я написал, что никаких математических объектов нет в реальности. Вы просто процитировали не до конца.

Что касается свойств, то у континуума есть свойства? Он сплошной, например (видимо, есть формальное определение этого свойства, но сейчас это не важно). А $\aleph_2$ какой? Впрочем, я уже пояснил, что имеется в виду.

[zykov]

Dicson в сообщении #1565024 писал(а):

так как в реальном мире, сколько бы объектов ни было, их множество счётно

Не советую забивать голову такими рассуждениями про "реальный мир". Счётно - значит бесконечно.

Если уж на то пошло, то само свойство бесконечности - это свойство математической модели. Даже если мы описываем реальный мир с помощью этой модели, у любой модели всегда есть своя область применимости. Не представляю, чтобы кто-то всерьёз утверждал, что какая-то модель имеет бесконечную область применимости.
Т.е. в "реальном мире" мы всегда имеем дело с конечными объектами.

Лучше оставьте саму бесконечность и её свойства в абстрактном домене математики.

[Dicson]

zykov в сообщении #1565029 писал(а):

Не советую забивать голову такими рассуждениями про "реальный мир". Счётно - значит бесконечно.

Так я про "конечность" ничего и не говорил. Меня этот вопрос не интересует, ввиду его очевидности. Честно говоря, я о другом спрашивал. Так сказать, совсем о другом. Я не буду ещё раз пояснять, о чём конкретно, чтобы не замыливать первый сегодняшний пост, где я, по-моему, всё максимально понятно написал. Плюс ответ выше.